نظرية عامل

ستساعدك هذه الآلة الحاسبة على استخدام نظرية العامل , مما يوضح جميع الخطوات.كل ما عليك فعله هو توفير متعدد الحدود , مثل X^3 - 3x + 4 , والرقم أو التعبير الرقمي , مثل 1/3.إذا نسمي الحدود p (x) , والقيمة A , فإننا نستخدم نظرية العامل لتقييم ما إذا كان (x - a) عامل p (x) أم لا.

بمجرد توفير متعدد الحدود والقيمة , يتم توفير قيمة , ما تبقى لك هو فقط النقر على "حساب" من أجل الحصول على جميع الخطوات المعروضة.

لاحظ أن x - كونه عامل p (x) هو نفسه وجود هذا x - a يقسم p (x) بالضبط.

ما هي نظرية العامل؟

إن فكرة العوائق الحية البسيطة بسيطة: نريد أن نعرف ما إذا كان يمكن كتابة متعدد الحدود أم لا كضرب متعدد الحدود الأصغر.على سبيل المثال , إذا كان \(p(x)\) متعدد الحدود , ونحن قادرون على الكتابة

\[ p(x) = q(x)(x-a)\]

بالنسبة لبعض الحدود الحية \(q(x)\) يمكننا أن نقول أن \(x - a\) هو أ عامل of \(p(x)\). The Factor Theorem states that for a \(x - a\) to be a factor of \(p(x)\), then we need to have that \(p(a) = 0\), and conversely, if \(p(a) = 0\), then \(x - a\) is a factor of \(p(x)\).

So then, the Factor Theorem tells us this crucial and a tight association between roots of the polynomials and factors of the polynomial, to the point that \(a\) is a root of the polynomial if and only if \(x - a\) is a factor of \(p(x)\). Hence, to find the roots of a polynomial, we need to find its factors.

كيفية استخدام نظرية العامل لعوامل الحدود

There are quite a few different approaches, but the most common are:

• الظهر 1: ابدأ مع P (X).تأكد من تبسيط قدر الإمكان.
• ال alخطoة 2: إذا كانت درجة P (x) 2 أو أقل , فهناك صيغ مباشرة للحصول على الجذور.بالنسبة للدرجة 2 , إذا كانت الجذور هي R1 و R2 , فسيتم أخذ متعدد الحدود في الحسبان كـ P (x) = a (X-R1) (X-R2) , حيث يكون A هو المصطلح الرائد
• الله 3: للحصول على درجة 3 أو أعلى , حاول تخمين جذر , أو استخدام أفضل أولاً نظرية الجذر العقلاني للعثور على أكبر عدد ممكن من الجذور العقلانية
• الظهر 4: إذا لم تسفر الخطوة السابقة عن أي جذور , فتوقف.لا يوجد شيء يمكنك القيام به بالطرق الأساسية , ومن المحتمل أنك تحتاج إلى تقريب عددي
• الظهر 5: إذا وجدت أي جذور بسيطة من الخطوات السابقة , فعندئذٍ , يجب أن تكون المصطلحات X - R (حيث يكون R جذرًا) عاملًا.لذلك نحن نقسم p (x) بجميع العوامل المقابلة.سيؤدي ذلك إلى كثير الحدود الذي يحتوي على درجة انخفضت بقدر عدد الجذور الموجودة في الخطوات السابقة.استدعاء متعدد الحدود الناتج (x)
• ال 6: قم بتطبيق جميع الخطوات مرة أخرى على P (X) الجديد , حتى يتوقف التكرار.

Actually, there are exact formulas for the roots of polynomials of degree 3 and 4, but there are not really user friendly, so they are typically not covered in a basic Algebra course.

كيفية ربط نظرية العامل ونظرية الباقي

ترتبط نظرية العامل ارتباطًا وثيقًا بـ نظرية العداد .هذا لأنه من التحلل الإقليدي الذي تم الحصول عليه عندما تقسيم متعدد الحدود \(p(x)\) و \(s(x)\) , نحصل على أن هناك متعدد الحدود << xyz >> و << xyz >> من هذا القبيل

\[p(x) = s(x) q(x) + r(x) \]

مع \(deg(r(x)) < deg(s(x))\).إذن , على وجه الخصوص , عندما يكون لدينا \(s(x) = x-a\) , الذي لديه درجة 1 , لدينا

\[p(x) = s(x) (x-a) + r(x) \]

وفي هذه الحالة , يجب أن يكون \(r(x)\) درجة 0 (لأنه يجب أن يكون أصغر من درجة S , وهو 1) , لذلك \(r(x) = r\) ثابت.ثم

\[p(x) = s(x) (x-a) + r \]

وتوصيل \(x = a\) في المعادلة أعلاه يؤدي إلى:

\[p(a) = s(a) (a-a) + r \Rightarrow p(a) = r\]

إذن , تشير نظرية الباقي إلى أنه إذا كان \(a\) جذرًا , فهناك \(p(a) = 0\) وبالتالي الباقي هو أيضًا << xyc >>.

نصائح للنجاح

إن نظرية العامل من الجيد أيضًا العثور على جذور متعددة الحدود , وتخبرنا أن الجذور يمكن تحويلها مباشرة إلى عوامل.من المحتمل أن يؤدي هذا إلى تقييم التعبيرات , والتي يمكن أن تكون في بعض الأحيان أكثر ملاءمة عند استخدام عملية العداد , على عكس التوصيل ببساطة في إجراء الحسابات.

تجنب الأخطاء مثل محاولة التفكير في "صيغة" لإيجاد العوامل.إن العثور على العوامل هو نفسه في الأساس إيجاد الجذور , والذي يتضمن القدرة على التوفيق Tقiem alحdod في القيم المعطاة.

مثال: نظرية العامل

هل \(x - 1\) عامل \(p(x) = 3x^3 - x^2 + 2x - 1\)

الملم: تم توفير متعدد الحدود التالية: \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\) , ونحن بحاجة إلى معرفة النقطة المعطاة \(\displaystyle x = 1\) ما إذا كان \(\displaystyle x - 1\) عامل \(p(x)\).

من أجل القيام بذلك , سوف نستخدم الاستبدال الاصطناعي لتقييم ما إذا كان \(\displaystyle p(1) = 0\).

من أجل إجراء الاستبدال الاصطناعي , نحتاج إلى القيام بتقسيم اصطناعي لـ: \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\) , والقسمة \(\displaystyle s = x-1\) , والعثور على الباقي.

لاحظ أن درجة الأرباح هي \(\displaystyle deg(p) = 3\) , في حين أن درجة المقسوم هي \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

الظهر 1: نظرًا لأن المقسوم لديه درجة 1 , يمكننا استخدام طريقة التقسيم الاصطناعي.من خلال حل \(\displaystyle s(x) = x-1 = 0\) نجد مباشرة أن الرقم الواجب وضعه في مربع التقسيم هو: \(\displaystyle 1\).

\[\begin{array}{c|ccc} 1 & 3 & -1 & 2 & -1 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

ال alخطoة 2: الآن نمر مباشرة المصطلح الرائد \(3\) إلى صف النتيجة:

\[\begin{array}{c|ccc} 1 & 3 & -1 & 2 & -1 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &3&&& \end{array}\]

الله 3: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 1 , نحصل على: \(1 \cdot \left(3\right) = 3\) وهذه النتيجة مدرجة في صف النتيجة , العمود 1.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline&3&&&\end{array}\]

الظهر 4: الآن إضافة القيم في العمود 2 , نحصل على: \( -1+3 = 2\) وتتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 2.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline& 3 & 2 & \end{array}\]

الظهر 5: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 2 , نحصل على: \(1 \cdot \left(2\right) = 2\) وهذه النتيجة مدرجة في صف النتيجة , العمود 2.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & \end{array}\]

ال 6: الآن إضافة القيم في العمود 3 , نحصل على: \( 2+2 = 4\) وتتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 3.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4\end{array}\]

الظهر 7: Multiplying the term in the division box by the result in column 3, we get: \(1 \cdot \left(4\right) = 4\) and this result is inserted in the result row, column 3.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2 & 4\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4\end{array}\]

الظهر 8: Now adding the values in column 4, we get: \( -1+4 = 3\) and this result is inserted in the result row, column 4.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2 & 4\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4 & 3\end{array}\]

الذي يخلص إلى هذا الحساب , لأننا وصلنا إلى النتيجة في العمود النهائي , الذي يحتوي على الباقي.

تاسنتا: لذلك , نستنتج أنه بالنسبة للربح المحدد \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\) والمقسمات \(\displaystyle s(x) = x-1\) , فإننا نحصل على أن الباقي هو \(\displaystyle r(x) = 3\) , لذلك نستنتج أن \(\displaystyle p\left(1\right) = 3 \ne 0\).

لذلك , نستنتج أن \(\displaystyle x - 1\) ليس عامل \(p(x)\).

مثال: المزيد من أمثلة نظرية العامل

من أجل الحدود: \(p(x) = 3x^3 + x^3 - 15x + 4\) , ما هو \(p(1/3)\) , ما الذي يعنيه من حيث x - 1/3 عامل p (x)؟

الملم: في هذه الحالة , لدينا: \(\displaystyle p(x) = 3x^3+x^3-15x+4\) , والنقطة المعطاة هي \(\displaystyle x = \frac{1}{3}\).نحتاج إلى معرفة ما إذا كان \(\displaystyle x - \frac{1}{3}\) عامل \(p(x)\) أم لا.

كما في المثال السابق , سيتم استخدام الاستبدال الاصطناعي لتقييم ما إذا كان \(\displaystyle p(\frac{1}{3}) = 0\).

خطoة أolelyة: في هذه الحالة , نحتاج أولاً إلى تبسيط توزيعات الأرباح \(\displaystyle P(x) = 3x^3+x^3-15x+4\) , ومن أجل القيام بذلك , نقوم بإجراء خطوات التبسيط التالية:

الآن , ننتقل إلى الانقسام الاصطناعي لـ: \(\displaystyle p(x) = 4x^3-15x+4\) , مع القسمة \(\displaystyle s = x-\frac{1}{3}\) , ونحن بحاجة إلى العثور على الباقي.

الظهر 1: نظرًا لأن المقسوم لديه درجة 1 , يمكننا استخدام طريقة التقسيم الاصطناعي.من خلال حل \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3} = 0\) نجد مباشرة أن الرقم الواجب وضعه في مربع التقسيم هو: \(\displaystyle \frac{1}{3}\).

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

ال alخطoة 2: الآن نمر مباشرة المصطلح الرائد \(4\) إلى صف النتيجة:

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &4&&& \end{array}\]

الله 3: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 1 , نجد: \(\frac{1}{3} \cdot \left(4\right) = \frac{4}{3}\) وهذه النتيجة مدرجة في صف النتيجة , العمود 1.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \\[0.6em]\hline&4&&&\end{array}\]

الظهر 4: الآن إضافة القيم في العمود 2 , نجد: \( 0+\frac{4}{3} = \frac{4}{3}\) وتتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & \end{array}\]

الظهر 5: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 2 , نجد: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{9}\) وهذه النتيجة مدرجة في صف النتيجة , العمود 2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & \end{array}\]

ال 6: الآن إضافة القيم في العمود 3 , نجد: \( -15+\frac{4}{9} = -\frac{131}{9}\) وتتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9}\end{array}\]

الظهر 7: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 3 , نجد: \(\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{131}{9}\right) = -\frac{131}{27}\) وهذه النتيجة مدرجة في صف النتيجة , العمود 3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9} & -\frac{131}{27}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9}\end{array}\]

الظهر 8: الآن إضافة القيم في العمود 4 , نجد: \( 4-\frac{131}{27} = -\frac{23}{27}\) وتتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 4.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9} & -\frac{131}{27}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9} & -\frac{23}{27}\end{array}\]

الذي يخلص إلى هذا الحساب , لأننا وصلنا إلى النتيجة في العمود النهائي , الذي يحتوي على الباقي.

تاسنتا: Therefore, after simplifying, we find that when dividing \(\displaystyle p(x) = 4x^3-15x+4\) and the divisor \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3}\), we get that the remainder is \(\displaystyle r(x) = -\frac{23}{27}\), so then we conclude that \(\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{23}{27} \ne 0\).

لذلك , نستنتج أن \(\displaystyle x - \frac{1}{3}\) ليس عامل \(p(x)\).

مثال: المزيد حول نظرية العامل

هل \(x - 2\) uaml \(p(x) = 2x^4 - x^3 + x - 2\)

الملم: أنا.

منل الله ب.

سيتام tnفiذ hltقym alaصطnaui alـ: \(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\) , و \(\displaystyle s = x-2\) , -anحnbحhجة إlى aluzثor alى ama tbقى mn alقaSm.

الله 1: nظrًa lhn almقosom aldiheh jdroجة 1 , ymكnana althخdam طriقة altقym alaصطnaatinymn.

\[\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

آل خط o ة 2: الآن نمر مباشرة المصطلح الرائد \(2\) إلى صف النتيجة:

\[\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &2&&&& \end{array}\]

الله 3: ضrab almصطlح فy merbud hltقymbBAntiجة فy alukod 1 , nجd: \(2 \cdot \left(2\right) = 4\) و Heذh alntiجة jdrجة ف صف صف صف , ald لd 1.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & & \\[0.6em]\hline&2&&&&\end{array}\]

الله 4: alآn إضaفة alقim فy aludmod 2 , nجd: \( -1+4 = 3\) wtttm إdraz hذh alnateجة ف صف صف alntiجة , alukod 2.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & & \end{array}\]

الظهر 5: ضrab almصطlح فy merbud hltقymbbantiجة فy alukod 2 , nجd: \(2 \cdot \left(3\right) = 6\) و Heذh alntiجة مy ف صف صف , , hhalad ,d 2.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & & \end{array}\]

ال 6: الآن إضافة القيم في العمود 3 , نجد: \( 0+6 = 6\) وتتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 3.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & \end{array}\]

الله 7: ضrab chlmصطlح فy merbud hltقymbbantiجة فy alukod 3 , nجd: \(2 \cdot \left(6\right) = 12\) و Heذh alntiجة مy ف صف صف صف , ل aldad 3.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & \end{array}\]

الله 8: alآn إضaفة alقim فy alukod 4 , nجd: \( 1+12 = 13\) و إdraz hذh alnateجة ف صف صف alntiجة , alukod 4.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13\end{array}\]

ال al خط O ة 9: ضrab chlmصطlح فy merbud hltقymbBAntiجة فy alukod 4 , nجd: \(2 \cdot \left(13\right) = 26\) و Hoذh alntiجة مy ف صف صف , , hhalad.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12 & 26\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13\end{array}\]

الله 10: alآn إضaفة alقym فy alukod 5 , nجd: \( -2+26 = 24\) و إdraz hذh alnateجة ف صف صف alntiجة , alukod 5.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12 & 26\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13 & 24\end{array}\]

وننهن نتوقف آن آتوم مينذ البينبي ,

تاسنتا: alذlك , nistntج أneh balnatbة allrabح chyza \(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\) WalmقsmaT \(\displaystyle s(x) = x-2\) فإ فإ , , , أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ ذ ذ ذ ذ ذ ذ ذ ذ ذ ذ ذ ذ ذ ذ ذ ذ.

alذlك , nistntج أn \(\displaystyle x - 2\) lyos uaml \(p(x)\).

Mزyd mn alحasbة alحdodod

leamكn chlmebalغة ف أhmiة كثyer alحdod , alأneha و وحdة jn أham alأشyء فyi alجber. ح سبح كث yer ح دود مهمة حقًا في الرياضيات وفي العديد من التطبيقات في ما بعد الرياضيات.

يظهر الحدود الحددية المشكلة الرئيسية المتمثلة في حل المعادلات الحية , والتي تعد من بين أهم المعادلات في الجبر , على الرغم من أنه لا يوجد بالضرورة حلها , وفي الواقع , لا توجد صيغة للحصول على هذه الحلول , للحصول على درجات أعلى.

ytضmn alaveor ulى جذor altخadam نظري الله alluzoor ulى حlol bbsiطة آmtom mقtad دداود ltقleyal chawadlة إlى و وحdة تومام أo توم الله , و "و" حtى nجd كl alجذor.ubrى alraغm mn أn hذh ytly letymكnة daئmًahbahanظh إ إ إ أ أ أ أ أ أ.