نظرية عامل

ستساعدك هذه الآلة الحاسبة على استخدام نظرية العامل , مما يوضح جميع الخطوات.كل ما عليك فعله هو توفير متعدد الحدود , مثل X^3 - 3x + 4 , والرقم أو التعبير الرقمي , مثل 1/3.إذا نسمي الحدود p (x) , والقيمة A , فإننا نستخدم نظرية العامل لتقييم ما إذا كان (x - a) عامل p (x) أم لا.

بمجرد توفير متعدد الحدود والقيمة , يتم توفير قيمة , ما تبقى لك هو فقط النقر على "حساب" من أجل الحصول على جميع الخطوات المعروضة.

لاحظ أن x - كونه عامل p (x) هو نفسه وجود هذا x - a يقسم p (x) بالضبط.

ما هي نظرية العامل؟

إن فكرة العوائق الحية البسيطة بسيطة: نريد أن نعرف ما إذا كان يمكن كتابة متعدد الحدود أم لا كضرب متعدد الحدود الأصغر.على سبيل المثال , إذا كان $p(x)$ متعدد الحدود , ونحن قادرون على الكتابة

$$p(x) = q(x)(x-a)$$

بالنسبة لبعض الحدود الحية $q(x)$ يمكننا أن نقول أن $x - a$ هو أ عامل of $p(x)$. The Factor Theorem states that for a $x - a$ to be a factor of $p(x)$, then we need to have that $p(a) = 0$, and conversely, if $p(a) = 0$, then $x - a$ is a factor of $p(x)$.

So then, the Factor Theorem tells us this crucial and a tight association between roots of the polynomials and factors of the polynomial, to the point that $a$ is a root of the polynomial if and only if $x - a$ is a factor of $p(x)$. Hence, to find the roots of a polynomial, we need to find its factors.

كيفية استخدام نظرية العامل لعوامل الحدود

There are quite a few different approaches, but the most common are:

• الظهر 1: ابدأ مع P (X).تأكد من تبسيط قدر الإمكان.
• ال alخطoة 2: إذا كانت درجة P (x) 2 أو أقل , فهناك صيغ مباشرة للحصول على الجذور.بالنسبة للدرجة 2 , إذا كانت الجذور هي R1 و R2 , فسيتم أخذ متعدد الحدود في الحسبان كـ P (x) = a (X-R1) (X-R2) , حيث يكون A هو المصطلح الرائد
• الله 3: للحصول على درجة 3 أو أعلى , حاول تخمين جذر , أو استخدام أفضل أولاً نظرية الجذر العقلاني للعثور على أكبر عدد ممكن من الجذور العقلانية
• الظهر 4: إذا لم تسفر الخطوة السابقة عن أي جذور , فتوقف.لا يوجد شيء يمكنك القيام به بالطرق الأساسية , ومن المحتمل أنك تحتاج إلى تقريب عددي
• الظهر 5: إذا وجدت أي جذور بسيطة من الخطوات السابقة , فعندئذٍ , يجب أن تكون المصطلحات X - R (حيث يكون R جذرًا) عاملًا.لذلك نحن نقسم p (x) بجميع العوامل المقابلة.سيؤدي ذلك إلى كثير الحدود الذي يحتوي على درجة انخفضت بقدر عدد الجذور الموجودة في الخطوات السابقة.استدعاء متعدد الحدود الناتج (x)
• ال 6: قم بتطبيق جميع الخطوات مرة أخرى على P (X) الجديد , حتى يتوقف التكرار.

Actually, there are exact formulas for the roots of polynomials of degree 3 and 4, but there are not really user friendly, so they are typically not covered in a basic Algebra course.

كيفية ربط نظرية العامل ونظرية الباقي

ترتبط نظرية العامل ارتباطًا وثيقًا بـ نظرية العداد .هذا لأنه من التحلل الإقليدي الذي تم الحصول عليه عندما تقسيم متعدد الحدود $p(x)$ و $s(x)$ , نحصل على أن هناك متعدد الحدود << xyz >> و << xyz >> من هذا القبيل

$$p(x) = s(x) q(x) + r(x)$$

مع $deg(r(x)) < deg(s(x))$.إذن , على وجه الخصوص , عندما يكون لدينا $s(x) = x-a$ , الذي لديه درجة 1 , لدينا

$$p(x) = s(x) (x-a) + r(x)$$

وفي هذه الحالة , يجب أن يكون $r(x)$ درجة 0 (لأنه يجب أن يكون أصغر من درجة S , وهو 1) , لذلك $r(x) = r$ ثابت.ثم

$$p(x) = s(x) (x-a) + r$$

وتوصيل $x = a$ في المعادلة أعلاه يؤدي إلى:

$$p(a) = s(a) (a-a) + r \Rightarrow p(a) = r$$

إذن , تشير نظرية الباقي إلى أنه إذا كان $a$ جذرًا , فهناك $p(a) = 0$ وبالتالي الباقي هو أيضًا << xyc >>.

نصائح للنجاح

إن نظرية العامل من الجيد أيضًا العثور على جذور متعددة الحدود , وتخبرنا أن الجذور يمكن تحويلها مباشرة إلى عوامل.من المحتمل أن يؤدي هذا إلى تقييم التعبيرات , والتي يمكن أن تكون في بعض الأحيان أكثر ملاءمة عند استخدام عملية العداد , على عكس التوصيل ببساطة في إجراء الحسابات.

تجنب الأخطاء مثل محاولة التفكير في "صيغة" لإيجاد العوامل.إن العثور على العوامل هو نفسه في الأساس إيجاد الجذور , والذي يتضمن القدرة على التوفيق Tقiem alحdod في القيم المعطاة.

مثال: نظرية العامل

هل $x - 1$ عامل $p(x) = 3x^3 - x^2 + 2x - 1$

الملم: تم توفير متعدد الحدود التالية: $\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1$ , ونحن بحاجة إلى معرفة النقطة المعطاة $\displaystyle x = 1$ ما إذا كان $\displaystyle x - 1$ عامل $p(x)$.

من أجل القيام بذلك , سوف نستخدم الاستبدال الاصطناعي لتقييم ما إذا كان $\displaystyle p(1) = 0$.

من أجل إجراء الاستبدال الاصطناعي , نحتاج إلى القيام بتقسيم اصطناعي لـ: $\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1$ , والقسمة $\displaystyle s = x-1$ , والعثور على الباقي.

لاحظ أن درجة الأرباح هي $\displaystyle deg(p) = 3$ , في حين أن درجة المقسوم هي $\displaystyle deg(s)) = 1$.

الظهر 1: نظرًا لأن المقسوم لديه درجة 1 , يمكننا استخدام طريقة التقسيم الاصطناعي.من خلال حل $\displaystyle s(x) = x-1 = 0$ نجد مباشرة أن الرقم الواجب وضعه في مربع التقسيم هو: $\displaystyle 1$.

$$\begin{array}{c|ccc} 1 & 3 & -1 & 2 & -1 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}$$

ال alخطoة 2: الآن نمر مباشرة المصطلح الرائد $3$ إلى صف النتيجة:

$$\begin{array}{c|ccc} 1 & 3 & -1 & 2 & -1 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &3&&& \end{array}$$

الله 3: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 1 , نحصل على: $1 \cdot \left(3\right) = 3$ وهذه النتيجة مدرجة في صف النتيجة , العمود 1.

$$\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline&3&&&\end{array}$$

الظهر 4: الآن إضافة القيم في العمود 2 , نحصل على: $-1+3 = 2$ وتتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 2.

$$\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline& 3 & 2 & \end{array}$$

الظهر 5: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 2 , نحصل على: $1 \cdot \left(2\right) = 2$ وهذه النتيجة مدرجة في صف النتيجة , العمود 2.

$$\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & \end{array}$$

ال 6: الآن إضافة القيم في العمود 3 , نحصل على: $2+2 = 4$ وتتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 3.

$$\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4\end{array}$$

الظهر 7: Multiplying the term in the division box by the result in column 3, we get: $1 \cdot \left(4\right) = 4$ and this result is inserted in the result row, column 3.

$$\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2 & 4\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4\end{array}$$

الظهر 8: Now adding the values in column 4, we get: $-1+4 = 3$ and this result is inserted in the result row, column 4.

$$\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2 & 4\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4 & 3\end{array}$$

الذي يخلص إلى هذا الحساب , لأننا وصلنا إلى النتيجة في العمود النهائي , الذي يحتوي على الباقي.

تاسنتا: لذلك , نستنتج أنه بالنسبة للربح المحدد $\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1$ والمقسمات $\displaystyle s(x) = x-1$ , فإننا نحصل على أن الباقي هو $\displaystyle r(x) = 3$ , لذلك نستنتج أن $\displaystyle p\left(1\right) = 3 \ne 0$.

لذلك , نستنتج أن $\displaystyle x - 1$ ليس عامل $p(x)$.

مثال: المزيد من أمثلة نظرية العامل

من أجل الحدود: $p(x) = 3x^3 + x^3 - 15x + 4$ , ما هو $p(1/3)$ , ما الذي يعنيه من حيث x - 1/3 عامل p (x)؟

الملم: في هذه الحالة , لدينا: $\displaystyle p(x) = 3x^3+x^3-15x+4$ , والنقطة المعطاة هي $\displaystyle x = \frac{1}{3}$.نحتاج إلى معرفة ما إذا كان $\displaystyle x - \frac{1}{3}$ عامل $p(x)$ أم لا.

كما في المثال السابق , سيتم استخدام الاستبدال الاصطناعي لتقييم ما إذا كان $\displaystyle p(\frac{1}{3}) = 0$.

خطoة أolelyة: في هذه الحالة , نحتاج أولاً إلى تبسيط توزيعات الأرباح $\displaystyle P(x) = 3x^3+x^3-15x+4$ , ومن أجل القيام بذلك , نقوم بإجراء خطوات التبسيط التالية:

الآن , ننتقل إلى الانقسام الاصطناعي لـ: $\displaystyle p(x) = 4x^3-15x+4$ , مع القسمة $\displaystyle s = x-\frac{1}{3}$ , ونحن بحاجة إلى العثور على الباقي.

الظهر 1: نظرًا لأن المقسوم لديه درجة 1 , يمكننا استخدام طريقة التقسيم الاصطناعي.من خلال حل $\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3} = 0$ نجد مباشرة أن الرقم الواجب وضعه في مربع التقسيم هو: $\displaystyle \frac{1}{3}$.

$$\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}$$

ال alخطoة 2: الآن نمر مباشرة المصطلح الرائد $4$ إلى صف النتيجة:

$$\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &4&&& \end{array}$$

الله 3: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 1 , نجد: $\frac{1}{3} \cdot \left(4\right) = \frac{4}{3}$ وهذه النتيجة مدرجة في صف النتيجة , العمود 1.

$$\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \\[0.6em]\hline&4&&&\end{array}$$

الظهر 4: الآن إضافة القيم في العمود 2 , نجد: $0+\frac{4}{3} = \frac{4}{3}$ وتتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 2.

$$\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & \end{array}$$

الظهر 5: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 2 , نجد: $\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{9}$ وهذه النتيجة مدرجة في صف النتيجة , العمود 2.

$$\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & \end{array}$$

ال 6: الآن إضافة القيم في العمود 3 , نجد: $-15+\frac{4}{9} = -\frac{131}{9}$ وتتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 3.

$$\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9}\end{array}$$

الظهر 7: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 3 , نجد: $\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{131}{9}\right) = -\frac{131}{27}$ وهذه النتيجة مدرجة في صف النتيجة , العمود 3.

$$\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9} & -\frac{131}{27}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9}\end{array}$$

الظهر 8: الآن إضافة القيم في العمود 4 , نجد: $4-\frac{131}{27} = -\frac{23}{27}$ وتتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 4.

$$\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9} & -\frac{131}{27}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9} & -\frac{23}{27}\end{array}$$

الذي يخلص إلى هذا الحساب , لأننا وصلنا إلى النتيجة في العمود النهائي , الذي يحتوي على الباقي.

تاسنتا: Therefore, after simplifying, we find that when dividing $\displaystyle p(x) = 4x^3-15x+4$ and the divisor $\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3}$, we get that the remainder is $\displaystyle r(x) = -\frac{23}{27}$, so then we conclude that $\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{23}{27} \ne 0$.

لذلك , نستنتج أن $\displaystyle x - \frac{1}{3}$ ليس عامل $p(x)$.

مثال: المزيد حول نظرية العامل

هل $x - 2$ uaml $p(x) = 2x^4 - x^3 + x - 2$

الملم: أنا.

منل الله ب.

سيتام tnفiذ hltقym alaصطnaui alـ: $\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2$ , و $\displaystyle s = x-2$ , -anحnbحhجة إlى aluzثor alى ama tbقى mn alقaSm.

الله 1: nظrًa lhn almقosom aldiheh jdroجة 1 , ymكnana althخdam طriقة altقym alaصطnaatinymn.

$$\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}$$

آل خط o ة 2: الآن نمر مباشرة المصطلح الرائد $2$ إلى صف النتيجة:

$$\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &2&&&& \end{array}$$

الله 3: ضrab almصطlح فy merbud hltقymbBAntiجة فy alukod 1 , nجd: $2 \cdot \left(2\right) = 4$ و Heذh alntiجة jdrجة ف صف صف صف , ald لd 1.

$$\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & & \\[0.6em]\hline&2&&&&\end{array}$$

الله 4: alآn إضaفة alقim فy aludmod 2 , nجd: $-1+4 = 3$ wtttm إdraz hذh alnateجة ف صف صف alntiجة , alukod 2.

$$\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & & \end{array}$$

الظهر 5: ضrab almصطlح فy merbud hltقymbbantiجة فy alukod 2 , nجd: $2 \cdot \left(3\right) = 6$ و Heذh alntiجة مy ف صف صف , , hhalad ,d 2.

$$\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & & \end{array}$$

ال 6: الآن إضافة القيم في العمود 3 , نجد: $0+6 = 6$ وتتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 3.

$$\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & \end{array}$$

الله 7: ضrab chlmصطlح فy merbud hltقymbbantiجة فy alukod 3 , nجd: $2 \cdot \left(6\right) = 12$ و Heذh alntiجة مy ف صف صف صف , ل aldad 3.

$$\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & \end{array}$$

الله 8: alآn إضaفة alقim فy alukod 4 , nجd: $1+12 = 13$ و إdraz hذh alnateجة ف صف صف alntiجة , alukod 4.

$$\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13\end{array}$$

ال al خط O ة 9: ضrab chlmصطlح فy merbud hltقymbBAntiجة فy alukod 4 , nجd: $2 \cdot \left(13\right) = 26$ و Hoذh alntiجة مy ف صف صف , , hhalad.

$$\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12 & 26\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13\end{array}$$

الله 10: alآn إضaفة alقym فy alukod 5 , nجd: $-2+26 = 24$ و إdraz hذh alnateجة ف صف صف alntiجة , alukod 5.

$$\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12 & 26\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13 & 24\end{array}$$

وننهن نتوقف آن آتوم مينذ البينبي ,

تاسنتا: alذlك , nistntج أneh balnatbة allrabح chyza $\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2$ WalmقsmaT $\displaystyle s(x) = x-2$ فإ فإ , , , أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ ذ ذ ذ ذ ذ ذ ذ ذ ذ ذ ذ ذ ذ ذ ذ ذ.

alذlك , nistntج أn $\displaystyle x - 2$ lyos uaml $p(x)$.

Mزyd mn alحasbة alحdodod

leamكn chlmebalغة ف أhmiة كثyer alحdod , alأneha و وحdة jn أham alأشyء فyi alجber. ح سبح كث yer ح دود مهمة حقًا في الرياضيات وفي العديد من التطبيقات في ما بعد الرياضيات.

يظهر الحدود الحددية المشكلة الرئيسية المتمثلة في حل المعادلات الحية , والتي تعد من بين أهم المعادلات في الجبر , على الرغم من أنه لا يوجد بالضرورة حلها , وفي الواقع , لا توجد صيغة للحصول على هذه الحلول , للحصول على درجات أعلى.

ytضmn alaveor ulى جذor altخadam نظري الله alluzoor ulى حlol bbsiطة آmtom mقtad دداود ltقleyal chawadlة إlى و وحdة تومام أo توم الله , و "و" حtى nجd كl alجذor.ubrى alraغm mn أn hذh ytly letymكnة daئmًahbahanظh إ إ إ أ أ أ أ أ أ.