شقوق الرياضيات - طريقة رائعة للتكامل عن طريق الأجزاء

مقدمة

تبدو فكرة التكامل بالأجزاء مخيفة جدًا للعديد من طلاب حساب التفاضل والتكامل , وأعتقد أن هناك سببًا وجيهًا لذلك. بادئ ذي بدء , يعد التكامل حسب الأجزاء أسلوبًا يتضمن خطوتين (أو أكثر) بدلاً من خطوة واحدة كما يود معظم الطلاب. قد يرغب الطلاب في تطبيق بعض المعادلات والحصول على الإجابة على الفور , ولكن في حساب التفاضل والتكامل غالبًا ما تأتي الإجابات بعد سلسلة من الخطوات (أحيانًا طويلة).

وبصرف النظر عن طريقة الاستبدال , فإن طريقة التكامل بالأجزاء هي أهم طريقة لحل التكاملات غير الأولية.

أولاً , كمبدأ لهذه المسألة , فإن أحد الأسباب التي تجعل حساب التفاضل والتكامل المتكامل صعبًا عادةً على الطلاب هو التدوين المؤسف إلى حد ما المستخدم للتكامل. في الواقع , عند حساب التكامل غير المحدد للدالة \(f\left( x \right)\) , فإننا نواجه الترميز التالي

\[\int{f\left( x \right)dx}\] What many students do not understand is what is really meant by the "\(dx\)" in the expression above. Clearly, there are historical reasons why the "\(dx\)" appears in the notation stated above. But, actually there is no reason to include \(dx\) or even to add \(f\left( x \right)\). When we want to compute the indefinite integral of a function \(f\), we should be able to simply write \[\int{f}\] and that way we are stating the indefinite integral of the function \(f\).

هل هذه هي نفسها؟

\[\int{f\left( x \right)dx}=\int{f\left( u \right)du}\]

على الاطلاق! هذا هو السبب في أنك ترى أحيانًا متغير التكامل (x أو u على التوالي) يُشار إليه على أنه متغير "وهمي" , لأنه لا يلعب أي دور في عملية التكامل.

التكامل حسب الأجزاء كقاعدة منتج عكسي

بعد مقدمة موجزة , بدأنا الآن في المطاردة. الصيغة النموذجية للتكامل حسب الأجزاء الموضحة في الكتب المدرسية هي

\[\int{udv}=uv-\int{vdu} \,\,\,\,\,(1)\]

ثم تقول , "هاه؟ ما هذا؟" من الواضح , دون إعطاء معنى لما ورد أعلاه \(u\) و \(dv\) , من الصعب رؤية ما يدور حوله. أحد الأسئلة التي قد تطرحها هو: لماذا تشتمل صيغة التكامل حسب الأجزاء على dv و du , إذا لم يلعب هؤلاء دورًا في عملية التكامل , كما هو موضح في المقدمة؟

الإجابة بسيطة: في سياق صيغة التكامل بالأجزاء أعلاه , فإن \(du\) و \(dv\) ليسا "متغيرات وهمية" , لكنهما يعملان بدلاً من ذلك. من الناحية التذكارية , ما سبق مفيد لحل التكامل عن طريق التمرين الجزئي , لكن ليس من الجيد فهم سبب كونه صحيحًا بالفعل أو سبب نجاحه.

أدخل قاعدة المنتج:

تنص قاعدة المنتج على ما يلي:

\[\frac{d}{dx}\left( fg \right)=\frac{df}{dx}g+f\frac{dg}{dx} \,\,\,\,\,(2)\]

باختصار , أفضل الكتابة

\[\left( fg \right)'=f'g+fg' \,\,\,\,\,(3)\]

لكن انتظر! ألا ندمج في هذه المقالة؟ لماذا أطرح قاعدة تفاضل ؟؟ يا هم , أليس من الرائع أن تضطر إلى قاعدة المنتج للتكاملات أيضًا؟ ألن يكون رائعًا إذا \(\int{f'g'}=f\,g + C\) ؟؟ لسوء الحظ , الأمر ليس كذلك , ولكن لا تزال هناك قاعدة حاصل الضرب للتكاملات , إلا أنها أكثر تعقيدًا بعض الشيء.

دعونا نعيد ترتيب المعادلة (3) , نحصل على:

\[fg'=\left( fg \right)'-f'g \,\,\,\,\,(4)\]

إذن , إذا قمنا بدمج كلا جانبي المساواة أعلاه نحصل عليه

\[\int{fg'}=\int{\left( \left( fg \right)'-f'g \right)}\]

والتي من خلال خطية التكامل يؤدي إلى

\[\int{f\,g'}=f\,g-\int{f'g} \,\,\,\,\,(5)\]

وهنا يا أصدقائي , لديكم تكاملكم بقاعدة جزئية. يجب أن يُنظر إلى التكامل حسب الأجزاء على أنه أداة تكامل رائعة تسمح لي بدمج منتج وظيفتين. لكنها أكثر تقييدًا بعض الشيء , لأنها نتاج وظيفتين ولكن يجب أن تكون إحدى الوظائف مشتقة من وظيفة SOME.

لذلك , من أجل تطبيق قاعدة التكامل بالأجزاء بشكل مثمر , يجب أن تحدث ثلاثة أشياء:

أحاول دمج حاصل ضرب وظيفتين.
إحدى هذه الوظائف مشتق من شيء ما (لذا فهي على شكل \(g'\)).
أحتاج إلى معرفة كيفية حساب ذلك الشيء (أريد أن أعرف من هو \(g\))

إذا حدثت هذه الشروط الثلاثة , فيمكنني استخدام قاعدة التكامل حسب الأجزاء

تذكر: عند استخدام التكامل حسب الأجزاء , يجب أن يكون لديك ناتج وظيفتين , ويجب أن تكون إحدى هاتين الدالتين مشتقًا من شيء تعرفه.

على سبيل المثال , دعنا نرى متى لا يمكنك تطبيق التكامل بالأجزاء: ضع في اعتبارك التكامل التالي

\[\int{\sin \left( {{x}^{2}} \right){{e}^{{{x}^{2}}}}}\]

في هذه الحالة , نحاول دمج حاصل ضرب وظيفتين: \(\sin \left( {{x}^{2}} \right)\) و \({{e}^{{{x}^{2}}}}\) , لكن هل تعرف ما هو المشتق العكسي لأي من هاتين الدالتين؟ أو بعبارة أخرى , هل تعرف الوظائف التي تؤدي إلى أي من \(\sin \left( {{x}^{2}} \right)\) أو \({{e}^{{{x}^{2}}}}\) بعد التفريق؟ حسنا. لا , هاتان الوظيفتان لا تحتويان على مشتقات عكسية أولية , لذا فإن التكامل بالأجزاء لن يساعد في هذه الحالة.

الآن مثال حيث يمكن استخدام التكامل بالأجزاء:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\]

في هذه الحالة نحاول دمج حاصل ضرب وظيفتين: \({{x}^{2}}\) و \({{e}^{{{x}^{2}}}}\) , وأعرف المشتق العكسي لـ \({{x}^{2}}\). لذلك يمكنني استخدام القاعدة. لدينا الترميز التالي:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}=\int{\underbrace{{{e}^{{{x}^{2}}}}}_{f\left( x \right)}\underbrace{{{x}^{2}}dx}_{g'\left( x \right)}}\]

اذا لدينا

\[\begin{aligned} & f\left( x \right)={{e}^{{{x}^{2}}}} \\ & g'\left( x \right)={{x}^{2}} \\ \end{aligned}\]

التفريق بين \(f\) ودمج \(g'\) نحصل على:

\[\begin{aligned} & f\left( x \right)=2x{{e}^{{{x}^{2}}}} \\ & g\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3} \\ \end{aligned}\]

(لاحظ أن \(g\left( x \right)\) المذكورة أعلاه هي مشتق عكسي محتمل , لكن القاعدة هي أنه يمكنني اختيار أي مشتق عكسي , لذلك اخترت أبسطها). التكامل بالأجزاء هو

\[\int{f\,g'}=f\,g-\int{f'g}\]

لذلك بتوصيل المعلومات التي لدينا , نحصل على ما يلي:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}={{e}^{{{x}^{2}}}}\frac{{{x}^{3}}}{3}-\int{2x{{e}^{{{x}^{2}}}}\frac{{{x}^{3}}}{3}dx}\] \[\Rightarrow \,\,\,\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}=\frac{{{e}^{{{x}^{2}}}}{{x}^{3}}}{3}-\frac{2}{3}\int{{{x}^{4}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\]

لذا فقد استخدمت قاعدة التكامل بالأجزاء أعلاه , لكن في الواقع , دخلت في تكامل أصعب لحل. هذا , من أجل حل \(\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}\) علينا أن نعرف أولاً كيفية حساب \(\int{{{x}^{4}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\) وهو في الواقع أصعب.

المغزى من هذه القصة هو أن التكامل حسب الأجزاء هو نوع من قاعدة حاصل الضرب للتكاملات , وأنت تبحث عن بنية محددة: إنها جزء لا يتجزأ من حاصل ضرب وظيفتين , وإحدى تلك الوظائف تحتاج إلى معرفة كيفية لحساب مشتقها العكسي. إذا كان الأمر كذلك , فأنت تعمل ويمكنك تطبيق قاعدة التكامل حسب الأجزاء.

ولكن , كما يتضح في المثال السابق , حقيقة أنه يمكنك استخدام التكامل بالأجزاء لا يعني أنه سيكون مفيدًا في كل مرة.