Simplificando Radicais
Expressões algébricas contendo radicais são muito comuns e é importante saber como manuseá-las corretamente. A primeira regra que precisamos aprender é que radicais SEMPRE podem ser convertidos em poderes, e é disso que trata este tutorial.
Neste tutorial, aprenderemos como simplificar radicais.
Na verdade, lidamos com radicais o tempo todo, especialmente com \(\sqrt x\). Uma coisa que talvez não paremos para pensar é que os radicais podem ser colocados em termos de poderes.
Como posso fazer isso? Confira. Vamos começar com \(\sqrt x\) primeiro:
\[\large \boxed{\sqrt x = x^{1/2}}\]
Então, por que devemos ficar animados com o fato de que os radicais podem ser colocados em termos de poderes ??
A resposta é simples: porque podemos usar as regras que já conhecemos para poderes para derivar as regras para radicais.
Por exemplo, sejam \(x, y\ge 0\) dois números não negativos. Uma regra que se aplica a radicais é
\[\large \sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\]Como nós sabemos? Bem, simplesmente usando regra 6 dos expoentes e a definição de radical como uma potência. Confira:
\[\large \sqrt{x\cdot y} = (x \cdot y)^{1/2} = x^{1/2} \cdot y^{1/2} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\]EXEMPLO 1: Simplifique a seguinte expressão radical:
\[\large \displaystyle \sqrt{27x^5 y^7}\]RESPONDA:
Com base na expressão dada, podemos reescrever os elementos dentro do radical para obter
\[\large \displaystyle \sqrt{27x^5 y^7} = \sqrt{3^3 x^4 \cdot x y^6 \cdot y}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2 \cdot 3 x^4 \cdot x y^6 \cdot y}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{(3^2 x^4 y^6) \cdot (3x y)} \] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2 x^4 y^6} \sqrt{3xy}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2}\sqrt{x^4}\sqrt{ y^6} \sqrt{3xy}\] \[\large \displaystyle = 3x^2y^3 \sqrt{3xy}\]Regras dos Radicais
Existem regras para operar radicais que têm muito a ver com as regras exponenciais (naturalmente, porque acabamos de ver que os radicais podem ser expressos como potências, então é esperado que regras semelhantes sejam aplicadas).
Regra 1: \(\large \displaystyle \sqrt{x^2} = |x| \)
Regra 2: \(\large\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\)
Regra 3: \(\large\displaystyle \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt x}{\sqrt y}\)
Provavelmente, de uma forma ou de outra, você trabalhou com essas regras, às vezes mesmo sem saber que as estava usando.
Uma menção específica deve-se à primeira regra. Muitas vezes, você verá (ou até mesmo seu instrutor lhe dirá) que \(\sqrt{x^2} = x\), com o argumento de que a "raiz aniquila o quadrado". Até certo ponto, essa afirmação está correta, mas não é verdade que \(\sqrt{x^2} = x\). Na verdade, podemos dar um contra-exemplo: \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt(9) = 3\). Portanto, neste caso, \(\sqrt{x^2} = -x\).
Na verdade, o que acontece é que \(\sqrt{x^2} = |x|\). Este é o caso quando obtemos \(\sqrt{(-3)^2} = 3\), porque \(|-3| = 3\).
EXEMPLO 2
Simplifique a seguinte expressão radical:
\[\large \displaystyle \sqrt{\frac{8 x^5 y^6}{5 x^8 y^{-2}}}\]RESPONDA:
Existem várias coisas que precisam ser feitas aqui. Primeiro, vemos que essa é a raiz quadrada de uma fração, então podemos usar a Regra 3. Então, existem potências negativas que podem ser transformadas.
Concretamente, podemos levar o \(y^{-2}\) no denominador para o numerador como \(y^2\). Então, podemos simplificar alguns poderes. Então, temos:
\[\large \displaystyle \sqrt{\frac{8 x^5 y^6}{5 x^2 y^{-2}}} = \sqrt{\frac{8 x^5 y^6 y^{2}}{5 x^8 }}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{\frac{2^3 y^{6+2}}{5 x^{8-5} }} = \sqrt{\frac{2^3 y^8}{5 x^3 }} \] \[\large \displaystyle = \frac{\sqrt{2^3 y^8}}{\sqrt{5 x^3 }} = \frac{2y^4 \sqrt{2}}{x\sqrt{5 x }}\]Mais sobre a simplificação de radicais
Observe que analisamos e conversamos sobre regras para radicais, mas consideramos apenas a raiz quadrada \(\sqrt x\). A questão é: as mesmas regras se aplicam a outros radicais (que não são a raiz quadrada)? Resposta curta: Sim
Apenas para ter uma discussão completa sobre radicais, precisamos definir radicais em geral, usando a seguinte definição:
\[\large \boxed{\sqrt[n] x = x^{1/n}}\]Com esta definição, temos as seguintes regras:
Regra 1.1: \(\large \displaystyle \sqrt[n]{x^n} = x\), quando \(n\) é estranho.
Regra 1.2: \(\large \displaystyle \sqrt[n]{x^n} = |x|\), quando \(n\) é par.
Regra 2: \(\large\displaystyle \sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \sqrt[n]{y}\)
Regra 3: \(\large\displaystyle \sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}\)