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Simplificando Radicais

Expressões algébricas contendo radicais são muito comuns e é importante saber como manuseá-las corretamente. A primeira regra que precisamos aprender é que radicais SEMPRE podem ser convertidos em poderes, e é disso que trata este tutorial.

Neste tutorial, aprenderemos como simplificar radicais.

Na verdade, lidamos com radicais o tempo todo, especialmente com $\sqrt x$ . Uma coisa que talvez não paremos para pensar é que os radicais podem ser colocados em termos de poderes.

Como posso fazer isso? Confira. Vamos começar com $\sqrt x$ primeiro:

\large \boxed{\sqrt x = x^{1/2}}

Então, por que devemos ficar animados com o fato de que os radicais podem ser colocados em termos de poderes ??

A resposta é simples: porque podemos usar as regras que já conhecemos para poderes para derivar as regras para radicais.

Por exemplo, sejam $x, y\ge 0$ dois números não negativos. Uma regra que se aplica a radicais é

\large \sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}

Como nós sabemos? Bem, simplesmente usando regra 6 dos expoentes e a definição de radical como uma potência. Confira:

\large \sqrt{x\cdot y} = (x \cdot y)^{1/2} = x^{1/2} \cdot y^{1/2} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}

EXEMPLO 1: Simplifique a seguinte expressão radical:

\large \displaystyle \sqrt{27x^5 y^7}

RESPONDA:

Com base na expressão dada, podemos reescrever os elementos dentro do radical para obter

\large \displaystyle \sqrt{27x^5 y^7} = \sqrt{3^3 x^4 \cdot x y^6 \cdot y}

\large \displaystyle = \sqrt{3^2 \cdot 3 x^4 \cdot x y^6 \cdot y}

\large \displaystyle = \sqrt{(3^2 x^4 y^6) \cdot (3x y)}

\large \displaystyle = \sqrt{3^2 x^4 y^6} \sqrt{3xy}

\large \displaystyle = \sqrt{3^2}\sqrt{x^4}\sqrt{ y^6} \sqrt{3xy}

\large \displaystyle = 3x^2y^3 \sqrt{3xy}

Regras dos Radicais

Existem regras para operar radicais que têm muito a ver com as regras exponenciais (naturalmente, porque acabamos de ver que os radicais podem ser expressos como potências, então é esperado que regras semelhantes sejam aplicadas).

Regra 1: $\large \displaystyle \sqrt{x^2} = |x|$

Regra 2: $\large\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}$

Regra 3: $\large\displaystyle \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt x}{\sqrt y}$

Provavelmente, de uma forma ou de outra, você trabalhou com essas regras, às vezes mesmo sem saber que as estava usando.

Uma menção específica deve-se à primeira regra. Muitas vezes, você verá (ou até mesmo seu instrutor lhe dirá) que $\sqrt{x^2} = x$ , com o argumento de que a "raiz aniquila o quadrado". Até certo ponto, essa afirmação está correta, mas não é verdade que $\sqrt{x^2} = x$ . Na verdade, podemos dar um contra-exemplo: $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt(9) = 3$ . Portanto, neste caso, $\sqrt{x^2} = -x$ .

Na verdade, o que acontece é que $\sqrt{x^2} = |x|$ . Este é o caso quando obtemos $\sqrt{(-3)^2} = 3$ , porque $|-3| = 3$ .

EXEMPLO 2

Simplifique a seguinte expressão radical:

\large \displaystyle \sqrt{\frac{8 x^5 y^6}{5 x^8 y^{-2}}}

RESPONDA:

Existem várias coisas que precisam ser feitas aqui. Primeiro, vemos que essa é a raiz quadrada de uma fração, então podemos usar a Regra 3. Então, existem potências negativas que podem ser transformadas.

Concretamente, podemos levar o $y^{-2}$ no denominador para o numerador como $y^2$ . Então, podemos simplificar alguns poderes. Então, temos:

\large \displaystyle \sqrt{\frac{8 x^5 y^6}{5 x^2 y^{-2}}} = \sqrt{\frac{8 x^5 y^6 y^{2}}{5 x^8 }}

\large \displaystyle = \sqrt{\frac{2^3 y^{6+2}}{5 x^{8-5} }} = \sqrt{\frac{2^3 y^8}{5 x^3 }}

\large \displaystyle = \frac{\sqrt{2^3 y^8}}{\sqrt{5 x^3 }} = \frac{2y^4 \sqrt{2}}{x\sqrt{5 x }}

Mais sobre a simplificação de radicais

Observe que analisamos e conversamos sobre regras para radicais, mas consideramos apenas a raiz quadrada $\sqrt x$ . A questão é: as mesmas regras se aplicam a outros radicais (que não são a raiz quadrada)? Resposta curta: Sim