Álgebra Tutoriais

Sequências geométricas

Uma Sequência Geométrica é uma sequência de números que possui a propriedade de que a razão entre dois elementos consecutivos é constante, igual a um determinado valor \(r\). Este valor também é conhecido como razão comum.

Em um problema da vida real, você receberá um valor inicial \(a\) e a razão constante \(r\) que é preservada entre valores consecutivos na sequência. Sua tarefa será calcular a sequência geométrica usando essas informações fornecidas.

Como faço para resolver uma sequência geométrica?

Suponha que o primeiro termo seja \(a\). Então, o próximo termo é \(a r\) e o próximo é \(ar^2\). E assim por diante.

Então, em outras palavras, começamos com o primeiro termo \(a\), e o próximo termo é sempre encontrado multiplicando o termo anterior por \(r\).

Portanto, o primeiro termo é \(a_1 = a\).

O segundo termo é \(a_2 = a r\).

O terceiro termo é \(a_3 = a r^2\).

Fórmula da sequência geométrica

Observando o exemplo acima, o que acontece é que o valor inicial \(a\) é multiplicado por um \(r\) extra a cada etapa. Portanto, o n geral ^º termo é

\[\large a_n = a r^{n-1}\]

Isso significa que após avançar as etapas \(n\), obtemos que o número correspondente na sequência é \( a_n = a r^{n-1}\). Esta é a fórmula para o padrão de série geométrica, e tudo que você precisa é inserir os valores de \(a\) e \(n\) na fórmula.

Então, como você encontra o enésimo termo em uma sequência geométrica?

Resumindo, para encontrar o enésimo termo em uma sequência geométrica, você precisa de duas informações para definir uma sequência geométrica: Você precisa do termo inicial \(a\) e da razão constante \(r\).

Então, os termos consecutivos da sequência geométrica são obtidos multiplicando o termo anterior por \(r\). Por exemplo, 3, 6, 12, 24, ... é uma sequência geométrica, pois o valor inicial é \(a = 3\) e então cada valor subsequente é obtido multiplicando o valor anterior por \(r = 2\).

Além disso, por exemplo, você pode se perguntar qual é a regra para 1 2 4 8 16 e se é uma sequência geométrica. Bem, temos que o valor inicial é \(a = 1\), e cada próximo valor é obtido multiplicando o valor anterior por \(r = 2\).

EXEMPLO 1: Exemplo de sequência geométrica

Encontre o 6º termo de uma sequência geométrica com termo inicial \(10\) e \(r = 1/2\).

Resposta:

Então, como você calcular uma sequência geométrica ? Com base nas informações fornecidas, temos informações suficientes para definir a sequência geométrica. Na verdade, temos o primeiro termo \(a = 10\) e temos a razão constante \(r = 1/2\).

O geral n ^º termo é

\[\large a_n = a r^{n-1}\]

então o 6 ^º termo é

\[\large \displaystyle a_{10} = a r^{6-1} = 10 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \] \[\large = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} \]

A proporção comum pode ser negativa?

Sim absolutamente. A razão constante \(r\) pode ser negativa. Por exemplo, podemos ter uma sequência geométrica com termo inicial \(a_1 = 1\) e razão constante \(r = -2\). Então, o segundo termo é \(a_2 = 1 \cdot (-2) = -2\), \(a_3 = (-2) \cdot (-2) = 4\) e assim por diante.

Então, é exatamente a mesma regra: para obter o termo seguinte, multiplicamos o termo anterior pela razão constante \(r\), mesmo que a razão constante seja negativa.

Exemplo 2

Encontre o 5º termo de uma sequência geométrica com termo inicial \(3\) e \(r = -2\).

Resposta:

Temos informações suficientes para definir a sequência geométrica, pois temos o primeiro termo \(a_1 = 3\), e temos a razão constante \(r = -2\).

O geral n ^º termo (com razão constante negativa) é

\[\large a_n = a r^{n-1} = 3 \cdot (-2)^{n-1}\]

então o 5 ^º termo é

\[\large \displaystyle a_{5} = a r^{5-1} = 3 \cdot (-2)^{5-1} = 3 \cdot (-2)^4 = 3 \cdot 16 = 48\]

Você pode usar nosso calculadora de fórmula de sequência geométrica para verificar o que você encontrou acima, que é uma calculadora de fórmula explícita.

Exemplo 3

Considere a sequência 1, 1/2, 1/4, 1/16, ... Esta sequência é geométrica?

Resposta:

Para que uma determinada sequência seja geométrica, os termos precisam ter uma razão comum. Neste caso, dividindo o segundo termo pelo primeiro obtemos \((1/2)/1 = 1/2\).

Então, se dividirmos o terceiro pelo segundo termo: \((1/4)/(1/2) = 1/2\). Até agora tudo bem.

Agora, se dividirmos o quarto pelo terceiro termo: \((1/16)/(1/4) = 1/4\). Falha. Não é uma série geométrica, porque não tem uma razão comum (a razão é 1/2 para os dois primeiros termos, mas depois é 1/4, portanto não é constante).

Portanto, a sequência NÃO é uma sequência geométrica.

Mais sobre as sequências geométricas

A piada que você precisa ter em mente. Qual é a fórmula da sequência geométrica? Simples

\[\large a_n = a r^{n-1}\]

onde \(a\) é o termo inicial e \(r\) é a razão constante (ou razão comum, como também é chamada).

Existem algumas calculadoras que você pode querer usar e que estão relacionadas ao conceito de sequência geométrica, ou progressão geométrica , como também é chamado.

• Primeiro você pode verificar nosso calculadora de soma de séries geométricas infinitas , que soma termos infinitos de uma sequência geométrica. Esta soma será bem definida (convergente) se a razão constante for tal que \(|r| < 1\).

• Além disso, você vai querer usar nosso calculadora de soma de sequência geométrica , que calcula a soma dos termos em uma sequência geométrica, ATÉ um determinado valor finito. Esta soma é bem definida sem condições da razão constante \(r\), desde que somemos um termo finito da sequência.