Uma Sequência Geométrica é uma sequência de números que possui a propriedade de que a razão entre dois elementos consecutivos é constante, igual a um determinado valor $r$. Este valor também é conhecido como razão comum.

Em um problema da vida real, você receberá um valor inicial $a$ e a razão constante $r$ que é preservada entre valores consecutivos na sequência. Sua tarefa será calcular a sequência geométrica usando essas informações fornecidas.

Como faço para resolver uma sequência geométrica?

Suponha que o primeiro termo seja $a$. Então, o próximo termo é $a r$ e o próximo é $ar^2$. E assim por diante.

Então, em outras palavras, começamos com o primeiro termo $a$, e o próximo termo é sempre encontrado multiplicando o termo anterior por $r$.

Portanto, o primeiro termo é $a_1 = a$.

O segundo termo é $a_2 = a r$.

O terceiro termo é $a_3 = a r^2$.

Fórmula da sequência geométrica

Observando o exemplo acima, o que acontece é que o valor inicial $a$ é multiplicado por um $r$ extra a cada etapa. Portanto, o n geral ^º termo é

Isso significa que após avançar as etapas $n$, obtemos que o número correspondente na sequência é $a_n = a r^{n-1}$. Esta é a fórmula para o padrão de série geométrica, e tudo que você precisa é inserir os valores de $a$ e $n$ na fórmula.

Então, como você encontra o enésimo termo em uma sequência geométrica?

Resumindo, para encontrar o enésimo termo em uma sequência geométrica, você precisa de duas informações para definir uma sequência geométrica: Você precisa do termo inicial $a$ e da razão constante $r$.

Então, os termos consecutivos da sequência geométrica são obtidos multiplicando o termo anterior por $r$. Por exemplo, 3, 6, 12, 24, ... é uma sequência geométrica, pois o valor inicial é $a = 3$ e então cada valor subsequente é obtido multiplicando o valor anterior por $r = 2$.

Além disso, por exemplo, você pode se perguntar qual é a regra para 1 2 4 8 16 e se é uma sequência geométrica. Bem, temos que o valor inicial é $a = 1$, e cada próximo valor é obtido multiplicando o valor anterior por $r = 2$.

EXEMPLO 1: Exemplo de sequência geométrica

Encontre o 6º termo de uma sequência geométrica com termo inicial $10$ e $r = 1/2$.

Resposta:

Então, como você calcular uma sequência geométrica ? Com base nas informações fornecidas, temos informações suficientes para definir a sequência geométrica. Na verdade, temos o primeiro termo $a = 10$ e temos a razão constante $r = 1/2$.

O geral n ^º termo é

então o 6 ^º termo é

A proporção comum pode ser negativa?

Sim absolutamente. A razão constante $r$ pode ser negativa. Por exemplo, podemos ter uma sequência geométrica com termo inicial $a_1 = 1$ e razão constante $r = -2$. Então, o segundo termo é $a_2 = 1 \cdot (-2) = -2$, $a_3 = (-2) \cdot (-2) = 4$ e assim por diante.

Então, é exatamente a mesma regra: para obter o termo seguinte, multiplicamos o termo anterior pela razão constante $r$, mesmo que a razão constante seja negativa.

Exemplo 2

Encontre o 5º termo de uma sequência geométrica com termo inicial $3$ e $r = -2$.

Resposta:

Temos informações suficientes para definir a sequência geométrica, pois temos o primeiro termo $a_1 = 3$, e temos a razão constante $r = -2$.

O geral n ^º termo (com razão constante negativa) é

então o 5 ^º termo é

Você pode usar nosso calculadora de fórmula de sequência geométrica para verificar o que você encontrou acima, que é uma calculadora de fórmula explícita.

Exemplo 3

Considere a sequência 1, 1/2, 1/4, 1/16, ... Esta sequência é geométrica?

Resposta:

Para que uma determinada sequência seja geométrica, os termos precisam ter uma razão comum. Neste caso, dividindo o segundo termo pelo primeiro obtemos $(1/2)/1 = 1/2$.

Então, se dividirmos o terceiro pelo segundo termo: $(1/4)/(1/2) = 1/2$. Até agora tudo bem.

Agora, se dividirmos o quarto pelo terceiro termo: $(1/16)/(1/4) = 1/4$. Falha. Não é uma série geométrica, porque não tem uma razão comum (a razão é 1/2 para os dois primeiros termos, mas depois é 1/4, portanto não é constante).

Portanto, a sequência NÃO é uma sequência geométrica.