Mais sobre a série geométrica infinita

A ideia de um infinito série pode ser desconcertante no início. Não precisa ser complicado quando entendemos o que queremos dizer com uma série.

Uma série infinita nada mais é do que uma soma infinita. Em outras palavras, temos um conjunto infinito de números, digamos \(a_1, a_2, ..., a_n, ....\), e adicionaremos esses termos, como:

\[a_1 + a_2 + ... + a_n + ....\]

Mas, como pode ser tedioso ter que escrever a expressão acima para deixar claro que estamos somando um número infinito de termos, usamos notação, como sempre no Math. Uma série infinita é escrita como:

\[ a_1 + a_2 + ... + a_n + .... = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \]

que é uma forma mais compacta e inequívoca de expressar o que queremos dizer. Mesmo assim, a ideia de soma infinita é meio confusa. O que queremos dizer com soma infinita?

Essa é uma boa pergunta: a ideia de somar um número infinito de termos consiste em somar um certo termo \(N\) e então empurrar esse valor \(N\) até o infinito. Então, precisamente, uma série infinita é definida como

\[ a_1 + a_2 + ... + a_n + .... = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N\to \infty} \sum_{n=1}^{N} a_n \]

Então, de fato, o acima é a definição formal da soma de uma série infinita.

O que há de especial em uma série geométrica

Em geral, para especificar uma série infinita, você precisa especificar um número infinito de termos. No caso das séries geométricas, você só precisa especificar o primeiro termo \(a\) e a razão constante \(r\).

O n-ésimo termo geral da sequência geométrica é \(a_n = a r^{n-1}\), então a série geométrica torna-se

\[ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} \]

Um resultado importante é que a série acima converge se e somente se \(|r| < 1\). Nesse caso, a fórmula da série geométrica para a soma é

\[ S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r}\]

Exemplos

Como exemplo, podemos calcular a soma da série geométrica \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ....\). Nesse caso, o primeiro termo é \(a = 1\), e a razão constante é \(r = \frac{1}{2}\). Então, a soma é calculada diretamente como:

\[ S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-1/2} = \frac{1}{1/2} = 2\]

O que acontece com a série é \(|r| > 1\)

Resposta curta: a série diverge. Os termos ficam muito grandes, como acontece com o crescimento geométrico, se \(|r| > 1\) os termos na sequência se tornarão extremamente grandes e convergirão para o infinito.

E se a soma não for infinita

Nesse caso, você precisa usar este calculadora de soma de sequência geométrica , em que você adiciona um número finito de termos.