Álgebra Tutoriais

Fórmula de queda exponencial

A fórmula do Decaimento Exponencial é muito útil e aparece em MUITAS aplicações na prática, incluindo a modelagem do decaimento radioativo.

Nosso principal objetivo neste tutorial é aprender sobre a fórmula de decaimento exponencial, quando aplicá-la e como lidar com seus parâmetros.

Algebricamente falando, um decadência exponencial expressão é qualquer expressão da forma

\large f(x) = A e^{-kx}

onde $k$ é um número real tal que $k > 0$ , e também $A$ é um número real tal que $A > 0$ .

Normalmente, o parâmetro $A$ é chamado de valor inicial , e o parâmetro $k$ é chamado de constante de decadência ou taxa de decaimento .

Por exemplo

\large f(x) = e^{-x}

\large g(x) = e^{-2x}

ambos correspondem a funções com decaimento exponencial.

Como essas funções com decaimento exponencial aparecem GRAFICAMENTE? Confira abaixo:

Uma coisa que podemos observar é que ambas as funções DETERIORAM MUITO rápido.

O que queremos dizer com DECAY ??? Eles decaem, no sentido de que se aproximam rapidamente de zero à medida que $x$ se torna cada vez maior ( $x \to +\infty$ ).

Na verdade, ambas as funções depois de dizer $x > 4$ são muito pequenas (o gráfico quase toca o eixo y).

Além disso, se prestarmos atenção, percebemos que $e^{-2x}$ decai MAIS RAPIDAMENTE do que $e^{-x}$ .

QUESTÃO :

A função abaixo:

\large f(x) = 2^{-x}

tem decaimento exponencial ???

A resposta é sim.

Embora você possa inicialmente pensar: "Bem, isso não é decadência exponencial, porque eu não vejo o ' $e$ ' em lugar nenhum ...". Então, isso é muito observador.

MAS, não se esqueça que podemos escrever

\large 2 = e^{\ln 2}

então a função

\large f(x) = 2^{-x}

pode ser reescrito como

\large f(x) = 2^{-x} = \left(e^{\ln 2}\right)^{-x} = e^{-(\ln 2) x}

O cálculo acima prova (tosse, tosse, desculpe, eu sei que você não gosta dessa palavra) que $2^{-x}$ é uma função com decaimento exponencial com constante de decaimento $k = \ln 2$ .

EXEMPLO 1:

Encontre o valor inicial e a taxa de decaimento para a seguinte função:

\large f(x) = 3 e^{-4x}

RESPONDA:

Com base na função fornecida, obtemos diretamente que o valor inicial neste caso é $A = 3$ e a taxa de decaimento é $k = -4$ .

EXEMPLO 2:

Determine se a expressão abaixo tem decaimento exponencial e, em caso afirmativo, encontre seu valor inicial e taxa de decaimento:

\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x}

RESPONDA:

Observe que não vemos ' $e$ diretamente na expressão, MAS, não se esqueça de que podemos escrever

\large 3 = e^{\ln 3}

então a função

\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x}

pode ser reescrito como

\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x} = \frac{1}{2} \left(e^{\ln 3}\right)^{-2x} = \frac{1}{2} e^{-2(\ln 3) x}

Portanto, esta é uma função com decaimento exponencial, e seus parâmetros são: Valor inicial $A =\frac{1}{2}$ e decaimento exponencial $k = 2(\ln 3)$ .

Aplicações: Como encontrar os parâmetros de uma fórmula exponencial

Muitas vezes, não recebemos apenas os parâmetros de decaimento exponencial. Sim. Às vezes, esses parâmetros precisam ser calculados a partir de certas informações fornecidas, e então você precisa se preocupar em como resolver a queda exponencial

Essas informações geralmente são fornecidas em um dos seguintes tipos:

Tipo 1: Sabemos que há decadência exponencial E recebemos o valor inicial e o meia vida

Tipo 2: Sabemos que há decaimento exponencial E nos é dado o valor da função em dois pontos diferentes no tempo.

Notas sobre a meia-vida

O intervalo corresponde ao tempo que uma função com decaimento exponencial leva para levar seu valor à metade de seu valor original.

Portanto, assuma que $h$ é a meia-vida de $f(x) = A e^{-kx}$ e $A$ é conhecida. Como calculamos a taxa de decaimento $k$ ?? Observe que quando $x = h$ teremos exatamente METADE do que tínhamos inicialmente:

A/2 = f(h) = A e^{-k h}

e resolver isso leva a

A/2 = A e^{-k h}

\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{2}= e^{-k h}

\Rightarrow \displaystyle \ln\left(\frac{1}{2}\right)= \ln\left(e^{-k h}\right)

\Rightarrow \displaystyle -\ln 2 = -k h

\Rightarrow \displaystyle k = \frac{1}{h} \ln 2

Ao trabalhar em um problema real, você pode usar a fórmula diretamente ou simplesmente fazer a derivação que fizemos configurando as informações sobre a meia-vida.

EXEMPLO 3:

Suponha que uma função tenha um valor inicial de $A = 3$ e sua meia-vida seja $h = 3$ . Além disso, suponha que a função tenha decaimento exponencial. Encontre a taxa de decaimento exponencial.

RESPONDA:

Portanto, este é o primeiro caso do tipo de informação que podemos receber. Precisamos encontrar o valor inicial $A$ e a taxa de decaimento $k$ para determinar completamente a fórmula de decaimento exponencial.

Nesse caso, já nos foi dado que $A = 3$ , então tudo que nos resta é calcular a constante de decaimento $k$ . Como sabemos a meia-vida, podemos calcular a taxa de decaimento diretamente usando a fórmula:

\displaystyle k = \frac{1}{h} \ln 2 = \frac{1}{3} \ln 2 \approx 0.231049

Portanto, a fórmula de decaimento exponencial é

f(x) = \displaystyle A e^{-k x} = 3 e^{-\frac{1}{3} \ln 2 x} \approx 3 e^{-0.231049 x}

EXEMPLO 4:

Suponha que uma função tenha um valor inicial de $A = 5$ , e quando $x = 4$ temos esse $f(4) = 2$ . Além disso, suponha que a função tenha decaimento exponencial. Encontre a fórmula de decaimento exponencial.

RESPONDA:

Neste caso, recebemos $A = 5$ , e então tudo que temos que calcular é a constante de decaimento $k$ . Já que sabemos o valor da função quando $x = 4$ :

2 = f(4) = 5 e^{-k \cdot 4}

\Rightarrow 2 = 5 e^{-4k}

\displaystyle \Rightarrow \frac{2}{5} = e^{-4k}

\displaystyle \Rightarrow \ln\left(\frac{2}{5}\right) = \ln\left(e^{-4k}\right)

\displaystyle \Rightarrow \ln 2 - \ln 5 = -4k

\displaystyle \Rightarrow k = -\left(\frac{\ln 2 - \ln 5 }{4}\right) \approx 0.229073

Então, agora que calculamos o fator de decaimento, obtemos que a fórmula de decaimento exponencial é

f(x) = \displaystyle A e^{-k x} = 5 e^{-\frac{\ln 2 - \ln 5 }{4} } \approx 3 e^{-0.229073 x}

O seguinte é obtido se representarmos graficamente esta função:

Mais sobre decadência exponencial

O decaimento exponencial é um modelo no qual a função exponencial desempenha um papel fundamental e é um modelo muito útil que se ajusta a muitas teorias de aplicação da vida real. A aplicação mais famosa de decaimento exponencial tem a ver com o comportamento de materiais radioativos.

De fato, o material radioativo segue uma equação de decaimento exponencial, e cada material tem (dependendo de sua própria volatilidade) sua meia-vida, que é a quantidade de tempo que leva para a quantidade de material radioativo reduzir à metade.

Normalmente, a fórmula para decaimento radioativo é escrita como

A(t) =\displaystyle A_0 e^{-kt}

ou às vezes é expresso em termos de meia-vida $h$ como

A(t) =\displaystyle A_0 e^{-\left(\frac{1}{h} \ln 2 \right)t}

O que significa decaimento exponencial?

Matematicamente, uma função tem decaimento exponencial se puder ser escrita na forma $f(x) = A e^{-kx}$ . Para muitos de vocês, isso não diria muito.

Ok, tudo bem, então podemos descrever a queda exponencial. Ter decadência exponencial, você pode pensar, significa "decair MUITO rápido". Embora a função com decaimento exponencial DO decaia realmente rápido, nem todas as funções que decaem realmente rápido têm decaimento exponencial.

Por exemplo, considere $f(x) = \frac{1}{x^2}$ . Se você representar graficamente esta função, verá que ela decai muito rápido, mas na verdade não tem decaimento exponencial.

Se você fosse descrever o decaimento exponencial, além dos termos algébricos de sua definição, você precisará dizer que uma função tem decaimento exponencial se decair muito rápido, mas TAMBÉM tem uma propriedade crucial:

Independentemente do valor da função em um determinado ponto $x$ , existe um valor $h$ para que o valor do valor da função no ponto $x+h$ seja metade do valor da função em $x$ .

Em outras palavras, existe um valor constante $h$ (sim, você adivinhou, a meia-vida) que tem a propriedade de que a função reduz seu valor à metade após $h$ unidades.

A função $f(x) = \frac{1}{x^2}$ , embora decaia rapidamente, não possui a propriedade (meia-vida) acima.