Fórmula de queda exponencial
A fórmula do Decaimento Exponencial é muito útil e aparece em MUITAS aplicações na prática, incluindo a modelagem do decaimento radioativo.
Nosso principal objetivo neste tutorial é aprender sobre a fórmula de decaimento exponencial, quando aplicá-la e como lidar com seus parâmetros.
Algebricamente falando, um decadência exponencial expressão é qualquer expressão da forma
\[\large f(x) = A e^{-kx}\]onde \(k\) é um número real tal que \(k > 0\), e também \(A\) é um número real tal que \(A > 0\).
Normalmente, o parâmetro \(A\) é chamado de valor inicial , e o parâmetro \(k\) é chamado de constante de decadência ou taxa de decaimento .
Por exemplo
\[\large f(x) = e^{-x} \]e
\[\large g(x) = e^{-2x} \]ambos correspondem a funções com decaimento exponencial.
Como essas funções com decaimento exponencial aparecem GRAFICAMENTE? Confira abaixo:
Uma coisa que podemos observar é que ambas as funções DETERIORAM MUITO rápido.
O que queremos dizer com DECAY ??? Eles decaem, no sentido de que se aproximam rapidamente de zero à medida que \(x\) se torna cada vez maior (\(x \to +\infty\)).
Na verdade, ambas as funções depois de dizer \(x > 4\) são muito pequenas (o gráfico quase toca o eixo y).
Além disso, se prestarmos atenção, percebemos que \(e^{-2x}\) decai MAIS RAPIDAMENTE do que \(e^{-x}\).
QUESTÃO :
A função abaixo:
\[\large f(x) = 2^{-x}\]tem decaimento exponencial ???
A resposta é sim.
Embora você possa inicialmente pensar: "Bem, isso não é decadência exponencial, porque eu não vejo o '\(e\)' em lugar nenhum ...". Então, isso é muito observador.
MAS, não se esqueça que podemos escrever
\[\large 2 = e^{\ln 2}\]então a função
\[\large f(x) = 2^{-x}\]pode ser reescrito como
\[\large f(x) = 2^{-x} = \left(e^{\ln 2}\right)^{-x} = e^{-(\ln 2) x}\]O cálculo acima prova (tosse, tosse, desculpe, eu sei que você não gosta dessa palavra) que \(2^{-x}\) é uma função com decaimento exponencial com constante de decaimento \(k = \ln 2\).
EXEMPLO 1:
Encontre o valor inicial e a taxa de decaimento para a seguinte função:
\[\large f(x) = 3 e^{-4x}\]RESPONDA:
Com base na função fornecida, obtemos diretamente que o valor inicial neste caso é \(A = 3\) e a taxa de decaimento é \(k = -4\).
EXEMPLO 2:
Determine se a expressão abaixo tem decaimento exponencial e, em caso afirmativo, encontre seu valor inicial e taxa de decaimento:
\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x}\]RESPONDA:
Observe que não vemos '\(e\) diretamente na expressão, MAS, não se esqueça de que podemos escrever
\[\large 3 = e^{\ln 3}\]então a função
\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x}\]pode ser reescrito como
\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x} = \frac{1}{2} \left(e^{\ln 3}\right)^{-2x} = \frac{1}{2} e^{-2(\ln 3) x}\]Portanto, esta é uma função com decaimento exponencial, e seus parâmetros são: Valor inicial \(A =\frac{1}{2}\) e decaimento exponencial \(k = 2(\ln 3)\).
Aplicações: Como encontrar os parâmetros de uma fórmula exponencial
Muitas vezes, não recebemos apenas os parâmetros de decaimento exponencial. Sim. Às vezes, esses parâmetros precisam ser calculados a partir de certas informações fornecidas, e então você precisa se preocupar em como resolver a queda exponencial
Essas informações geralmente são fornecidas em um dos seguintes tipos:
Tipo 1:
Sabemos que há decadência exponencial E recebemos o valor inicial e o
meia vida
Tipo 2:
Sabemos que há decaimento exponencial E nos é dado o valor da função em dois pontos diferentes no tempo.
Notas sobre a meia-vida
O intervalo corresponde ao tempo que uma função com decaimento exponencial leva para levar seu valor à metade de seu valor original.
Portanto, assuma que \(h\) é a meia-vida de \(f(x) = A e^{-kx}\) e \(A\) é conhecida. Como calculamos a taxa de decaimento \(k\) ?? Observe que quando \(x = h\) teremos exatamente METADE do que tínhamos inicialmente:
\[A/2 = f(h) = A e^{-k h}\]e resolver isso leva a
\[A/2 = A e^{-k h}\] \[\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{2}= e^{-k h}\] \[\Rightarrow \displaystyle \ln\left(\frac{1}{2}\right)= \ln\left(e^{-k h}\right)\] \[\Rightarrow \displaystyle -\ln 2 = -k h\] \[\Rightarrow \displaystyle k = \frac{1}{h} \ln 2\]Ao trabalhar em um problema real, você pode usar a fórmula diretamente ou simplesmente fazer a derivação que fizemos configurando as informações sobre a meia-vida.
EXEMPLO 3:
Suponha que uma função tenha um valor inicial de \(A = 3\) e sua meia-vida seja \(h = 3\). Além disso, suponha que a função tenha decaimento exponencial. Encontre a taxa de decaimento exponencial.
RESPONDA:
Portanto, este é o primeiro caso do tipo de informação que podemos receber. Precisamos encontrar o valor inicial \(A\) e a taxa de decaimento \(k\) para determinar completamente a fórmula de decaimento exponencial.
Nesse caso, já nos foi dado que \(A = 3\), então tudo que nos resta é calcular a constante de decaimento \(k\). Como sabemos a meia-vida, podemos calcular a taxa de decaimento diretamente usando a fórmula:
\[ \displaystyle k = \frac{1}{h} \ln 2 = \frac{1}{3} \ln 2 \approx 0.231049 \]Portanto, a fórmula de decaimento exponencial é
\[f(x) = \displaystyle A e^{-k x} = 3 e^{-\frac{1}{3} \ln 2 x} \approx 3 e^{-0.231049 x} \]EXEMPLO 4:
Suponha que uma função tenha um valor inicial de \(A = 5\), e quando \(x = 4\) temos esse \(f(4) = 2\). Além disso, suponha que a função tenha decaimento exponencial. Encontre a fórmula de decaimento exponencial.
RESPONDA:
Portanto, este é o primeiro caso do tipo de informação que podemos receber. Precisamos encontrar o valor inicial \(A\) e a taxa de decaimento \(k\) para determinar completamente a fórmula de decaimento exponencial.
Neste caso, recebemos \(A = 5\), e então tudo que temos que calcular é a constante de decaimento \(k\). Já que sabemos o valor da função quando \(x = 4\):
\[ 2 = f(4) = 5 e^{-k \cdot 4}\] \[\Rightarrow 2 = 5 e^{-4k}\] \[\displaystyle \Rightarrow \frac{2}{5} = e^{-4k}\] \[\displaystyle \Rightarrow \ln\left(\frac{2}{5}\right) = \ln\left(e^{-4k}\right)\] \[\displaystyle \Rightarrow \ln 2 - \ln 5 = -4k\] \[\displaystyle \Rightarrow k = -\left(\frac{\ln 2 - \ln 5 }{4}\right) \approx 0.229073 \]Então, agora que calculamos o fator de decaimento, obtemos que a fórmula de decaimento exponencial é
\[f(x) = \displaystyle A e^{-k x} = 5 e^{-\frac{\ln 2 - \ln 5 }{4} } \approx 3 e^{-0.229073 x} \]O seguinte é obtido se representarmos graficamente esta função:
Mais sobre decadência exponencial
O decaimento exponencial é um modelo no qual a função exponencial desempenha um papel fundamental e é um modelo muito útil que se ajusta a muitas teorias de aplicação da vida real. A aplicação mais famosa de decaimento exponencial tem a ver com o comportamento de materiais radioativos.
De fato, o material radioativo segue uma equação de decaimento exponencial, e cada material tem (dependendo de sua própria volatilidade) sua meia-vida, que é a quantidade de tempo que leva para a quantidade de material radioativo reduzir à metade.
Normalmente, a fórmula para decaimento radioativo é escrita como
\[A(t) =\displaystyle A_0 e^{-kt} \]ou às vezes é expresso em termos de meia-vida \(h\) como
\[A(t) =\displaystyle A_0 e^{-\left(\frac{1}{h} \ln 2 \right)t}\]O que significa decaimento exponencial?
Matematicamente, uma função tem decaimento exponencial se puder ser escrita na forma \(f(x) = A e^{-kx}\). Para muitos de vocês, isso não diria muito.
Ok, tudo bem, então podemos descrever a queda exponencial. Ter decadência exponencial, você pode pensar, significa "decair MUITO rápido". Embora a função com decaimento exponencial DO decaia realmente rápido, nem todas as funções que decaem realmente rápido têm decaimento exponencial.
Por exemplo, considere \(f(x) = \frac{1}{x^2}\). Se você representar graficamente esta função, verá que ela decai muito rápido, mas na verdade não tem decaimento exponencial.
Se você fosse descrever o decaimento exponencial, além dos termos algébricos de sua definição, você precisará dizer que uma função tem decaimento exponencial se decair muito rápido, mas TAMBÉM tem uma propriedade crucial:
Independentemente do valor da função em um determinado ponto \(x\), existe um valor \(h\) para que o valor do valor da função no ponto \(x+h\) seja metade do valor da função em \(x\).
Em outras palavras, existe um valor constante \(h\) (sim, você adivinhou, a meia-vida) que tem a propriedade de que a função reduz seu valor à metade após \(h\) unidades.
A função \(f(x) = \frac{1}{x^2}\), embora decaia rapidamente, não possui a propriedade (meia-vida) acima.