A variância da amostra

A variância amostral \(s^2\) é uma das formas mais comuns de medir a dispersão de uma distribuição. Quando uma amostra de dados \(X_1, X_2, ...., X_n\) é fornecida, a variância amostral mede a dispersão dos valores amostrais em relação à média amostral.

Como você calcula a variância da amostra?

Mais especificamente, a variância da amostra é calculada conforme mostrado na fórmula abaixo:

\[ s^2 = \displaystyle \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2 \]

A fórmula acima tem a Soma dos Quadrados \( \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2 \) na parte superior e o número de graus de liberdade \(n-1\) na parte inferior.

A maneira de usar a fórmula acima é simples:

• Você define uma tabela, com uma coluna para os dados fornecidos \(X_i\)
• Você calcula a média amostral \(\bar X\)
• Coloque a média da amostra em uma coluna ao lado dos dados \(X_i\) (coloque a média da amostra ao lado de CADA termo da amostra)
• Construa uma coluna onde você calcula a subtração dos dados da amostra e a média da amostra: \(X_i - \bar X\)
• Construa uma coluna onde você calcula o quadrado da coluna anterior: (\(X_i - \bar X\))^2
• Some os valores desta última coluna
• Divida o resultado encontrado por \(n-1\).

Como você calcula a variância da amostra usando o excel?

Observe que você precisa calcular a média da amostra \(\bar X\) primeiro para usar a fórmula acima. Você pode calcular a variância usando o Excel usando o =VAR() função, mas a vantagem da nossa é que ela é uma calculadora de variância com etapas. Observe também que, se você calcular a raiz quadrada da variância, o que obterá será o desvio padrão da amostra.

Uma forma mais operacional

As pessoas reclamam que, para calcular a variância, precisam primeiro calcular a média amostral e, depois, calcular os desvios e tudo mais. Mas existe uma maneira de calcular a variância amostral imediatamente, sem calcular a média amostral?

Pode apostar que sim. Muitas vezes as pessoas pensam que precisam usar o fórmula de média e variância obrigatoriamente, mas não é o caso. Você pode verificar abaixo a maneira de calcular a variância amostral diretamente, sem calcular a média amostral

\[ s^2 = \displaystyle \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n X_i^2 - \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n X_i \right)^2 \right) \]

Razões pelas quais a variância da amostra é útil

• Para grandes tamanhos de amostra, a variância da amostra é um bom estimador da variância da população

Calculadoras de estatística descritiva que você pode precisar

Se, em vez disso, você quiser obter um cálculo passo a passo de todas as estatísticas descritivas, você pode tentar nosso calculadora estatística descritiva , que fornecerá todas as estatísticas descritivas mais comuns, com medidas de tendência central e dispersão mostrando todas as etapas do cálculo.

Além disso, se você estiver interessado em dispersão relativa, em oposição à dispersão absoluta, você pode usar nosso Calculadora de Coeficiente de Variação , que lhe diz o quão grande é a dispersão em relação à média Por que você precisa disso? Porque o desvio padrão representa o que é considerado dispersão absoluta. Mas o quão grande é a dispersão será relevante apenas em termos de quão grande ela é em relação à média.

Exemplo de aplicação

Pergunta : Para os dados de amostra fornecidos: 3, 4, 2, 3, 1, 4, 4, 4, 7, 8, 9, 12, 2, 3, 13, 18, calcule a variância da amostra.

Solução:

Precisamos calcular a variância amostral. Estes são os dados amostrais fornecidos:

\(X\)
3
4
2
3
1
4
4
4
7
8
9
12
2
3
13
18

Agora, precisamos elevar ao quadrado todos os valores da amostra, conforme mostrado na tabela abaixo:

Observação:	\(X\)	\(X^2\)
1	3	9
2	4	16
3	2	4
4	3	9
5	1	1
6	4	16
7	4	16
8	4	16
9	7	49
10	8	64
11	9	81
12	12	144
13	2	4
14	3	9
15	13	169
16	18	324
Sum =	\(97\)	\(931\)

Portanto, a variância da amostra é calculada conforme mostrado abaixo:

\[ \begin{array}{ccl} s^2 & = & \displaystyle \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n X_i^2 - \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2 \right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{16 - 1} \left( 931 - \frac{97^2}{16} \right) \\\\ \\\\ & = & 22.8625 \end{array}\]

Portanto, com base nos dados fornecidos, a variância da amostra é \(s^2 = 22.8625 \).