Come trovare l'inverso di una funzione


Molte applicazioni in Algebra e Calcolo dipendono dal sapere come trovare l'inverso di una funzione, e questo è l'argomento di questo tutorial.

Prima di tutto, devi capire che prima di trovare l'inverso di una funzione, devi assicurarti che tale inverso esista.

La cosa buona del metodo per trovare l'inverso che useremo è che troveremo l'inverso e scopriremo se esiste o meno allo stesso tempo.

Pronto?? Allora allaccia le cinture.

Grafico di una funzione e sua inversa

Come puoi sapere se una funzione ha un inverso?

Tecnicamente, una funzione ha un inverso quando è uno-a-uno (iniettiva) e suriettiva.

La condizione cruciale però è che deve essere uno a uno, perché una funzione può essere resa suriettiva restringendo il suo raggio d'azione alla propria immagine.

Come fai a sapere quando una funzione è uno a uno?

Bene, ci sono almeno un paio di modi. Uno è il modo algebrico e l'altro è il modo grafico (scommetto di sapere quale preferisci, eh?)

Modo algebrico

Per il modo algebrico, affinché una funzione ff sia uno-a-uno, dobbiamo dimostrare che ogni volta che f(x)=f(y)f(x) = f(y), abbiamo bisogno di x=yx = y.

In altre parole, dobbiamo dimostrarlo

f(x)=f(y)    x=yf(x) = f(y) \,\,\Rightarrow \,\, x = y

Modo grafico

Per il modo grafico, dobbiamo usare il test della linea orizzontale : Per qualsiasi linea orizzontale che disegniamo, il grafico della funzione attraversa al massimo una volta quella linea orizzontale.

Graficamente:

Supera il test della linea orizzontale

Esempio di una funzione che supera il test della linea orizzontale

Non supera il test della linea orizzontale

Esempio di una funzione che non supera il test della linea orizzontale

Trovare l'inverso

Trovare l'inverso di una data funzione f(x)f(x) richiede di risolvere un'equazione.

In effetti, hai l'equazione f(x)=yf(x) = y, prendi yy come un dato numero e devi risolverlo per xx e devi assicurarti che la soluzione sia UNICA.

Questo è tutto. Facile, vero ??

Ora, passiamo ai passaggi pratici:

Passo 1: Per un dato yy, imposta l'equazione:

f(x)=yf(x) = y

e risolverlo per xx.


Passo 2: Assicurati di prestare attenzione per vedere per quale yy, in realtà esiste una soluzione unica.


Passaggio 3: Una volta risolto xx in termini di yy, l'espressione che dipende da yy sarà il tuo f1(y)f^{-1}(y).


Passaggio 4: Cambia il nome della variabile da yy a xx e avrai la tua funzione inversa f1(x)f^{-1}(x).


ESEMPIO 1

Trova l'inverso della funzione f(x)=xf(x) = \sqrt x

RISPOSTA:

Quindi, prendiamo yy come dato e dobbiamo risolvere f(x)=yf(x) = y, che in questo caso corrisponde a risolvere

x=y\sqrt x = y

Nota che la radice quadrata è sempre non negativa, quindi per avere una soluzione, abbiamo bisogno di y0y\ge 0.

Applicando il quadrato su entrambi i lati lo otteniamo

  (x)2=y2\Rightarrow \,\, (\sqrt x)^2 = y^2   x=y2\Rightarrow \,\, x = y^2

Quindi, f1(y)=y2f^{-1}(y) = y^2, e cambiando il nome della variabile, abbiamo la funzione inversa is

f1(x)=x2f^{-1}(x) = x^2

per x0x\ge 0.

ESEMPIO 2

Trova l'inverso della funzione f(x)=xx+1f(x) = \displaystyle \frac{x}{x+1}, per x>1x > -1

RISPOSTA:

Di nuovo, prendiamo yy come dato, e ora dobbiamo risolvere per xx l'equazione f(x)=yf(x) = y. Quindi abbiamo

xx+1=y\displaystyle \frac{x}{x+1} = y   x=y(x+1)\Rightarrow \,\, x = y(x+1)   x=yx+y\Rightarrow \,\, x = yx + y   xyx=y\Rightarrow \,\, x - yx = y   x(1y)=y\Rightarrow \,\, x(1 - y) = y   x=y1y\Rightarrow \displaystyle \,\, x = \frac{y}{1-y}

Quindi, f1(y)=y1yf^{-1}(y) = \displaystyle \frac{y}{1-y}, e cambiando il nome della variabile, abbiamo la funzione inversa is

f1(x)=x1xf^{-1}(x) = \displaystyle \frac{x}{1-x}

Ulteriori informazioni sulla ricerca dell'inverso di una funzione

Una delle proprietà cruciali della funzione inversa f1(x)f^{-1}(x) è che f(f1(x))=xf(f^{-1}(x)) = x.

Pensa a cosa sta dicendo questa cosa. Qualcosa del tipo: "La funzione valutata al contrario ti dà l'identità".

In altre parole, valutare l'inverso tramite la funzione è come non fare nulla all'argomento.

O come alcune persone amano dire: la funzione può annullare l'inverso in un modo.

Scegli la tua versione.

Come trovare l'inversa di una funzione quadratica? Puoi?

In realtà, la risposta è: dipende. Questo perché se consideriamo una funzione quadratica su tutta la linea reale , quindi non è 1 a 1, poiché non supera il test della linea orizzontale, come puoi vedere nella tabella seguente:

Le funzioni quadratiche non superano il test della linea orizzontale

Non superando il test della linea orizzontale, possiamo vedere che per un dato yy c'è più di un valore xx così che f(x)=yf(x) = y, quindi non possiamo "risolvere" per xx, poiché c'è più di un xx.

MA, se limiti il ​​dominio e consideri solo i numeri positivi, otterremmo quanto segue:

Funzione quadratica su un dominio limitato

che supera il test della linea orizzontale e quindi la funzione quadratica è invertibile.

MORALE DELLA STORIA: Per verificare se qualcosa è invertibile, NON si tratta solo della funzione. Riguarda la funzione E la sua dominio e intervallo .

Come capire rapidamente il grafico delle funzioni inverse

C'è sempre la necessità di valutare se la funzione f(x)f(x) è invertibile o meno (controllando se è uno a uno o meno). Ma supponendo che tu sappia che è invertibile, c'è un modo semplice per trovare il grafico dell'inverso.

Innanzitutto, rappresenta graficamente la funzione data f(x)f(x).

Quindi, tracciare un grafico della linea dei 45 gradi y=xy = x.

Per rappresentare graficamente f1(x)f^{-1}(x), tutto ciò che devi fare è riflettere il grafico di f(x)f(x) attraverso la linea dei 45 gradi y=xy = x, come uno specchio.

Vedi l'esempio sotto con le funzioni f(x)=sinxf(x) = \sin x e f1(x)=arcsinxf^{-1}(x) = \arcsin x

Rappresentazione grafica della funzione inversa

Un altro modo per vederlo è usare l'originale grafico e modificare il valore di xx con il valore di yy.

C'è un modo per una funzione di essere la propria inversa?

Sì, in realtà è possibile, ma succede solo per la funzione identità, cioè con f(x)=xf(x) = x.

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