Algebra Tutorial

Come trovare la portata

Imparare a trovare l'intervallo di una funzione può rivelarsi molto importante in Algebra e Calcolo, perché ti dà la capacità di valutare quali valori vengono raggiunti da una funzione. O in altre parole, ti permette di trovare l'insieme di tutte le immagini tramite la funzione

Il compito di trovare quali punti possono essere raggiunti da una funzione è molto utile. Ad esempio, potresti avere una funzione di produzione $q(x)$ , che ti fornisce la quantità di output ottenuta per $x$ unità di input.

Vorremmo sapere quante unità di input sono necessarie per produrre $b$ unità di output. Quindi, in altre parole, dobbiamo trovare $x$ in modo che $q(x) = b$ , che è un altro modo per chiedere se $b$ è o meno nell'intervallo della funzione $q(x)$ .

In questo tutorial ci concentreremo maggiormente sui meccanismi per trovare la portata. Per un approccio più concettuale al dominio e alla portata, puoi farlo controlla questo tutorial .

Il modo algebrico di trovare la portata di una funzione

Come quando abbiamo imparato a calcolare il dominio, non esiste una ricetta per trovare l'intervallo, dipende davvero dalla struttura della funzione $f(x)$ .

Tuttavia, esiste una tecnica algebrica che verrà sempre utilizzata. Questo è il modo in cui trovi la gamma. Fai attenzione:

Supponiamo che dobbiamo ottenere l'intervallo di una determinata funzione $f(x)$ . Quindi, considereremo un numero reale generico $y$ e proveremo a risolvere per $x$ la seguente equazione:

f(x) = y

Dobbiamo determinare per quali valori di $y$ l'equazione precedente può essere risolta per $x$ . Questo è tutto. Ovviamente, potrebbe essere difficile da fare, a seconda della struttura della funzione $f(x)$ , ma è quello che devi fare.

Quindi questo è il modo algebrico, il modo in cui trovare l'intervallo di una funzione senza rappresentare graficamente.

ESEMPIO 1

Trova l'intervallo della funzione $\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{x-3}$ :

RISPOSTA:

Procediamo in modo algebrico: sia $y$ un numero e risolveremo $x$ nella seguente equazione: $f(x) = y$ . Il valore $y$ è compreso nell'intervallo se $f(x) = y$ può essere risolto per $x$ .

In questo caso abbiamo:

\large f(x) = y \Leftrightarrow \frac{x+1}{x-3} = y

\Rightarrow \,\,\,x+1 = y\left( x-3 \right)

\Rightarrow \,\,\,x+1 = yx-3y

\Rightarrow \,\,\,x-yx=-1-3y

\Rightarrow \,\,\,x\left( 1-y \right)=-1-3y

\Rightarrow \,\,\,x=\frac{3y+1}{y-1}

Quindi, quando $x$ sarà ben definito? Quasi per tutti $y$ , tranne quando $y = 1$ , perché in quel caso abbiamo una divisione per $0$ . Quindi, l'intervallo di $f$ in questo caso è l'intera linea reale, tranne 1.

Se usiamo la notazione dell'intervallo, possiamo scrivere $Range(f) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$ .

ESEMPIO 2

Trova l'intervallo della funzione $f(x) = x^2 - 4x + 3$ :

RISPOSTA:

Ancora una volta, procediamo usando il modo algebrico, quindi conosci il trapano: Sia $y$ un numero e risolveremo per $x$ nella seguente equazione: $f(x) = y$ . Il valore $y$ è compreso nell'intervallo se $f(x) = y$ può essere risolto per $x$ .

In questo caso abbiamo:

\large f(x) = y \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = y

\Rightarrow \,\,\, x^2 - 4x + 3 - y = 0 \text{ (This is a quadratic equation in x)}

\Rightarrow \displaystyle \,\,\, x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

\Rightarrow \displaystyle \,\,\, x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(3-y)}}{2(1)}

\Rightarrow \displaystyle \,\,\, x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(3-y)}}{2}

\Rightarrow \displaystyle \,\,\, x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12 + 4y}}{2}

\Rightarrow \displaystyle \,\,\, x = \frac{4 \pm \sqrt{4 + 4y}}{2}

\Rightarrow \displaystyle \,\,\, x = 2 \pm \sqrt{1+y}

Ora, vedendo questa espressione finale, quando sarà ben definito $x$ ? Dobbiamo avere che l'argomento della radice quadrata deve essere non negativo, quindi abbiamo bisogno di:

1+y \ge 0

il che significa che $y \ge -1$ . Se usiamo la notazione dell'intervallo, possiamo scrivere $Range(f) = [-1, +\infty)$ .

In questo esempio, avremmo potuto risolverlo utilizzando il fatto che $f(x) = x^2 - 4x + 3$ è una funzione quadratica e il suo grafico è una parabola che si apre verso l'alto.

Il punto minimo di questa parabola viene raggiunto al vertice. La coordinata x del vertice è:

\displaystyle x_V = \frac{-b}{2a} =\frac{-(-4)}{2(1)} =\frac{4}{2} = 2

Ora, la coordinata y del vertice si trova semplicemente inserendo il valore $x_V = 2$ nella funzione quadratica:

y_V = f(x_V) = 2^2 - 4(2) + 3 = -1

Poiché il valore minimo raggiunto dalla parabola è $-1$ , concludiamo che l'intervallo è $[-1, +\infty)$ , che è la stessa conclusione di quello trovato algebricamente.

Il grafico della funzione $f(x) = x^2 - 4x + 3$ lo rende ancora più chiaro:

Esempio del range di una funzione quadratica

Possiamo vedere che, in base al grafico, il minimo viene raggiunto in $x = 2$ , che è esattamente ciò che è stato trovato alla coordinata x del vertice.

Il rischio di utilizzare il grafico per trovare l'intervallo è che potresti potenzialmente interpretare erroneamente i punti critici nel grafico e fornire una valutazione imprecisa del punto in cui la funzione raggiunge il suo massimo o minimo.

Altre strategie per trovare l'intervallo di una funzione

Come abbiamo visto nell'esempio precedente, a volte possiamo trovare l'intervallo di una funzione semplicemente osservando il suo grafico.

Ad esempio, supponi di voler trovare l'intervallo della funzione $f(x) = x + 3$ . Il grafico è mostrato di seguito:

Il grafico sopra non mostra alcun punteggio minimo o massimo. Inoltre, quando $x$ è grande e positivo, anche il valore della funzione è grande e positivo. E analogamente, quando $x$ è molto negativo, anche il valore della funzione è molto negativo.

L'intuizione è che la funzione può assumere valori negativi e positivi quanto vogliamo, selezionando valori $x$ abbastanza grandi (positivi o negativi). E poi, la conclusione è che l'intervallo è l'intera linea reale, che è $(-\infty, +\infty)$ usando la notazione dell'intervallo.

Tale analisi è corretta in termini di risultato, ma è fragile in termini di ragionamento. Il "metodo grafico" per trovare la gamma ha questo problema: è accattivante dal punto di vista intuitivo, ma è piuttosto scarno in termini di contenuto.

Normalmente, se possibile, dovremmo preferire la via analitica / algebrica. Nell'esempio, dobbiamo risolvere per $x$ :

x + 3 = y

\Rightarrow \,\, x = y - 3

Quindi, c'è qualche restrizione su $y$ affinché $x$ sia ben definito? Niente affatto, quindi non ci sono restrizioni su $y$ e la conclusione è che l'intervallo è l'intera linea reale.