Come utilizzare questo calcolatore di funzione lineare inversa

L'idea di trovare l'inversa di una funzione è un concetto molto importante in Algebra. Esiste una definizione formale per la funzione inversa, che assume forme diverse.

Un modo comune per definire la funzione inversa a una data funzione \(y = f(x) \) è che \(f^{-1}(x)\) è l'inverso se \(f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) = x\), per tutti \(x\) in un insieme appropriato.

Ora, calcolare l'inverso per una funzione in generale non è necessariamente un semplice esercizio algebrico, come implica tipicamente Risolvendo per x a partire dalla funzione originale \(y = f(x) \), che potrebbe essere algebricamente difficile o impossibile.

Ma, quando hai a che fare con un funzione lineare della forma \(y = ax + b\), diventa un po' più semplice Risolvi per x e infine trova l'inverso.

Come si trova l'inversa di una funzione lineare?

Innanzitutto, inizi con una funzione lineare valida della forma \(y = ax + b\). Il tuo primo compito è quello di Risolvi per x :

\[ax = y-b\] \[\Rightarrow x = \frac{y-b}{a}\]

Ora, l'osservazione acuta che farai è "cosa succede se \(a = 0\)", e su questo avrai ragione. C'è un problema quando \(a = 0\), nel qual caso non puoi risolvere per \(x\) e non c'è l'inverso.

Infatti, quando \(a = 0\) risulta che la funzione iniziale era in realtà \(f(x) = b\), che è una costante, che non è iniettiva, quindi non c'è modo di collegare immagini e pre-immagini in modo univoco.

Ma siamo tutti in affari se \(a \ne 0\). Ora sostituisci \(x\) con \(f^{-1}(x)\) e \(y\) con \(x\), e quella che hai è la vera funzione inversa:

\[\Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}\]

Come usare questa calcolatrice

Il modo per trovare l'inversa di una funzione lineare con passi è semplicemente posizionare una funzione lineare valida della forma \(y = ax + b\).

Se fornisci una funzione lineare valida, la calcolatrice ti mostrerà tutti i passaggi necessari per arrivare all'inverso e otterrai anche un grafico della funzione originale e il suo inverso, se esiste l'inverso.

Si noti che questa calcolatrice funziona solo per funzioni lineari. Calcolare l'inverso di funzioni che non sono lineari può essere più difficile e non è sempre possibile.

Esempio

Trova la funzione inversa della seguente funzione lineare \(y = 3x - 2\).

Risposta:

Per trovare la funzione inversa della funzione lineare fornita, sono necessari i seguenti passaggi.

Passaggio 1: risoluzione di x : Il primo passo per trovare l'inverso dell'equazione lineare fornita è risolvere per \(x\):

Ci è stata fornita la seguente equazione:

\[\displaystyle y=3x-2\]

Ponendo \(x\) sul lato sinistro e \(y\) e la costante sul lato destro otteniamo

\[\displaystyle 3x = y + 2\]

Ora, risolvendo \(x\), si ottiene quanto segue

\[\displaystyle x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\]

e semplificando tutti i termini che necessitano di semplificazione, otteniamo finalmente quanto segue

\[\displaystyle x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\]

Pertanto, in base all'equazione fornita, concludiamo che il risultato della risoluzione di \(x\) dall'equazione data è \(\displaystyle x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\).

Passaggio 2 - Cambio dei ruoli delle variabili : Ora, per trovare la funzione inversa, cambiamo semplicemente il valore di \(y\) con \(x\) e il valore di \(x\) con \(f^{-1}(x)\) nell'equazione precedente, che porta a:

\[\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\]

Conclusione : Sulla base dell'equazione fornita, si trova che l'inverso della funzione lineare originale \(y=3x-2\) che è stata passata è \(\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\).