Ulteriori informazioni su questo calcolatore della matrice dei cofattori.

I cofattori sono strettamente associati all'inverso di una matrice e sono il trampolino di lancio della metodo adjoint utilizzato per calcolare l'inverso di una matrice (quando esiste).

Probabilmente, senza saperlo, avete avuto a che fare con i cofattori nel calcolo di un determinante di una matrice di 3x3 o più grandi. Quindi, come si sospetta, i cofattori hanno a che fare con i determinanti ottenuti eliminando una riga e una colonna.

Come si trova il cofattore di una matrice?

La prima cosa da fare è calcolare la matrice dei minori. Quindi, per una data matrice n x n \(A\), l'elemento della i-esima riga e della j-esima colonna della matrice dei minori è uguale al determinante della sottomatrice formata rimuovendo la i-esima riga e la j-esima colonna della matrice data \(A\).

Quindi, se chiamiamo \(A[i,j]\) la sottomatrice ottenuta rimuovendo la i-esima riga e la j-esima colonna di \(A\), formalmente definiamo la matrice dei minori, \(M\) come:

\[ M_{ij} = \det A[i,j]\]

Si noti che se \(A\) è una matrice n x n, allora anche \(M\) è n x n.

Che cos'è una matrice di cofattori?

Ci siamo quasi. Quindi il minore è la matrice che contiene tutti i determinanti delle corrispondenti sottomatrici ottenute eliminando una riga e una colonna. Il cofattore è quasi questo, tranne che per il fatto che si aggiunge un segno (positivo o negativo), a seconda di i e j.

Infatti, la matrice dei cofattori, \(C\), è definita come:

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} = (-1)^{i+j} \det A[i,j]\]

Sembra proprio quello che si usa quando si calcolano i determinanti, no? Quindi, per calcolare la matrice del cofattore, occorre calcolare una serie di determinanti .

Come utilizzare la calcolatrice della matrice dei cofattori con i passi necessari

Per utilizzare questo calcolatore di cofattori, è sufficiente fornire la matrice \(A\). Il calcolatore vi guiderà attraverso il processo di calcolo dei minori e dei segni per arrivare ai cofattori.

Esempio di calcolo della matrice di cofattori

Question: Si supponga di avere la seguente matrice

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Soluzione: Dobbiamo calcolare la matrice dei cofattori della matrice \(3 \times 3\) che ci è stata fornita.

Per prima cosa calcoliamo la matrice dei minori. Per definizione, la matrice dei minori \(M\) è definita dalla formula

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

dove in questo caso \( A^{i,j}\) è la matrice \(A\) dopo aver eliminato la riga \(i\) e la colonna \(j\).

Pertanto, sulla base della matrice \(A\) fornita, si ottengono i seguenti coefficienti della matrice dei minori:

Per \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 5\]

Per \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

Per \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) = -1\]

Per \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

Per \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Per \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

Per \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 3 \cdot \left(1 \right) = -1\]

Per \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = -1\]

Per \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 3 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) = -1\]

Riassumendo, la matrice dei minori è:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Ora, possiamo calcolare gli elementi della matrice dei cofattori \(C\) utilizzando la formula

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

La formula precedente può essere utilizzata direttamente perché i minori sono già noti. Otteniamo

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 5 = (-1)^{ 2} \cdot 5 = 5\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 3 = (-1)^{ 3} \cdot 3 = -3\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = -1\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 3 = (-1)^{ 3} \cdot 3 = -3\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 6} \left(-1\right) = 1\]

Riassumendo, la matrice dei cofattori è:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 5&\displaystyle -3&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

che conclude il calcolo.