Simplifier les radicaux
Les expressions algébriques contenant des radicaux sont très courantes et il est important de savoir comment les gérer correctement. La première règle que nous devons apprendre est que les radicaux peuvent TOUJOURS être convertis en pouvoirs, et c'est le sujet de ce tutoriel.
Dans ce tutoriel, nous allons apprendre à simplifier les radicaux.
En effet, nous avons tout le temps affaire à des radicaux, surtout avec \(\sqrt x\). Une chose à laquelle nous ne nous arrêtons peut-être pas, c'est que les radicaux peuvent être mis en termes de pouvoirs.
Comment faire? Vérifiez-le. Commençons par \(\sqrt x\) d'abord:
\[\large \boxed{\sqrt x = x^{1/2}}\]
Alors pourquoi devrions-nous être enthousiasmés par le fait que les radicaux peuvent être mis en termes de pouvoirs ??
La réponse est simple: parce que nous pouvons utiliser les règles que nous connaissons déjà pour les pouvoirs pour en tirer les règles pour les radicaux.
Par exemple, soit \(x, y\ge 0\) deux nombres non négatifs. Une règle qui s'applique aux radicaux est
\[\large \sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\]Comment savons nous? Eh bien, simplement en utilisant règle 6 des exposants et la définition du radical comme puissance. Vérifiez-le:
\[\large \sqrt{x\cdot y} = (x \cdot y)^{1/2} = x^{1/2} \cdot y^{1/2} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\]EXEMPLE 1: Simplifiez l'expression radicale suivante:
\[\large \displaystyle \sqrt{27x^5 y^7}\]RÉPONDRE:
Sur la base de l'expression donnée, nous pouvons réécrire les éléments à l'intérieur du radical pour obtenir
\[\large \displaystyle \sqrt{27x^5 y^7} = \sqrt{3^3 x^4 \cdot x y^6 \cdot y}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2 \cdot 3 x^4 \cdot x y^6 \cdot y}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{(3^2 x^4 y^6) \cdot (3x y)} \] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2 x^4 y^6} \sqrt{3xy}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2}\sqrt{x^4}\sqrt{ y^6} \sqrt{3xy}\] \[\large \displaystyle = 3x^2y^3 \sqrt{3xy}\]Règles des radicaux
Il existe des règles pour le fonctionnement des radicaux qui ont beaucoup à voir avec les règles exponentielles (naturellement, parce que nous venons de voir que les radicaux peuvent être exprimés en tant que pouvoirs, alors on s'attend à ce que des règles similaires s'appliquent).
Règle 1: \(\large \displaystyle \sqrt{x^2} = |x| \)
Règle 2: \(\large\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\)
Règle 3: \(\large\displaystyle \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt x}{\sqrt y}\)
Vous avez probablement, d'une manière ou d'une autre, travaillé avec ces règles, parfois même sans savoir que vous les utilisiez.
Une mention spécifique est due à la première règle. Souvent, vous verrez (ou même votre instructeur vous le dira) que \(\sqrt{x^2} = x\), avec l'argument que la "racine annihile le carré". Dans une certaine mesure, cette affirmation est correcte, mais ce n'est pas vrai que \(\sqrt{x^2} = x\). En effet, nous pouvons donner un contre-exemple: \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt(9) = 3\). Donc, dans ce cas, \(\sqrt{x^2} = -x\).
En réalité, ce qui se passe, c'est que \(\sqrt{x^2} = |x|\). C'est le cas lorsque nous obtenons \(\sqrt{(-3)^2} = 3\), car \(|-3| = 3\).
EXEMPLE 2
Simplifiez l'expression radicale suivante:
\[\large \displaystyle \sqrt{\frac{8 x^5 y^6}{5 x^8 y^{-2}}}\]RÉPONDRE:
Il y a plusieurs choses à faire ici. Tout d'abord, nous voyons que c'est la racine carrée d'une fraction, nous pouvons donc utiliser la règle 3. Ensuite, il y a des puissances négatives qui peuvent être transformées.
Concrètement, nous pouvons prendre le \(y^{-2}\) dans le dénominateur au numérateur comme \(y^2\). Ensuite, on peut simplifier certains pouvoirs On obtient donc:
\[\large \displaystyle \sqrt{\frac{8 x^5 y^6}{5 x^2 y^{-2}}} = \sqrt{\frac{8 x^5 y^6 y^{2}}{5 x^8 }}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{\frac{2^3 y^{6+2}}{5 x^{8-5} }} = \sqrt{\frac{2^3 y^8}{5 x^3 }} \] \[\large \displaystyle = \frac{\sqrt{2^3 y^8}}{\sqrt{5 x^3 }} = \frac{2y^4 \sqrt{2}}{x\sqrt{5 x }}\]En savoir plus sur la simplification des radicaux
Observez que nous avons analysé et parlé de règles pour les radicaux, mais nous ne considérons que la racine carrée \(\sqrt x\). La question est de savoir si les mêmes règles s'appliquent aux autres radicaux (qui ne sont pas la racine carrée)? Réponse courte: Oui
Pour avoir une discussion complète sur les radicaux, nous devons définir les radicaux en général, en utilisant la définition suivante:
\[\large \boxed{\sqrt[n] x = x^{1/n}}\]Avec cette définition, nous avons les règles suivantes:
Règle 1.1: \(\large \displaystyle \sqrt[n]{x^n} = x\), lorsque \(n\) est impair.
Règle 1.2: \(\large \displaystyle \sqrt[n]{x^n} = |x|\), lorsque \(n\) est pair.
Règle 2: \(\large\displaystyle \sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \sqrt[n]{y}\)
Règle 3: \(\large\displaystyle \sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}\)