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Séquences géométriques

A Séquence Géométrique est une suite de nombres qui a la propriété que le rapport entre deux éléments consécutifs est constant, égal à une certaine valeur \(r\). Cette valeur est également connue sous le nom de rapport commun.

Dans un problème réel, on vous donnera une valeur initiale \(a\), et le rapport constant \(r\) qui est préservé entre les valeurs consécutives de la séquence. Votre tâche consistera à calculer la séquence géométrique à l'aide de ces informations.

Comment résoudre une suite géométrique ?

Supposons que le premier terme soit \(a\). Le terme suivant est \(a r\), et le suivant est \(ar^2\). Et ainsi de suite.

En d'autres termes, nous commençons par le premier terme \(a\), et le terme suivant est toujours trouvé en multipliant le terme précédent par \(r\).

Le premier terme est donc \(a_1 = a\).

Le deuxième terme est \(a_2 = a r\).

Le troisième terme est \(a_3 = a r^2\).

Formule de la séquence géométrique

Dans l'exemple ci-dessus, la valeur initiale \(a\) est multipliée par un \(r\) supplémentaire à chaque étape. Par conséquent, la formule générale n ^e est

\[\large a_n = a r^{n-1}\]

Cela signifie qu'après avoir avancé de \(n\) pas, nous obtenons que le nombre correspondant dans la séquence est \( a_n = a r^{n-1}\). C'est la formule de la série géométrique, et tout ce dont vous avez besoin est d'introduire les valeurs de \(a\) et \(n\) dans la formule.

Alors, comment trouver le nième terme d'une suite géométrique ?

En résumé, pour trouver le nième terme d'une suite géométrique, vous avez besoin de deux informations pour définir une suite géométrique : Le terme initial \(a\) et le rapport constant \(r\).

Ensuite, les termes consécutifs de la suite géométrique sont obtenus en multipliant le terme précédent par \(r\). Par exemple, 3, 6, 12, 24, ... est une suite géométrique puisque la valeur initiale est \(a = 3\) et que chaque valeur suivante est obtenue en multipliant la valeur précédente par \(r = 2\).

Vous pouvez également vous demander quelle est la règle pour 1 2 4 8 16, et s'il s'agit d'une suite géométrique. Eh bien, la valeur initiale est \(a = 1\), et chaque valeur suivante est obtenue en multipliant la valeur précédente par \(r = 2\).

EXEMPLE 1 : Exemple de séquence géométrique

Trouvez le 6ème terme d'une suite géométrique dont le terme initial est \(10\), et \(r = 1/2\).

Réponse:

Alors, comment calculer une suite géométrique ? Sur la base des informations fournies, nous avons suffisamment d'informations pour définir la suite géométrique. En effet, nous avons le premier terme \(a = 10\), et nous avons le rapport constant \(r = 1/2\).

Le modèle général n ^e est

\[\large a_n = a r^{n-1}\]

alors les 6 ^e est

\[\large \displaystyle a_{10} = a r^{6-1} = 10 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \] \[\large = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} \]

Le rapport commun peut-il être négatif ?

Oui, absolument. Le rapport constant \(r\) peut être négatif. Par exemple, nous pouvons avoir une suite géométrique avec un terme initial \(a_1 = 1\) et un rapport constant \(r = -2\). Le deuxième terme est alors \(a_2 = 1 \cdot (-2) = -2\), \(a_3 = (-2) \cdot (-2) = 4\), et ainsi de suite.

Il s'agit donc exactement de la même règle : pour obtenir le terme suivant, on multiplie le terme précédent par le rapport constant \(r\), même si le rapport constant est négatif.

Exemple 2

Trouvez le 5ème terme d'une suite géométrique dont le terme initial est \(3\), et \(r = -2\).

Réponse:

Nous avons suffisamment d'informations pour définir la suite géométrique, car nous avons le premier terme \(a_1 = 3\), et nous avons le rapport constant \(r = -2\).

Le modèle général n ^e (avec un rapport constant négatif) est

\[\large a_n = a r^{n-1} = 3 \cdot (-2)^{n-1}\]

alors les 5 ^e est

\[\large \displaystyle a_{5} = a r^{5-1} = 3 \cdot (-2)^{5-1} = 3 \cdot (-2)^4 = 3 \cdot 16 = 48\]

Vous pouvez utiliser notre calculatrice de formules de suites géométriques pour vérifier ce que vous avez trouvé ci-dessus, qui est une calculatrice de formules explicites.

Exemple 3

Considérons la suite 1, 1/2, 1/4, 1/16, ... Cette suite est-elle géométrique ?

Réponse:

Pour qu'une suite donnée soit géométrique, les termes doivent avoir un rapport commun. Dans ce cas, en divisant le deuxième terme par le premier, on obtient \((1/2)/1 = 1/2\).

Ensuite, si nous divisons le troisième par le deuxième terme : \((1/4)/(1/2) = 1/2\). Jusqu'à présent, tout va bien.

Maintenant, si nous divisons le quatrième par le troisième terme : \((1/16)/(1/4) = 1/4\). C'est un échec. Ce n'est pas une série géométrique, car elle n'a pas de rapport commun (le rapport est de 1/2 pour les deux premiers termes, mais ensuite il est de 1/4, donc il n'est pas constant).

La suite n'est donc PAS une suite géométrique.

En savoir plus sur les suites géométriques

La chute que vous devez garder à l'esprit. Quelle est la formule de la suite géométrique ? Simple

\[\large a_n = a r^{n-1}\]

où \(a\) est le terme initial et \(r\) est le rapport constant (ou rapport commun).

Il existe quelques calculatrices que vous pouvez utiliser et qui sont liées au concept de séquence géométrique, ou progression géométrique comme on l'appelle aussi.

- Vous pouvez d'abord consulter notre calculatrice de la somme des séries géométriques infinies qui résume les termes infinis d'une suite géométrique. Cette somme sera bien définie (converge) si le rapport constant est tel que \(|r| < 1\).

- Vous voudrez également utiliser notre calculatrice de la somme des suites géométriques qui calcule la somme des termes d'une suite géométrique, jusqu'à une certaine valeur finie. Cette somme est bien définie sans conditions sur le rapport constant \(r\), à condition que l'on additionne jusqu'à un terme fini de la suite.