En savoir plus sur la série géométrique infinie

L'idée d'un infini la série peut être déconcertante au début. Cela n'a pas à être compliqué quand on comprend ce que l'on entend par série.

Une série infinie n'est rien d'autre qu'une somme infinie. En d'autres termes, nous avons un ensemble infini de nombres, disons \(a_1, a_2, ..., a_n, ....\), et ajouterons ces termes, comme:

\[a_1 + a_2 + ... + a_n + ....\]

Mais comme il peut être fastidieux d'avoir à écrire l'expression ci-dessus pour indiquer clairement que nous sommons un nombre infini de termes, nous utilisons la notation, comme toujours en Math. Une série infinie s'écrit:

\[ a_1 + a_2 + ... + a_n + .... = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \]

qui est une manière plus compacte et sans équivoque d'exprimer ce que nous voulons dire. Mais pourtant, l'idée de somme infinie est un peu déroutante. Qu'entend-on par somme infinie?

C'est une bonne question: l'idée de sommer un nombre infini de termes consiste à additionner jusqu'à un certain terme \(N\) puis à pousser cette valeur \(N\) jusqu'à l'infini. Donc précisément, une série infinie est définie comme

\[ a_1 + a_2 + ... + a_n + .... = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N\to \infty} \sum_{n=1}^{N} a_n \]

Donc en effet, ce qui précède est la définition formelle de la somme d'une série infinie.

Quelle est la particularité d'une série géométrique

En général, pour spécifier une série infinie, vous devez spécifier un nombre infini de termes. Dans le cas de la série géométrique, il suffit de spécifier le premier terme \(a\) et le rapport constant \(r\).

Le n-ième terme général de la suite géométrique est \(a_n = a r^{n-1}\), alors la série géométrique devient

\[ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} \]

Un résultat important est que la série ci-dessus converge si et seulement si \(|r| < 1\). Dans ce cas, la formule de série géométrique pour la somme est

\[ S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r}\]

Exemples

A titre d'exemple, nous pouvons calculer la somme des séries géométriques \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ....\). Dans ce cas, le premier terme est \(a = 1\) et le rapport constant est \(r = \frac{1}{2}\). Alors, la somme est calculée directement comme:

\[ S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-1/2} = \frac{1}{1/2} = 2\]

Ce qui se passe avec la série est \(|r| > 1\)

Réponse courte: la série diverge. Les termes deviennent trop grands, comme pour la croissance géométrique, si \(|r| > 1\) les termes de la séquence deviendront extrêmement grands et convergeront vers l'infini.

Et si la somme n'est pas infinie

Dans ce cas, vous devez utiliser ceci calculatrice de somme de séquence géométrique , dans lequel vous additionnez un nombre fini de termes.