Formule de désintégration exponentielle
La formule de désintégration exponentielle est très utile et elle apparaît dans de nombreuses applications en pratique, y compris la modélisation de la désintégration radioactive.
Notre objectif principal dans ce didacticiel est d'apprendre la formule de décroissance exponentielle, quand l'appliquer et comment gérer ses paramètres.
Algébriquement parlant, un décroissance exponentielle expression est toute expression de la forme
\[\large f(x) = A e^{-kx}\]où \(k\) est un nombre réel tel que \(k > 0\), et également \(A\) est un nombre réel tel que \(A > 0\).
En règle générale, le paramètre \(A\) est appelé valeur initiale , et le paramètre \(k\) est appelé le constante de désintégration ou taux de décomposition .
Par exemple
\[\large f(x) = e^{-x} \]et
\[\large g(x) = e^{-2x} \]les deux correspondent à des fonctions à décroissance exponentielle.
À quoi ressemblent ces fonctions avec une décroissance exponentielle GRAPHIQUEMENT? Découvrez-le ci-dessous:
Une chose que nous pouvons observer est que les deux fonctions DECAYENT VRAIMENT rapidement.
Qu'entend-on par DECAY ??? Ils se désintègrent, en ce sens qu'ils se rapprochent rapidement de zéro à mesure que \(x\) devient de plus en plus grand (\(x \to +\infty\)).
En effet, les deux fonctions après \(x > 4\) sont très petites (le graphique touche presque l'axe y).
De plus, si nous y prêtons attention, nous nous rendons compte que \(e^{-2x}\) se désintègre PLUS RAPIDEMENT que \(e^{-x}\).
QUESTION :
Est-ce que la fonction ci-dessous:
\[\large f(x) = 2^{-x}\]ont une décroissance exponentielle ???
La réponse est oui.
Bien que vous puissiez d'abord penser: "Eh bien, ce n'est pas une décroissance exponentielle, car je ne vois le '\(e\)' nulle part ...". Donc, c'est très observateur.
MAIS, n'oubliez pas que nous pouvons écrire
\[\large 2 = e^{\ln 2}\]alors la fonction
\[\large f(x) = 2^{-x}\]peut être réécrit comme
\[\large f(x) = 2^{-x} = \left(e^{\ln 2}\right)^{-x} = e^{-(\ln 2) x}\]Le calcul ci-dessus prouve (toux, toux, désolé je sais que vous n'aimez pas ce mot) que \(2^{-x}\) est une fonction avec décroissance exponentielle avec constante de décroissance \(k = \ln 2\).
EXEMPLE 1:
Trouvez la valeur initiale et le taux de décroissance pour la fonction suivante:
\[\large f(x) = 3 e^{-4x}\]RÉPONDRE:
Sur la base de la fonction donnée, nous obtenons directement que la valeur initiale dans ce cas est \(A = 3\) et le taux de décroissance est \(k = -4\).
EXEMPLE 2:
Déterminez si l'expression ci-dessous a une décroissance exponentielle et, le cas échéant, recherchez sa valeur initiale et son taux de décroissance:
\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x}\]RÉPONDRE:
Notez que nous ne voyons pas le '\(e\) directement dans l'expression, MAIS, n'oubliez pas que nous pouvons écrire
\[\large 3 = e^{\ln 3}\]alors la fonction
\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x}\]peut être réécrit comme
\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x} = \frac{1}{2} \left(e^{\ln 3}\right)^{-2x} = \frac{1}{2} e^{-2(\ln 3) x}\]Par conséquent, il s'agit d'une fonction à décroissance exponentielle, et ses paramètres sont: Valeur initiale \(A =\frac{1}{2}\) et décroissance exponentielle \(k = 2(\ln 3)\).
Applications: Comment trouver les paramètres d'une formule exponentielle
Souvent, on ne nous donne pas seulement les paramètres de décroissance exponentielle. Ouais. Parfois, ces paramètres doivent être calculés à partir de certaines informations fournies, puis vous devez vous demander comment résoudre la décroissance exponentielle
Ces informations sont généralement données dans l'un des deux types suivants:
Type 1:
Nous savons qu'il y a une décroissance exponentielle, ET on nous donne la valeur initiale et le
demi vie
Type 2:
Nous savons qu'il y a une décroissance exponentielle, ET on nous donne la valeur de la fonction à deux moments différents.
Remarques sur la demi-vie
La mi-temps correspond au temps qu'une fonction à décroissance exponentielle prend pour prendre sa valeur à la moitié de sa valeur d'origine.
Supposons donc que \(h\) soit la demi-vie de \(f(x) = A e^{-kx}\) et que \(A\) soit connu. Comment calculer le taux de décroissance \(k\) ?? Observez que lorsque \(x = h\) nous aurons exactement la MOITIÉ de ce que nous avions initialement:
\[A/2 = f(h) = A e^{-k h}\]et résoudre ce problème conduit à
\[A/2 = A e^{-k h}\] \[\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{2}= e^{-k h}\] \[\Rightarrow \displaystyle \ln\left(\frac{1}{2}\right)= \ln\left(e^{-k h}\right)\] \[\Rightarrow \displaystyle -\ln 2 = -k h\] \[\Rightarrow \displaystyle k = \frac{1}{h} \ln 2\]Lorsque vous travaillez sur un problème réel, vous pouvez soit utiliser la formule directement, soit simplement faire la dérivation que nous avons faite en définissant les informations sur la demi-vie.
EXEMPLE 3:
Supposons qu'une fonction a une valeur initiale de \(A = 3\) et que sa demi-vie est \(h = 3\). Supposons également que la fonction ait une décroissance exponentielle. Trouvez le taux de décroissance exponentielle.
RÉPONDRE:
C'est donc le premier cas du type d'informations que l'on peut nous donner. Nous devons trouver la valeur initiale \(A\) et le taux de décroissance \(k\) afin de déterminer complètement la formule de décroissance exponentielle.
Dans ce cas, on nous donne déjà que \(A = 3\), il ne nous reste donc plus qu'à calculer la constante de décroissance \(k\). Puisque nous connaissons la demi-vie, nous pouvons calculer le taux de désintégration directement en utilisant la formule:
\[ \displaystyle k = \frac{1}{h} \ln 2 = \frac{1}{3} \ln 2 \approx 0.231049 \]Par conséquent, la formule de décroissance exponentielle est
\[f(x) = \displaystyle A e^{-k x} = 3 e^{-\frac{1}{3} \ln 2 x} \approx 3 e^{-0.231049 x} \]EXEMPLE 4:
Supposons qu'une fonction a une valeur initiale de \(A = 5\), et quand \(x = 4\) nous avons cela \(f(4) = 2\). Supposons également que la fonction ait une décroissance exponentielle. Trouvez la formule de décroissance exponentielle.
RÉPONDRE:
C'est donc le premier cas du type d'informations que l'on peut nous donner. Nous devons trouver la valeur initiale \(A\) et le taux de décroissance \(k\) afin de déterminer complètement la formule de décroissance exponentielle.
Dans ce cas, on nous donne que \(A = 5\), et alors tout ce que nous avons à calculer est la constante de désintégration \(k\). Puisque nous connaissons la valeur de la fonction lorsque \(x = 4\):
\[ 2 = f(4) = 5 e^{-k \cdot 4}\] \[\Rightarrow 2 = 5 e^{-4k}\] \[\displaystyle \Rightarrow \frac{2}{5} = e^{-4k}\] \[\displaystyle \Rightarrow \ln\left(\frac{2}{5}\right) = \ln\left(e^{-4k}\right)\] \[\displaystyle \Rightarrow \ln 2 - \ln 5 = -4k\] \[\displaystyle \Rightarrow k = -\left(\frac{\ln 2 - \ln 5 }{4}\right) \approx 0.229073 \]Alors maintenant que nous avons calculé le facteur de désintégration, nous obtenons que la formule de désintégration exponentielle est
\[f(x) = \displaystyle A e^{-k x} = 5 e^{-\frac{\ln 2 - \ln 5 }{4} } \approx 3 e^{-0.229073 x} \]Ce qui suit est obtenu si nous avons représenté graphiquement cette fonction:
En savoir plus sur la décroissance exponentielle
La décroissance exponentielle est un modèle dans lequel la fonction exponentielle joue un rôle clé et est un modèle très utile qui correspond à de nombreuses théories d'application réelles. L'application la plus connue de la désintégration exponentielle concerne le comportement des matières radioactives.
En effet, les matières radioactives suivent une équation de désintégration exponentielle, et chaque matière a (en fonction de sa propre volatilité) sa mi-temps, qui est le temps qu'il faut à la quantité de matière radioactive pour réduire de moitié.
Habituellement, la formule de la désintégration radioactive s'écrit
\[A(t) =\displaystyle A_0 e^{-kt} \]ou parfois il est exprimé en termes de demi-vie \(h\) comme
\[A(t) =\displaystyle A_0 e^{-\left(\frac{1}{h} \ln 2 \right)t}\]Que signifie la décroissance exponentielle?
Mathématiquement, une fonction a une décroissance exponentielle si elle peut être écrite sous la forme \(f(x) = A e^{-kx}\). Pour beaucoup d’entre vous, cela n’en dirait pas trop.
Ok, c'est bien, nous pouvons donc décrire la décroissance exponentielle. Avoir une décroissance exponentielle, vous pensez peut-être, signifie "décomposition VRAIMENT vite". Bien que la fonction avec une décroissance exponentielle se désintègre très rapidement, toutes les fonctions qui décroissent très rapidement n'ont pas une décroissance exponentielle.
Par exemple, considérez \(f(x) = \frac{1}{x^2}\). Si vous tracez cette fonction, vous verrez qu'elle se désintègre très rapidement, mais elle n'a en fait pas de décroissance exponentielle.
Si vous deviez décrire la décroissance exponentielle, au-delà des termes algébriques de sa définition, vous devrez dire qu'une fonction a une décroissance exponentielle si elle se décompose très rapidement, mais elle a AUSSI une propriété cruciale:
Quelle que soit la valeur de la fonction à un certain point \(x\), il existe une valeur \(h\) pour que la valeur de la valeur de la fonction au point \(x+h\) soit la moitié de la valeur de la fonction à \(x\).
Dans les mots d'ordre, il existe une valeur constante \(h\) (oui, vous l'avez deviné, la demi-vie) qui a la propriété que la fonction réduit sa valeur de moitié après \(h\) unités.
La fonction \(f(x) = \frac{1}{x^2}\), même si elle se désintègre rapidement, n'a pas la propriété ci-dessus (demi-vie).