Décomposition de fraction partielle
La décomposition de fractions partielles est une technique utilisée pour simplifier l'intégration, en décomposant une fonction difficile à intégrer en la somme de plusieurs fonctions plus faciles à intégrer.
Souvent, l'utilisation de fractions partielles est le seul moyen réalisable de calculer une intégrale, qui autrement serait impossible à résoudre.
Plus précisément, cette technique est appliquée lorsque nous devons intégrer le quotient de deux polynômes \(P(x)\) et \(Q(x)\). C'est, nous devons calculer.
\[\large \displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx\]Par exemple, disons que \(P(x) = x^2 - 2\) et \(Q(x) = x^3 - 7x + 6\), donc l'intégrale du quotient de ces deux polynômes serait:
\[\large \displaystyle \int \frac{x^2 - 2}{x^3 - 7x + 6} dx\]Comment diable vous résolvez cela, vous pouvez penser ..... À première vue, cela semble insoluble, et c'est si vous ne suivez pas la bonne approche.
Heureusement, chaque fois que vous essayez d'intégrer le quotient de deux polynômes, quelle que soit la complexité de ces polynômes, il existe toujours un moyen de réduire l'intégrale à un groupe d'intégrale facile à résoudre.
Seulement, pour ce faire, nous devons faire un travail algébrique au préalable, mais en divisant deux polynômes et en résolvant un système linéaire.
C'est un petit prix à payer pour résoudre et sinon impossible de résoudre l'intégrale, non? Dis oui je t'en supplie.
EXEMPLE 1
Laissez-moi vous donner un teaser. Pourriez-vous aller de l'avant et intégrer cela?
\[\large \displaystyle \int \frac{1}{x^3 - 7x + 6} dx\]Hummm ..... pourriez-vous? Eh bien, cela ne semble pas facile, ni même possible. Et si je te disais ça
\[\large \displaystyle \frac{1}{x^3 - 7x + 6} = \frac{1}{5(x-2)} - \frac{1}{4(x-1)}+\frac{1}{20(x+3)}\]Ainsi, la fraction que vous souhaitez intégrer a été décomposée en trois fractions partielles , et chacune de ces fractions partielles est en fait facile à intégrer. En effet, l'utilisation de la décomposition ci-dessus nous conduit à
\[\large \displaystyle \int\frac{1}{x^3 - 7x + 6} \, dx = \int \frac{1}{5(x-2)} \, dx - \int\frac{1}{4(x-1)} \, dx + \int\frac{1}{20(x+3)} \, dx\] \[\large \displaystyle = \frac{1}{5} \ln|x-2| - \frac{1}{4}\ln|x-1| + \frac{1}{20}\ln|x+3| + C\]Donc, vous pouvez convenir avec moi que la décomposition a résolu le problème, car après avoir connu la décomposition, le problème d'intégration a été réduit à trois intégrales très simples.
Vous allez maintenant apprendre à effectuer une telle décomposition.
Comment faire une décomposition de fractions partielles?
Étape 1
Tout d'abord, cette technique ne fonctionne que lorsque vous souhaitez intégrer un quotient de deux polynômes. C'est, vous voulez intégrer
\[\large \displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx\]où \(P(x)\) et \(Q(x)\) sont des polynômes. On peut toujours supposer que l'ordre de \(Q(x)\) est supérieur à l'ordre de \(P(x)\) .
Si ce n'est pas le cas et que l'ordre de \(P(x)\) est supérieur à l'ordre de \(Q(x)\), alors vous pouvez utiliser le théorème de la division des polynômes pour obtenir
\[\large P(x) = M(x)Q(x) + R(x)\]où \(M(x)\) et \(R(x)\) sont des polynômes, et l'ordre de \(R(x)\) est inférieur à l'ordre de \(R(x)\), ce qui signifierait que
\[\large \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} = M(x) + \frac{R(x)}{Q(x)} \]alors la tâche d'intégration de \(\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}\) se réduit à la tâche d'intégrer un polynôme \(M(x)\) (qui est trivial) et d'intégrer un quotient de polynômes \(\displaystyle\frac{R(x)}{Q(x)}\) où le polynôme du numérateur a un ordre inférieur à celui du dénominateur.
Étape 2
Vous devez trouver les racines du polynôme dans le dénominateur \(Q(x)\) et effectuer une décomposition en termes linéaires et quadratiques avec multiplicité, et décrits par le théorème fondamental de l'algèbre.
Cette étape nécessite un peu de connaissance de l'algèbre. Supposons que \(Q(x)\) est un polynôme d'ordre \(n\). Nous devons donc résoudre \(Q(x) = 0\), et selon le théorème fondamental de l'algèbre, il y aura exactement \(n\) racines, peut-être toutes réelles, mais peut-être des racines complexes. Aussi, pour chaque racine il y a une certaine multiplicité (le nombre de fois qu'une racine est répétée)
Avec ces racines, nous décomposerons \(Q(x)\). Pour chaque racine réelle \(\alpha\), le facteur correspondant dans la décomposition est \((x-\alpha)\). S'il y a une multiplicité \(k\) pour cette racine (c'est-à-dire que la racine est répétée \(k\) fois), le facteur de décomposition sera \((x-\alpha)^k\).
Maintenant, c'est un peu plus compliqué quand il y a une racine complexe \(c\). Dans ce cas, il y aura toujours une racine complexe conjuguée, \(\bar c\), et en les regroupant, nous obtiendrons une expression quadratique \((x-c)(x - \bar c) = (x^2 + ax + b)\) avec des coefficients réels.
Si cette racine complexe a une multiplicité \(k\), le facteur serait \((x^2 + ax + b)^k\).
Étape 3
Prenez les facteurs que vous avez trouvés à l'étape 2. Pour chacun des facteurs, vous allez créer des termes qui contribueront à la somme des fractions partielles.
Pour chaque facteur de la forme \(x + a\): ajoutez un terme \(\displaystyle \frac{A}{x+a}\)
Pour chaque facteur de la forme \((x + a)^k\): Ajouter les termes \(\displaystyle \frac{A_1}{x+a}+\frac{A_2}{(x+a)^2} + ... + \frac{A_1}{x+a}+\frac{A_k}{(x+a)^k}\)
Pour chaque facteur de la forme \(x^2 + ax + b\): ajoutez un terme \(\displaystyle \frac{A + B x}{x^2+ax+b}\)
Pour chaque facteur de la forme \((x^2 + ax + b)^k\): Ajouter les termes \(\displaystyle \frac{A_1 + B_1 x}{x^2+ax+b} + \frac{A_2 + B_2 x}{(x^2+ax+b)^2} + ...+ \frac{A_k + B_k x}{(x^2 + ax + b)^k} \)
Étape 4
Additionnez ces fractions partielles et assimilez-le au quotient \(\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}\), et utilisez-le pour trouver toutes les constantes inconnues \(A_i\) et \(B_i\) qui ont été créées à l'étape 3.
Étape 5
Après avoir trouvé les constantes à l'étape 4, vous avez décomposé le quotient \(\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}\), en plusieurs termes qui peuvent être intégrés via le logarithme, ou vous devez faire un simple changement de variables.
Et vous avez troqué la résolution d'une intégrale impossible à résoudre pour un nombre éventuellement grand de fractions partielles plus petites qui sont beaucoup plus faciles à intégrer, après un long exercice algébrique d'endurance.
EXEMPLE 2
Intégrez les éléments suivants à l'aide de fractions partielles
\[\large \displaystyle \int \frac{x}{x^2 + 2x - 3} dx\]RÉPONDRE:
Patiemment, nous devons franchir toutes les étapes.
Étape 1
Dans ce cas \(P(x) = x\) et \(Q(x) = x^2 + 2x - 3\), donc l'ordre de \(P(x)\) est 1, et l'ordre de \(Q(x)\) est 2. Par conséquent, la condition est remplie, puisque l'ordre de \(P(x)\) est inférieur à l'ordre de \(Q(x)\).
Étape 2
Trouvons les racines de \(Q(x) = x^2 + 2x - 3\), nous devons donc résoudre
\[\large x^2 + 2x - 3 = 0 \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{(4 +12}}{2} \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm 4}{2} \]Ainsi donc, les racines sont \(x_1 = 1\) et \(x_2 = -3\). Les facteurs sont alors \((x-1)\) et \((x+3)\). Observez que \(Q(x) = x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)\)
Étape 3
Pour le facteur \((x-1)\), nous ajoutons la fraction partielle \(\displaystyle \frac{A}{x-1}\) et pour le facteur \((x+3)\) nous ajoutons la fraction partielle \(\displaystyle \frac{B}{x+3}\).
Étape 4
Maintenant, nous ajoutons toutes les fractions partielles et les assimilons au quotient original des polynômes, afin de résoudre les constantes \(A\) et \(B\):
\[\large \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+3}\] \[\large \Rightarrow \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{A(x+3) + B(x-1)}{(x-1)(x+3)} \] \[\large \Rightarrow \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{A(x+3) + B(x-1)}{x^2 + 2x - 3} \] \[\large \Rightarrow x = A(x+3) + B(x-1) \] \[\large \Rightarrow x = Ax + 3A + Bx - B \] \[\large \Rightarrow x = (A+B)x + (3A - B) \]Observez que la dernière égalité indique que le polynôme de gauche est le même que le polynôme de droite, pour tous \(x\). Alors, leurs coefficients doivent être égaux.
Cela signifie que \(A+B = 1\) et \(3A - B = 0\). De ce dernier, \(B = 3A\), donc puis \(A + 3A = 1\), ce qui signifie \(4A = 1\) donc \(A = 1/4\), et \(B = 3/4\).
Nous sommes donc arrivés à notre expansion des fractions partielles:
\[\large \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{1/4}{x-1} + \frac{3/4}{x+3} = \frac{1}{4(x-1)} + \frac{3}{4(x+3)} \]Étape 5
Vous pouvez désormais profiter de l'intégration en toute simplicité:
\[\large \displaystyle \int \frac{x}{x^2 + 2x - 3} \, dx= \int \frac{1}{4(x-1)} \, dx + \int\frac{3}{4(x+3)} \, dx \] =\[\large \displaystyle \frac{1}{4} \ln|x-1| + \frac{3}{4} \ln|x+3| + C\]EXEMPLE 3
Intégrer le terme suivant en utilisant la décomposition de fractions partielles
\[\large \displaystyle \int \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} dx\]RÉPONDRE:
Encore une fois, nous devons passer par toutes les étapes.
Étape 1
Dans ce cas \(P(x) = 1\) et \(Q(x) = x^3 -x^2 + x - 1\), donc l'ordre de \(P(x)\) est 0, et l'ordre de \(Q(x)\) est 3. Par conséquent, la condition est remplie, puisque l'ordre de \(P(x)\) est inférieur à l'ordre de \(Q(x)\).
Étape 2
Trouvons les racines de \(Q(x) = x^3 -x^2 + x - 1\), nous devons donc résoudre
\[\large x^3 -x^2 + x - 1 = 0 \]Celui-ci est plus délicat, car il n'y a pas de formule facile pour les racines cubiques générales (il y a une formule, mais ce n'est pas facile). Nous devons faire un truc:
\[\large x^3 -x^2 + x - 1 = x^2(x - 1) + (x-1) = (x^2+1)(x-1) = 0 \]Nous avons donc ce \(x^2 + 1=0\) ou \(x-1 = 0\). Par conséquent, les racines sont \(x_1 = 1\), \(x_2 = i\), \(x_3 = -i\). Alors, \(x_1\) est réel, \(x_2\) et \(x_3\) sont des racines conjuguées complexes.
La racine \(x_1 = 1\) a un facteur \((x-1\), et les racines conjuguées complexes \(x_2 = i\), \(x_3 = -i\) ont un facteur \((x-i)(x+i) = (x^2+1)\).
Étape 3
Pour le facteur \((x-1)\), nous ajoutons la fraction partielle \(\displaystyle \frac{A}{x-1}\) et pour le facteur \((x^2+1))\) nous ajoutons la fraction partielle \(\displaystyle \frac{Bx + C}{x^2+1}\).
Étape 4
Maintenant, nous ajoutons toutes les fractions partielles et les assimilons au quotient original des polynômes, afin de résoudre les constantes \(A\) et \(B\):
\[\large \displaystyle \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}\] \[\large \Rightarrow \displaystyle\frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)} \] \[\large \Rightarrow \displaystyle \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)}{x^3 -x^2 + x - 1} \] \[\large \Rightarrow \displaystyle 1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1) \] \[\large \Rightarrow \displaystyle 1 = Ax^2 + A + Bx^2 - Bx + Cx - C \] \[\large \Rightarrow \displaystyle 1 = (A+B)x^2 + (C- B)x + (A - C) \]Observez que la dernière égalité indique que le polynôme de gauche est le même que le polynôme de droite, pour tous \(x\). Alors, leurs coefficients doivent être égaux.
Cela signifie que \(A+B = 0\), \(C - B = 1\) et \(A - C = 0\). De ce dernier, \(A = C\), et aussi \(A = -B\), nous obtenons donc \(A = 1/2\), \(B = -1/2\) et \(C = -1/2\).
Nous sommes donc arrivés à notre expansion des fractions partielles:
\[\large \displaystyle \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{1}{2(x-1)} - \frac{(x + 1)}{2(x^2 + 1)}\]Étape 5
Vous pouvez désormais profiter de l'intégration en toute simplicité:
\[\large \displaystyle \int \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} \, dx = \int \frac{1}{2(x-1)} \, dx - \int \frac{(x + 1)}{2(x^2 + 1)} \, dx\] \[\large \displaystyle = \frac{1}{2} \ln|x-1| - \int \frac{x}{2(x^2 + 1)} \, dx - \int \frac{1}{2(x^2 + 1)} \, dx\] \[\large \displaystyle = \frac{1}{2} \ln|x-1| - \frac{1}{4}\ln(1+x^2) - \frac{1}{2} \arctan x + C\]En savoir plus sur la décomposition des fractions partielles
La technique d'utilisation des fractions partielles est une bénédiction, car elles vous servent vraiment bien rend possible une intégration qui ne serait pas possible autrement.
MAIS, quand vous le voyez dans un devoir ou un test, vous savez que vous avez beaucoup de travail à faire pour que les fractions partielles fonctionnent pour vous. Je vous conseille donc d'aller lentement et de ne pas vous précipiter lorsque vous faites tout le travail difficile.
La mécanique
Effectuer une décomposition de fractions partielles vous demande plusieurs compétences algébriques pour que vous puissiez sortir de votre chapeau, à savoir: diviser des polynômes, trouver des racines de polynômes et résoudre des systèmes, en plus de pouvoir exprimer la structure de décomposition appropriée, gérer correctement les différents cas (racines différentes, racines répétées). Vous devez donc être en pleine forme avec votre perspicacité algébrique.
Au final, c'est très mécanique et presque fastidieux à faire. En fin de compte, vous pouvez utiliser un CAS comme Maple ou Mathematica pour effectuer l'expansion de la fraction partielle pour vous, mais si vous avez un test, il est probable que votre instructeur veuille que vous le fassiez avec n'importe quelle aide , alors vous feriez mieux de vous y préparer.