حاسبة المعادلات المثلثية
عاليمت: استخدم الآلة الحاسبة لحل المعادلات المثلثية التي تقدمها, موضحًا جميع الخطوات. الرجاء كتابة المعادلة المثلثية التي تريد تنفيذها في المربع أدناه.
حول حاسبة المعادلات المثلثية
ستسمح لك هذه الآلة الحاسبة بحل المعادلات المثلثية, مع عرض جميع خطوات الحل. كل ما عليك فعله هو توفير معادلة مثلثية صحيحة ذات قيمة مجهولة (x). يمكن أن يكون شيئًا بسيطًا مثل 'sin(x) = 1/2', أو شيء أكثر تعقيدًا مثل 'sin^2(x) = cos(x) + tan(x)'.
بمجرد الانتهاء من كتابة المعادلة الخاصة بك, ما عليك سوى المضي قدمًا والنقر على "حل" للحصول على جميع تفاصيل عمليات إيجاد الحلول, إذا كان من الممكن العثور على حلول.
تسمح الخصائص والقواعد المثلثية دائمًا بتقليل معظم المعادلات المثلثية إلى معادلات أبسط, لذا فإن هذا النوع من المعادلات هو أحد الأنواع التي غالبًا ما تؤدي إلى حلول, ولكنها قد تكون مرهقة للغاية في بعض الأحيان.
ما هي المعادلة المثلثية؟
المعادلة المثلثية, بأبسط العبارات الممكنة, هي أ معادلة الرياضيات حيث يكون x المجهول داخل التعبير المثلثي.
على سبيل المثال, التعبير التالي هو معادل مثلثي:
\[\displaystyle \sin(x) = 1\]لماذا؟ ببساطة لأن x يظهر داخل جيب التعبير المثلثي. أو على سبيل المثال:
\[\displaystyle \tan(x) = x\]الآن, هاتان المعادلتان عبارة عن معادلتين مثلثيتين, لكن الفرق بينهما هو أنه بالنسبة للواحدة الأولى, x تظهر فقط داخل الجيب, بينما في الثانية x تظهر داخل دالة مثلثية (ظل), ولكنها تظهر أيضًا في الخارج. وهذا عادة ما يجعل من الصعب (أو المستحيل) حل المعادلة.
كيفية حل المعادلات المثلثية
- الظهر 1: تأكد من أنك تتعامل مع معادلة مثلثية. من المرجح أن تتطلب المعادلات غير المثلثية نهجًا مختلفًا
- ال alخطoة 2: تأكد من أن x غير المعروف موجود داخل التعبير المثلثي لكن x لا يظهر خارج التعبير المثلثي. إذا كان الأمر كذلك, فمن المحتمل أنك لن تتمكن من حل المعادلة بالطرق الأولية
- الله 3: قم بإجراء استبدال مناسب, من خلال التعبير أولاً عن جميع الدوال المثلثية الموجودة في المعادلة في نوع واحد (جيب الجيب عادةً), ثم استخدام الاستبدال الذي يتضمن جيب الجيب
- الظهر 4: مع القليل من الحظ, وإذا قمت بالتعويض الصحيح, فقد قمت بتبسيط المعادلة المثلثية الأصلية إلى أ معادلة متعددة الحدود لحلها .
إحدى قواعد علم المثلثات الرئيسية التي تحتاجها هي استخدام القدرة على التعبير عن جميع الدوال المثلثية من حيث أي دالة مثلثية ثابتة. على سبيل المثال, يمكننا كتابة جيب التمام من حيث الجيب:
\[\displaystyle \cos(x) = \pm \sqrt{1 - \sin^2 x} \]البدائل المثلثية
إن استخدام الهويات المثلثية والبدائل هو طريقك في هذه الحالة. على سبيل المثال, لنفترض أنك تريد حل هذا:
\[\displaystyle \sin x = \cos x \]إذن نحن نعلم أن هذه معادلة مثلثية, ونعلم أنه يمكننا كتابة جيب التمام بدلالة الجيب, لذلك نفعل هذا:
\[\displaystyle \sin x = \pm \sqrt{1 - \sin^2 x} \]ماذا الآن؟ حسنًا, يمكننا استخدام التعويض: \(u = \sin x\), فتصبح المعادلة أعلاه:
\[\displaystyle u = \pm \sqrt{1 - u} \]وهو أ معادلة عقلانية , والتي باستخدام بسيطة التلاعب الجبري يعني أننا بحاجة إلى حl amadadlة كثyer alحdod من أجل حل المعادلة المثلثية الأصلية.
تطبيق علم المثلثات
- الظهر 1: كل ما هو ميكانيكي: في تصنيع الأجزاء الميكانيكية, تلعب الدوائر وعلم المثلثات دورًا حاسمًا
- ال alخطoة 2: تحليل الدوال الدورية: ترتبط العديد من الظواهر ارتباطًا وثيقًا بالدورية, وهي النقطة التي يلعب فيها علم المثلثات دورًا
- الله 3: الرياضيات المتقدمة: يحب علماء الرياضيات متسلسلة فورييه والتحويل, التي تلعب دورًا حاسمًا في التحليل الطيفي
تعتبر الدوائر وتماثلاتها مهمة جدًا في الحياة الواقعية, وعلم المثلثات هو اللغة التي يمكننا من خلالها قياس الدوائر وعلاقاتها. حل المعادلات المثلثية هو في قلب الرياضيات.
لماذا تحل المعادلات المثلثية؟
تحمل المعادلات المثلثية الكثير من القيمة في الممارسة العملية خاصة في الهندسة. خصائص بارزة مثل الفترة والتردد فتح مجموعة كاملة من التطبيقات.
تلعب الهياكل الدائرية دورًا حاسمًا في كل شيء ميكانيكي نستخدمه اليوم. الدوائر مرادفة لعلم المثلثات, وتقع المعادلات المثلثية في مركزها.
مثال: حل المعادلات المثلثية البسيطة
حل: \(\sin(x) = \frac{1}{2}\)
حل:
نحتاج إلى حل معادلة المعادلة المثلثية المعطاة التالية:
\[\sin\left(x\right)=\frac{1}{2}\]ويتم الحصول على ما يلي:
ومن خلال التطبيق المباشر لخصائص الدالة المثلثية العكسية \( \arcsin(\cdot)\), وكذلك خصائص الدالة المثلثية \( \sin\left(x\right)\), نحصل على ذلك
\[x_1=\frac{5}{6}\pi{}+2\pi{}K_1 \text{ , for } K_1 \text{ an arbitrary integer constant}\] \[ = ... \, -\frac{7}{6}\pi{}, \, \,\, \frac{5}{6}\pi{}, \,\, \, \frac{17}{6}\pi{}, \, \, \, \frac{29}{6}\pi{} \, ...\]\[x_2=\frac{1}{6}\pi{}+2\pi{}K_2 \text{ , for } K_2 \text{ an arbitrary integer constant}\] \[ = ... \, -\frac{11}{6}\pi{}, \, \,\, \frac{1}{6}\pi{}, \,\, \, \frac{13}{6}\pi{}, \, \, \, \frac{25}{6}\pi{} \, ...\]
لذلك, حل \(x\) للمعادلة المعطاة يؤدي إلى حلول \(x=\frac{5}{6}\pi{}+2\pi{}K_1,\,\,x=\frac{1}{6}\pi{}+2\pi{}K_2\), لثوابت الأعداد الصحيحة \(K_1, K_2\).
المزيد من الآلات الحاسبة للمعادلات
ملكنا معادلة مثلثية بالخطوات سيكون مفيدًا عند التعامل مع المعادلات ذات البنية المحددة. إذا لم تكن متأكدًا من نوع المعادلة التي تتعامل معها, فيمكنك استخدام جنرالتنا حلالا المعادلات , والتي سوف تكتشف بنية المعادلة المعطاة, وسوف تجد النهج المناسب.
الصعوبة الرئيسية في حل المعادلات التي ليست كذلك ماعدل خط ماستوم أو معادلة كثيرة الحدود هو أنه لا يوجد طريق محدد يجب اتباعه, ولا يوجد أي ضمان بأنك ستجد الحلول.
عادة, تتكون الاستراتيجية من تيبسيه قدر الإمكان, وبعد القيام بذلك, عادة لا يكون هناك مكان حيث تحتاج إلى تجربة ما تراه مناسبًا.
بطبيعة الحال, الفكرة هي محاولة اختزال المعادلة إلى معادلة أبسط, باستخدام نوع من الاستبدال وعملية متعددة الخطوات, حيث تجد أولاً حلولاً للحل المساعد, مما يمنحك المرشحين للمعادلة الأصلية. تريد حل أ ماعدل خط ماستوم , أو حتى أ عازال , ولكن ربما يكون التخفيض الذي تحصل عليه أقل سخاءً بعض الشيء.
