حاسبة الحدود الحدود
عاليمت: استخدم حاسبة المعادلات متعددة الحدود هذه لحل أي معادلة متعددة الحدود, موضحًا جميع الخطوات. الرجاء كتابة المعادلة كثيرة الحدود التي تريد حلها.
لاحظ أن بعض المعادلات قد يكون لها جذور معقدة وأن المعادلات ذات الترتيب الأعلى قد لا يتم حلها بالطرق الأولية).
حاسبة المعادلة كثير الحدود
سيساعدك حل المعادلات متعددة الحدود هذا في حل المعادلات متعددة الحدود التي تقدمها, على سبيل المثال '3x^2 - 2/3 x + 1/4 = 0' , وهي عملية بسيطة عازال أو معادلات متعددة الحدود ذات ترتيب أعلى مثل 'x^5 - x^2 + 1 = 0', إلخ.
إذا لم تقم بإضافة علامة المساواة "=" إلى التعبير المقدم, فستضيف الآلة الحاسبة تلقائيًا "= 0" إليها لتحويلها إلى معادلة.
بمجرد توفير معادلة متعددة الحدود صالحة, يمكنك بعد ذلك النقر فوق الزر "احسب", وبعد ذلك سيتم تقديمك مع الحساب خطوة بخطوة لحلول حلول المعادلة.
المعادلة متعددة الحدود هي أحد أنواع المعادلات الجبرية, وهي من أبسط الأنواع, ولا يجوز الماعدة . حقيقة أن المعادلات متعددة الحدود بسيطة, لا تعني أنه من السهل حلها, وفي الواقع, في بعض الأحيان يستغرق حلها وقتًا طويلاً, هذا إذا كان من الممكن حلها على الإطلاق.
كيف يمكنني حل كثير الحدود؟
على الرغم من أن كثيرات الحدود هي تعبيرات بسيطة, حل الماعد يمكن أن تكون معقدة حقا, وخاصة بالنسبة ل دكر الله أكبر من 2.
بالنسبة للمعادلات التربيعية, يتم إيجاد الحلول ببساطة باستخدام الصيغة التربيعية. بالتأكيد, قد تعتقد أنه من الصعب حفظ الصيغ, ولكن على الأقل هناك صيغة.
بالنسبة للمكعب (الدرجة 3) والربيعية (الدرجة 4), هناك بعض المعادلات الذكية جدًا التي يمكن استخدامها, ولكنها ليست سهلة الاستخدام أو التذكر بأي حال من الأحوال. بالنسبة للمعادلات المتعددة من الدرجة 5 وما فوق, لا توجد صيغة.
هذا لا يعني أننا لا نستطيع العثور على جذOR MATADED alحdod بالنسبة لتلك المعادلات, ولكن ليس لدينا صيغة لها, ولا توجد صيغة لها (إذا كنت مهتمًا بهذا الأمر, فإن مثل هذه الاستنتاجات كانت واحدة من الإنجازات الرئيسية في الرياضيات الحديثة في أواخر القرن الثامن عشر.
خطوات لإيجاد حلول لمعادلة كثيرة الحدود
هناك عدد من الخطوات المنهجية التي يمكنك اتباعها للحصول على أفضل الفرص لإيجاد حلول لمعادلة متعددة الحدود, لكن انتبه إلى أنه قد ينتهي بك الأمر بعدم العثور على أي حلول, خاصة للمعادلات ذات الدرجات الأعلى.
- الظهر 1: انتبه إلى أنه من الناحية النظرية توجد حلول \(n\) لمعادلة متعددة الحدود من الدرجة \(n\). لكن تلك الحلول قد تكون حقيقية أو معقدة, وما بعد الدرجة الرابعة لا توجد لها صيغة
- ال alخطoة 2: حاول تحليل الحدود كثيرة الحدود. ضع كل الحدود في طرف واحد من المعادلة وابحث عن طريقة لذلك عامل التعبير كثير الحدود . ومن خلال التحليل, يمكنك محاولة إيجاد حلول لكل عامل, مما يقلل المشكلة إلى درجات أقل
- الله 3: حاول إيجاد حلول عقلانية/عددية أولاً باستخدام نظري الله . يتم تحقيق ذلك من خلال إيجاد العوامل الصحيحة للحد الثابت, وتقسيمها على عوامل الحد الرئيسي (الذي يتوافق مع القوة الأعلى)
- الظهر 4: باستخدام هؤلاء المرشحين العقلانيين, يمكنك اختبارهم واحدًا تلو الآخر (قد يكون هناك الكثير منهم), على أمل العثور على حلول. إذا وجدت بالصدفة حلول \(n\) لمعادلة من الدرجة \(n\), فقد انتهيت
- الظهر 5: إذا وجدت واحدًا أو أكثر من الجذور النسبية, ولكن ليس جميعها, فيمكنك إنشاء عملية ضرب للمصطلحات \(x - \alpha\), حيث \(\alpha\) هو جذر نسبي تم العثور عليه. اضرب هذه الحدود, وكوّن كثيرة الحدود, ثم اقسم كثيرة الحدود للمعادلة الأصلية على هذا المنتج الذي يتكون من المصطلحات \(x - \alpha\). للعثور على الجذور المتبقية, تحتاج إلى العثور على جذور نتيجة القسمة (والتي ستكون لها درجة أقل من كثيرة الحدود الأصلية.
يبدو الأمر صعبًا, وبصراحة, هو كذلك. إنها عملية مرهقة, وتتطلب الكثير من الحسابات, وهو أمر محتمل جدًا. لهذا السبب يجب عليك استخدام حاسبة المعادلة سيوضح لك الخطوات, لأنك ستوفر الكثير من الوقت وستقلل من فرص حدوث خطأ في الحساب.
كيف تجد معادلة كثير الحدود؟
حل الماعد هي بالتأكيد ليست مهمة تافهة. لن تتمكن من القيام بذلك بشكل عام, حيث لا توجد معادلة عامة لحل جميع متعددات الحدود. نحن نعلم, بفضل النظرية الأساسية للجبر, أن هناك حلول \(n\) لمعادلة متعددة الحدود من الدرجة \(n\).
وكما يوحي الاسم, تعد هذه النتيجة إنجازًا كبيرًا لأنها تخبرنا بالضبط بعدد الحلول التي نبحث عنها. على سبيل المثال, إذا كانت لدينا المعادلة \(x^4 = x^6\), فلدينا معادلة من الدرجة 6 (لأنها أعلى قوة متعددة الحدود يمكن العثور عليها هناك). ومن ثم, فمن خلال النظرية الأساسية للجبر, نعرف أن هناك 6 حلول.
الآن, يمكن أن يكون الأمر صعبًا لأنه لن تكون جميع الحلول حقيقية, وقد يكون بعضها معقدًا, وبعضها قد يتكرر. إذا قلنا كثيرة الحدود من الدرجة \(n\), فإننا نعلم أن هناك حلول \(n\), والشيء الآخر الملحوظ الذي تنص عليه هذه النظرية هو أنه يمكن كتابة الجزء كثير الحدود على النحو التالي
\[\displaystyle p(x) = (x - \alpha_1) (x - \alpha_2) (x - \alpha_3) \cdot\cdot\cdot (x - \alpha_n) \]حيث \(\alpha_1\), ..., \(\alpha_n\) هي الحلول. ولكن من الممكن أن لا تكون كل الحلول مختلفة. في الواقع, يمكن أن يكون لدينا شيء من هذا القبيل
\[ p = (x - \alpha)^n\]مما يدل على أن جميع الحلول n هي نفسها.
ما هي قواعد كثيرات الحدود؟
- الظهر 1: كثيرات الحدود هي مجموعات خطية من التعبيرات بالصيغة \(x^k\)
- ال alخطoة 2: كثيرات الحدود التي نهتم بها هي تلك التي تحتوي على مصطلحات \(x^k\), فقط مع أعداد صحيحة \(k\)
- الله 3: كثيرات الحدود هي نوع بسيط من الوظائف التي يمكن إضافتها وطرحها وضربها وتقسيمها.
لاحظ ان الصخور معدود ليست مغلقة. لاحظ أنه عند جمع وطرح وضرب كثيرات الحدود, ستكون النتيجة دائمًا كثيرة الحدود. لكن عند قسمة كثيرات الحدود, لن تكون النتيجة بالضرورة كثيرة الحدود, على الرغم من أن القسمة والباقي سيكون كثيرات الحدود. افحص ال خوارزمية القسمة الطويلة متعددة الحدود .
ما هي معادلة متعددة الحدود وكيف نحلها؟
المعادلة كثيرة الحدود, ببساطة, هي معادلة رياضية تكون فيها الحدود الموجودة على الجانب الأيسر والأيمن من المعادلة متعددة الحدود. عادة, يتم إعطاء هذه المعادلات بثابت في الجانب الأيمن, لكن هذا ليس هو الحال دائمًا.
على سبيل المثال, \(x^2 + 3x = 2\) هي معادلة متعددة الحدود, لأن المصطلحات الموجودة في طرفي المعادلة هي متعددة الحدود (الثابت "2" هو متعدد الحدود من الرتبة 0).
لكن \(x^2 + \sin(x) = 2x\) ليست معادلة متعددة الحدود, لأن المصطلحات الموجودة في الجانب الأيسر ليست كثيرة الحدود (بسبب وجود الحد \(\sin(x)\).
مثال: حساب حلول المعادلات متعددة الحدود
احسب الحل لـ: \(x^2 = x^4\)
حل:
نحن بحاجة إلى حل المعادلة متعددة الحدود المعطاة التالية:
\[x^2=x^4\]المعادلة التي نحتاج إلى حلها لها متغير واحد فقط, وهو \(x\), وبالتالي فإن الهدف هو حلها.
لاحظ أن درجة متعدد الحدود المعطاة هي \(\displaystyle deg(p) = 4\), معامله الرائد هو \(\displaystyle a_{4} = -1\)ومعامله الثابت هو \(\displaystyle a_0 = 0\).
نظرًا لأن الحد الأول الذي معامله غير الصفر في \(p(x)\) هو \(x^2\), يمكننا تحليل هذا الحد للحصول على:
\[\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = x^2 \left(\displaystyle -x^2+1 \right) \]لكن المصطلح الموجود بين قوسين له الدرجة 2, ونحن بحاجة لمعرفة ما إذا كان من الممكن تحليله بشكل أكبر.
نحتاج إلى حل المعادلة التربيعية التالية \(\displaystyle -x^2+1=0\).
للمعادلة التربيعية للنموذج \(a x^2 + bx + c = 0\), يتم حساب الجذور باستخدام الصيغة التالية:
\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]في هذه الحالة , لدينا أن المعادلة التي نحتاج إلى حلها هي \(\displaystyle -x^2+1 = 0\), مما يعني أن المعاملات المقابلة هي:
\[a = -1\] \[b = 0\] \[c = 1\]أولاً , سنحسب التمييز لتقييم طبيعة الجذور.يتم حساب التمييز على النحو التالي:
\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 0\right)^2 - 4 \cdot \left(-1\right)\cdot \left(1\right) = 4\]لأنه في هذه الحالة , نحصل على التمييز هو \(\Delta = \displaystyle 4 > 0\), وهو أمر إيجابي , نعلم أن المعادلة لها جذور حقيقية مختلفة.
الآن , توصيل هذه القيم في صيغة الجذور التي نحصل عليها:
\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{\left(0\right)^2-4\left(-1\right)\left(1\right)}}{2\cdot -1} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{4}}{-2}\]إذن , نجد ذلك:
\[ {x}_1 = \frac{0}{-2}-\frac{1}{-2}\sqrt{4}=\frac{0}{-2}-\left(-1\right)=1 \] \[{x}_2 = \frac{0}{-2}+\frac{1}{-2}\sqrt{4}=\frac{0}{-2}-1=-1\]في هذه الحالة , فإن المعادلة التربيعية \( \displaystyle -x^2+1 = 0 \), لها جذور حقيقية , إذن:
\[\displaystyle -x^2+1 = - \left(x-1\right)\left(x+1\right)\]إذن , يتم أخذ متعدد الحدود الأصلي في الحسبان كـ \(\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = - x^2 \left(x-1\right)\left(x+1\right) \), والذي يكمل العوامل.
خatmة : لذلك , فإن العوامل النهائية التي نحصل عليها هي:
\[\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = - x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\]الجذور التي تم العثور عليها باستخدام عملية التحليل هي \(0\) و \(1\) و \(-1\) .
الآلات الحاسبة المعادلات المفيدة الأخرى
أدوات حل المعادلات إنها مهمة حقًا في الرياضيات, حيث أن المعادلات عادة ما تكون الطريقة التي نعبر بها عن الارتباط بين الكميات المترابطة. إن القدرة على حل المعادلات ستكشف عن بعض النقاط الخاصة التي تلبي بعض المساواة المحددة.
من الصعب تحقيق الآلات الحاسبة العامة لأن هياكل المعادلات المختلفة تتطلب استراتيجيات حل مختلفة. أ حاسبة المعادلات المثلثية عادة ما يستغل العلاقة بين الدوال المثلثية المختلفة من أجل إيجاد الحلول, بنفس الطريقة المعادلات الأسية و المعادلات اللوغاريتمية سيكون لها مناهجها الخاصة, بناءً على الخصائص الأساسية التي تحتفظ بها الأسس واللوغاريتمات, على التوالي. .
يمكن تمثيل معظم مسائل الجبر, لذلك من خلال حل المعادلات نجد المفتاح لمسائل الجبر تلك, تلك النقاط الخاصة التي تلبي خصائص محددة محل اهتمام.
حل المعادلات ليس بالأمر السهل بشكل عام. يمكنك اتباع بعض الاستراتيجيات المفيدة, مثل إعادة ترتيب المعادلات, أو التخصيم, أو تيبسيه . لكن في النهاية, كل نوع من المعادلات سيمنحك نوعًا من البنية التي ستكشف عن الطريق إلى حلها
على سبيل المثال, بالنسبة للمعادلات الجذرية, من المؤكد أنك تحتاج إلى حل الحد الذي له جذر, واستخدام قوة لإزالة الجذر, وتحويله إلى معادلة متعددة الحدود. لكن هذا المسار, الذي يعمل بشكل مثالي مع معادلة جذرية, قد لا يعمل مع معادلة مثلثية, على سبيل المثال.
