معادلات الجبر
عاليمت: استخدم هذه الآلة الحاسبة لحل معادلات الجبر, موضحًا جميع الخطوات. الرجاء كتابة المعادلة التي تريد حلها (اكتب معادلة واحدة أو معادلة متغيرتين).
معادلات الجبر
لا شك أن المعادلات هي أحد العناصر الرئيسية التي يجب الاهتمام بها في الجبر. ستسمح لك هذه الآلة الحاسبة بحل معادلة الجبر التي تقدمها, سواء كانت خطية أو غير خطية
كل ما عليك فعله هو كتابة أو لصق المعادلة التي تريد حلها , ثم اضغط على زر "حل" لتحصل على كافة خطوات الحل الموضحة.
تحذير واحد على الفور, لن يتم حل جميع معادلات الجبر بسهولة, ولن يتم حل بعضها على الإطلاق. وبطبيعة الحال, بعض الأمثلة السهلة مثل الماعدة أو الماعدة هي واضحة تماما, ولكن هذا هو ما في الأمر.
أي شيء لا يتناسب مع هذه الفئات لن يكون له طريقة قياسية/مباشرة لحله. وهذا لا يعني أنك لا تستطيع حلها, بل يعني فقط أنه لا توجد "خارطة طريق" لذلك.
ما هي معادلة الجبر؟
معادلة الجبر, والمعروفة أيضًا باسم المعادلة الجبرية, هي مصطلح شامل للإشارة إلى الأنواع المختلفة من المعادلات الرياضية التي ستجدها عند التعامل مع الجبر.
وسوف تتراوح من المعادلات الخطية التافهة مثل
\[\displaystyle \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \]إلى معادلات أكثر تعقيدًا مثل
\[\displaystyle \sin \left(\frac{1}{2} x^2 + x + 1 \right)= \frac{\sqrt{2}}{2} \]إلى المعادلات التي لا يمكن حلها بالطرق الأولية, مثل
\[\displaystyle x e^x = \sin x \]ما هي المعادلات/الصيغ الأساسية للجبر؟
هناك الكثير وربما الكثير مما لا مجال لذكره:
- الظهر 1: لدينا أنواع مختلفة من المعادلات, مثل المعادلات الخطية والتربيعية ومتعددة الحدود
- ال alخطoة 2: بصرف النظر عن المعادلات (التي تتحقق ببعض قيم x فقط), لدينا هويات جبرية مختلفة, والتي تنطبق على جميع القيم
- الله 3: الهويات الأساسية في الجبر هي مفكوك ذو الحدين (a+b) 2 = أ 2 + 2ab + b 2 , فرق المربعات: أ 2 - ب 2 = (أ+ب)(أب), على سبيل المثال لا الحصر
الفرق الكبير بين معادلات الجبر والمتطابقات هو أن المتطابقات عبارة عن تعبيرات تنطبق على جميع القيم التي تقوم بإدخالها, في حين أن المعادلات ستظل صالحة فقط لقيم قليلة محددة. عادة, سوف تستخدم الهويات لحل المعادلات.
ما هي معادلة الجبر الأساسية؟
هناك أنواع عديدة من معادلة الجبر الأساسية هي المعادلة الخطية. على سبيل المثال, لمتغير واحد, ماعدل خط ماستوم يكون:
\[\displaystyle a x + b = c \]لاحظ أن الجانب الأيسر يتوافق مع \(ax + b\), وهي دالة خطية. هذا النوع من الوظائف له تفسير هندسي قوي, حيث أنه يرتبط ارتباطًا وثيقًا بخط هندسي, حيث يتوافق \(a\) مع مايل و \(b\) إلى التقاطع y .
ما هي بعض الاستخدامات لمعادلات الجبر
- الظهر 1: معادلات الجبر تغلف العلاقة بين المتغيرات. عادةً ما يؤدي حل المعادلة إلى نقطة فريدة جدًا في تفاعل العناصر
- ال alخطoة 2: باستخدام المعادلات, يمكننا قياس الأشياء, ونكون قادرين على التحدث بشكل محدد عن المتغيرات
- الله 3: المعادلات عادة ما تكون مفتاح الأشياء العظيمة: نقاط التوازن, نقاط أقصى ربح, نقاط المقاومة الأقل, إلخ.
ولذلك, نريد أن يكون لدينا معادلات. إحدى المشاكل الصغيرة هي أن المعادلات قد يكون من الصعب حلها. باستخدام حل المعادلات مع الخطوات يمكن أن يكون حاسما في وقت معالجة المعادلات الأصعب التي سنجدها حتما.
ما هي المعادلة الأكثر شعبية في الجبر؟
يعتمد على من يسأل. بالنسبة للبعض, المعادلة الأكثر شيوعًا هي المعادلة الأسهل, وهي بلا شك المعادلة الخطية. ولكن إذا سألت عالم الرياضيات, فسوف يخبرك بشيء مختلف.
سيخبرك بعض الأصوليين أن هذه هي الصيغة الأكثر شيوعًا في الجبر:
\[\displaystyle e^{-i \pi} + 1 = 0 \]لأنه يستخدم جميع الرموز الرياضية الأكثر أهمية. وجهات نظر, هاه؟
مثال: المعادلات الخطية
حل المعادلة الخطية التالية: \(2x + 3y = \frac{1}{6}\)
إل: نحن بحاجة إلى حل المعادلة الخطية التالية:
\[2x+3y=\frac{1}{6}\]تحتوي المعادلة الخطية على متغيرين, هما \(x\) و \(x\), وبالتالي فإن الهدف هو حل \(x\).
وضع \(y\) على الجانب الأيسر و \(x\) والثابت على الجانب الأيمن الذي نحصل عليه
\[\displaystyle 3y = -2x + \frac{1}{6}\]الآن , حل \(y\), من خلال تقسيم جانبي المعادلة بواسطة \(3\), يتم الحصول على ما يلي
\[\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+\frac{\frac{1}{6}}{3}\]وتبسيط نحصل أخيرًا على ما يلي
\[\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{18}\]ولذلك, فإن حل \(x\) لمعادلة خطية معينة يؤدي إلى \(y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{18}\).
مثال: المعادلات التربيعية
حل المعادلة التربيعية التالية: \(2x^2 + \frac{5}{4}x - \frac{1}{6} = 0\)
إل: نحن بحاجة إلى حل المعادلة متعددة الحدود المعطاة التالية:
\[2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6}=0\]المعادلة التي نحتاج إلى حلها لها متغير واحد فقط, وهو \(x\), وبالتالي فإن الهدف هو حلها.
لاحظ أن درجة متعدد الحدود المعطاة هي \(\displaystyle deg(p) = 2\), معامله الرائد هو \(\displaystyle a_{2} = 2\)ومعامله الثابت هو \(\displaystyle a_0 = -\frac{1}{6}\).
نحتاج إلى حل المعادلة التربيعية التالية \(\displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6}=0\).
باستخدام الصيغة التربيعية
للمعادلة التربيعية للنموذج \(a x^2 + bx + c = 0\), يتم حساب الجذور باستخدام الصيغة التالية:
\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]في هذه الحالة , لدينا أن المعادلة التي نحتاج إلى حلها هي \(\displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 0\), مما يعني أن المعاملات المقابلة هي:
\[a = 2\] \[b = \frac{5}{4}\] \[c = -\frac{1}{6}\]أولاً , سنحسب التمييز لتقييم طبيعة الجذور.يتم حساب التمييز على النحو التالي:
\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( \frac{5}{4}\right)^2 - 4 \cdot \left(2\right)\cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{139}{48}\]لأنه في هذه الحالة , نحصل على التمييز هو \(\Delta = \displaystyle \frac{139}{48} > 0\), وهو أمر إيجابي , نعلم أن المعادلة لها جذور حقيقية مختلفة.
الآن , توصيل هذه القيم في صيغة الجذور التي نحصل عليها:
\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^2-4\left(2\right)\left(-\frac{1}{6}\right)}}{2\cdot 2} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\frac{139}{48}}}{4}\]إذن , نجد ذلك:
\[ {x}_1 = -\frac{\frac{5}{4}}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=\frac{-5}{4\cdot 4}-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=-\frac{5}{16}-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16} \] \[{x}_2 = -\frac{\frac{5}{4}}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=\frac{-5}{4\cdot 4}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=-\frac{5}{16}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\]في هذه الحالة , فإن المعادلة التربيعية \( \displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 0 \), لها جذور حقيقية , إذن:
\[\displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 2 \left(x+\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\left(x-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\]إذن , يتم أخذ متعدد الحدود الأصلي في الحسبان كـ \(\displaystyle p(x) = 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 2 \left(x+\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\left(x-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right) \), والذي يكمل العوامل.
خatmة : لذلك , فإن العوامل النهائية التي نحصل عليها هي:
\[\displaystyle p(x) = 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 2 \left(x+\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\left(x-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\]الجذور التي تم العثور عليها باستخدام عملية التحليل هي \(-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\) و \(\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\) .
ولذلك, فإن حل \(x\) للمعادلة كثيرة الحدود المعطاة يؤدي إلى الحلول \(x = \, \)\(-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\), \(\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\), باستخدام طرق التحليل.
الآلات الحاسبة المعادلات المفيدة الأخرى
المعادلات الخطية هي الأسهل على الإطلاق. سوف تجد الكثير من الصعوبات حل المعادلات المثلثية أو أي معادلة غير خطية ليست أ معادلة كثيرة الحدود , على الرغم من أن المعادلات متعددة الحدود ما زالت صعبة الحل.
سوف تتعلم أن الأنواع المختلفة من المعادلات تتبع قواعد مختلفة. يمكنك استخدام على سبيل المثال حاسبة المعادلة الأسية وذلك لاستغلال خصائص الأسس لحل معادلات محددة.
وينطبق الشيء نفسه إذا حاولت حل معادلة لوغاريتمية , حيث أن الهياكل المحددة للدالة اللوغاريتمية ستجعل عملية حل المعادلة أسهل.
