عامل بالتجميع
يعتبر العامل بالتجميع طريقة ممتازة لتحليل التعبير , دون الحاجة إلى حل معادلة متعددة الحدود , والتي قد يكون من الصعب حلها.
المشكلة الوحيدة للتخصيم عن طريق التجميع هي أنه لا توجد وصفة أو استراتيجية واحدة من شأنها أن تمنحك التجميع المناسب المطلوب. أو حتى الأسوأ من ذلك , قد لا تكون هناك طريقة واضحة للتجميع من أجل إجراء التحليل إلى عوامل.
سنركز في هذا البرنامج التعليمي على الحالات الخاصة التي سيساعد فيها التجميع في تحليل تعبير جبري , على الرغم من أن الحقيقة هي أنه ليس من الممكن دائمًا القيام بذلك. لمزيد من العلاج العام , تحقق من هذا البرنامج التعليمي على كيفية التعامل .
الشروط المطلوبة للتخصيم بالتجميع
هذه هي طريقة عمل التخصيم عن طريق التجميع:
نحتاج إلى البحث عن تلميحات معينة لاستخدام هذا النوع من التحليل. بالنسبة للمبتدئين , نتوقع أن يكون لدينا تعبير جبري بعدد زوجي من الحدود أكبر من 2 (أي 4 , 6 , إلخ) , ثم نحاول التجميع.
كما قلنا , لا توجد قواعد ثابتة , ويجب أن تلعبها عن طريق الأذنين , باتباع هاتين الخطوتين.
الخطوة 1:
اجمع الفصلين الأول والثاني والثالث والرابع وهكذا.
الخطوة 2:
الآن , حاول تحليل كل الأزواج التي جمعتها في الخطوة 1. لاحظ أنه يمكن أن يكون هناك أكثر من طريقة واحدة للتحليل.
الخطوه 3:
تحقق مما إذا كانت العوامل التي حصلت عليها في الخطوة 2 كلها متشابهة , وفي هذه الحالة , يمكنك تحليلها.
الخطوة الرابعة:
إذا لم تنجح الخطوات السابقة , جرب خدعة "إضافة صفر": في بعض الأحيان , ستنجح الأشياء إذا أضفت شيئًا , وقمت أيضًا بطرحه من التعبير.
من خلال إضافة وطرح نفس المصطلح , يكون التأثير الصافي هو نفسه الجمع (أي , ترك التعبير كما كان)
مثال 1
حلل إلى عوامل باستخدام طريقة العامل عن طريق تجميع كثير الحدود التالي
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2\]إجابه:
نحتاج إلى استخدام الخطوات التي حددناها أعلاه. لاحظ أن هذه الخطوات ليست ثابتة , لكنها إرشادات مفيدة عليك اتباعها:
الخطوة 1: نقوم بتجميع الحدين الأول والثاني , وكذلك الحد الثالث والرابع حتى نحصل على
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (6x^3 + 3x^2) - (4x + 2)\]
الخطوة 2: تم أخذ المصطلح \(6x^3 + 3x^2\) في الاعتبار كـ \(6x^3 + 3x^2 = 3x^2(2x+1)\) , والمصطلح \(4x + 2\) تم أخذها في الاعتبار كـ \(4x + 2 = 2(2x+1)\) , لذلك نحصل على:
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (6x^3 + 3x^2) - (4x + 2) = 3x^2(2x+1) - 2(2x+1) \]
الخطوه 3: يمكننا الآن أن نرى كيف أن المجموعتين اللتين حللناهما في الاعتبار لديهما عامل مشترك , وهو \(2x+1\) , والذي يمكن استخلاصه من خلال خاصية التوزيع. لذلك , يتم الحصول على ما يلي:
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (3x^2-2)(2x+1)\]
الذي يختتم عملية العوملة.
مثال 2
حل المعادلة التالية: \(x^3 -6x^2 + 11x - 6 = 0\):
إجابه:
نظرًا لأننا لا نعرف حقًا (على الرغم من إمكانية ذلك) كيفية إيجاد حل تلك المعادلة التكعيبية , فنحن بحاجة مرة أخرى إلى استخدام الخطوات لإيجاد التحليل من خلال تجميع \(x^3 -6x^2 + 11x - 6 \) إن أمكن:
الخطوة 1: نقوم بتجميع الحدين الأول والثاني , وكذلك الحد الثالث والرابع حتى نحصل على
\[x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^3 -6x^2) + (11x - 6) \]
الخطوة 2: تم أخذ المصطلح \(x^3 -6x^2\) في الاعتبار كـ \(x^3 -6x^2 = x^2(x-6)\) , والمصطلح \(11x - 6\) تم أخذها في الاعتبار كـ \(11x - 6= 11(x - 6/11)\) , لذلك نحصل على:
\[x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^3 -6x^2) + (11x - 6) = x^2(x-6) + 11(x - 6/11) \]
الخطوه 3: في هذه الحالة , لا يوجد عامل مشترك , لذا فإن الطريقة لم تنجح حتى هذه النقطة.
الخطوة الرابعة: نضيف \(0 = 2x - 2x\) ونضيف \(0 = 3x^2 - 3x^2\) والتي لن تؤثر على التعبير (نضيف الأصفار) , لذلك نحصل على:
\[ x^3 -6x^2 + 11x - 6 = x^3 -6x^2 + 11x - 6 + 2x - 2x + 3x^2 - 3x^2\] \[ = x^3 - 3x^2 -3x^2 + 9x +2x- 6 \] \[= (x^3 - 3x^2) -(3x^2 - 9x) +(2x- 6) \] \[= x^2(x - 3) -3x(x-3) +2(x- 3) \]
والآن لدينا العامل المشترك , \(x-3\) الذي كنا نبحث عنه. أخيرًا , نحصل على تحليل \(x-3\)
\[\Large x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^2-3x +2)(x- 3)\]إذن , لحل المعادلة الأصلية , يمكننا أيضًا حل \((x^2-3x +2)(x- 3) = 0\) مما يعني أن \(x^2-3x +2 = 0\) أو \(x - 3\) = 0.
من المعادلة الثانية لدينا الحل الوحيد هو \(x = 3\). من المعادلة الأولى نحتاج إلى حل:
\[ x^2-3x +2 = 0 \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] \[ \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}\] \[ \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2}\] \[ \Rightarrow x = \frac{3 \pm 1}{2}\]مما يعني أن الحلول الأخرى هي \(x = (3-1)/2 = 1\) و \(x = (3+1)/2 = 2\).
لماذا العوملة بالتجميع؟
لنتذكر أن التحليل إلى العوامل أمر جيد دائمًا لحل المعادلة , لأنه عندما يكون ضرب عدة عوامل يساوي صفرًا , يتم إيجاد حلول المعادلة عن طريق جعل كل عامل مساويًا للصفر.
على سبيل المثال , لنفترض أنك تريد حل المعادلة \(x^3 + x^2 + 2x + 2 = 0\). أراهن أنك ستكون جاهلًا إذا احتجت إلى حلها باستخدام الوسائل الجبرية.
لماذا ا؟ لأن هذه معادلة تكعيبية , ومن الصعب حل معادلة تكعيبية. هناك صيغة لكنها ليست سهلة. ما البدائل التي لدينا؟
حسنًا , يمكننا التحليل بالتجميع , إن أمكن. سنرى أنه من الممكن بالفعل في هذه الحالة. سنتبع الخطوات التي تم تحديدها أعلاه:
الخطوة 1: يؤدي تجميع الفصلين الأول والثاني وكذلك الفصلين الثالث والرابع إلى:
\[(x^3 + x^2) + (2x + 2) = 0\]
الخطوة 2: تم أخذ المصطلح \(x^3 + x^2\) في الاعتبار كـ \(x^3 + x^2 = x^2(x+1)\) , والمصطلح \(2x + 2\) تم أخذها في الاعتبار كـ \(2x + 2 = 2(x+1)\) , لذلك نحصل على:
\[x^2(x + 1) + 2(x + 1) = 0\]
الخطوه 3: الآن نرى أن المجموعتين اللتين حللناهما في الاعتبار لديهما عامل مشترك , وهو \(x+1\) , والذي يمكن استخلاصه من خلال خاصية التوزيع , لذلك نحصل على:
\[(x^2+2)(x + 1)= 0\]
لذلك , ما وجدناه هو أن التعبير التكعيبي الأصلي قد تم تحليله إلى عوامل على النحو التالي:
\[x^3 + x^2 + 2x + 2 = (x^2+2)(x + 1) = 0\]بهذه الطريقة , يمكننا حل المعادلة بسهولة عن طريق ضبط \(x^2 + 2 = 0\) أو \(x + 1 = 0\). لاحظ أنه نظرًا لأن \(x^2\) دائمًا غير سلبي , فإننا نحصل على \(x^2 + 2 \ge 2\) ولا يمكن أبدًا أن يكون صفرًا (على الأقل لـ \(x\) حقيقي).
لذلك فإن الحل الوحيد هو \(x = -1\).
لقد جاء ذلك مجانًا , باستخدام عامل التجميع. وإلا , فسنحتاج إلى استخدام صيغة جذر تكعيبي مرهقة , أو ستستخدم طريقة "تخمين الجذور" , ولنكن صادقين , فهي ليست طريقة في الحقيقة.