关于多项式方程

使用这个计算器来帮助你解决多项式方程,显示这个过程的所有步骤。你提供的方程可以在方程的左边和右边有多项式项。

例如,你可以提供一个像3x^3-2x=1+x这样的方程,它可以从试图找到一个立方体和一个线性函数的图形的交点中得到。任何多项式方程都可以,有整数或分数系数,或任何有效的数字表达。

一旦一个多项式方程被输入到表格框中,你需要点击 "计算",这将显示过程的所有步骤和解决方案。

免责声明,不是所有的多项式方程都可以用基本工具解决。没有系统的公式来处理5度以上的多项式方程。此外,我们还要处理一个额外的困难,即多项式方程的解可能是复数。

什么是多项式方程

多项式方程,简单地说,是一个两边都含有多项式的方程。在数学上,一个多项式方程的形式是：

\[\displaystyle p(x) = q(x) \]

其中 \(p(x)\) 和 \(q(x)\) 是多项式。例如,\(3x+1 = x^2-2\) 是多项式方程,但 \(\sin(3x+1) = x^2-2\) 不是。

解多项式方程的步骤是什么？

• 步骤1： 确定你要处理的方程,明确指出左边和右边的项,并确保它们是多项式。
• 第2步： 尽可能地简化每一个边。将其中一边的所有条款传递给另一边（如果两边都有条款）。
• 第3步： 现在你有一个被设定为等于零的多项式方程,所以我们需要找到多项式的根
• 第4步： 我们用可能的有理根,多项式除法进行还原和二次方程进行尝试,如以下所示 多项式调零计算器 如果可能的话,找到解决方案

你会发现,解决多项式方程,就像寻找多项式的根一样,远不是所有情况下的小事。当然,一些具体的例子可以非常简单,但当所涉及的多项式的指数很大时,这个过程就会非常困难,甚至根本不可能。

二次方程也是多项式方程吗？

是的,确实如此。二次方程是一个左边是2度的多项式,右边是0（也是一项多项式）的方程,所以它符合定义。

的确如此。 二次方程 是我们能用简单工具解决的最好的问题。虽然有立方体和四方体方程的公式,但对于5度或更高的方程却没有一般的公式。因此,我们经常依靠计算机来寻找数字近似值。

另外,不仅是多项式的指数会使方程难以解决,繁琐的多项式系数也肯定会使事情变得更加困难。

多项式的图形与多项式方程的关系如何？

有不同的看法,但有一种方法是注意到,通过尝试寻找不同多项式的交点,我们确实是在解决一项多项式方程。因此,存在着紧密相关的问题。

例子。解多项式方程

计算下面的多项式方程：\(x^2 = x^3\)

解决方案： 我们必须求解 \(x^2 = x^3\),因此我们将 \(x^3\) 传递到另一侧,从而得到

\[ x^2 - x^3 = 0\]

和因数导致的。

\[ x^2(1 - x) = 0\]

那么就有两种解法：\(x_1 = 0\)（倍数为 2）和 \(x_2 = 1\)。

例子。解多项式方程

下面方程的解是什么？\(\frac{2}{3} x^2 + \frac{5}{4} x = \frac{1}{3} x^2 - \frac{5}{6}\)

解决方案： 我们需要解决以下方程。

\[\displaystyle \frac{2}{3}x^2+\frac{5}{4}x=\frac{1}{3}x^2-\frac{5}{6}\]

最初的步骤。 在这种情况下,我们首先需要简化给定方程 \(\displaystyle \frac{2}{3}x^2+\frac{5}{4}x=\frac{1}{3}x^2-\frac{5}{6} \),把所有项都放在方程的一边,这样就得到了：

因此,化简后,我们需要求解以下阶数为 \(2\) 的多项式方程：

\[\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0\]

请注意,给定多项式的阶数为 \(\displaystyle deg(p) = 2\),前导系数为 \(\displaystyle a_{2} = \frac{1}{3}\),常数系数为 \(\displaystyle a_0 = \frac{5}{6}\)。

我们需要解下面给出的一元二次方程 \(\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6}=0\)。

对于形式为 \(a x^2 + bx + c = 0\) 的一元二次方程,根的计算公式如下：

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

在这种情况下,我们需要求解的方程是 \(\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0\),这意味着相应的系数是：

\[a = \frac{1}{3}\] \[b = \frac{5}{4}\] \[c = \frac{5}{6}\]

首先,我们将计算判别式以评估根的性质。判别式的计算方法是：。

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( \frac{5}{4}\right)^2 - 4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)\cdot \left(\frac{5}{6}\right) = \frac{65}{144}\]

因为在这种情况下,我们得到的判别式是 \(\Delta = \displaystyle \frac{65}{144} > 0\),是正值,所以我们知道方程有两个不同的实数根。

现在,将这些数值插入到根的公式中,我们可以得到。

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^2-4\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{5}{6}\right)}}{2\cdot \frac{1}{3}} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\frac{65}{144}}}{\frac{2}{3}}\]

因此,我们发现。

\[ x_1 = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}-\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{65}{144}}=-\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}-\frac{1}{\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{12}\sqrt{65}=-\frac{5}{4}\cdot \frac{3}{2}-\frac{\frac{1\cdot 3}{2}\cdot 1}{12}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+1\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)\sqrt{65}=-\frac{15}{8}-\frac{1}{8}\sqrt{65} \] \[x_2 = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{65}{144}}=-\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{12}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+1\cdot \frac{1}{8}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+\frac{1}{8}\sqrt{65}\]

在这种情况下,一元二次方程 \( \displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0 \),有两个实数根,所以：

\[\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = \frac{1}{3} \left(x+\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\left(x-\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\]

这样,原多项式就被因子化为 \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = \frac{1}{3} \left(x+\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\left(x-\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right) \),从而完成了因子化。

总结 :利用因式分解过程找到的多项式方程的解是 \(-\frac{1}{8}\sqrt{65}-\frac{15}{8}\) 和 \(\frac{1}{8}\sqrt{65}-\frac{15}{8}\) 。

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多项式方程在代数中出现得如此自然,以至于它们是代数中最重要的课题之一。当你在寻找两个 "小数点 "的交点时,你就会发现,这些 "小数点 "的交点是什么？ 比喻 ,你将需要 解多项式方程 这只是众多情况中的一种。

多项式方程最简单的情况是求解一个 线性方程 ,这确实是一个微不足道的例子。任何非线性的情况都需要做大量的工作。

解决多项式方程并不简单,特别是对于高阶的 多项式度数 .事实上,有一定的可能性,你将无法手动找到一个给定方程的所有解决方案（或任何解决方案的问题）。

最好的人工替代方法是将所有多项式项分组在一边,将其简化为 寻找多项式的零点 .然后,我们在可能的情况下使用二次方程,并试图通过以下方式减少多项式的阶数 多项式除法 和 因素定理 .