Math Cracks – 一种很酷的分部集成方法

介绍

对于许多微积分学生来说,按部分积分的想法听起来很可怕,我认为这是有充分理由的。首先,按部分集成是一种涉及两步（或更多）而不是大多数学生希望的一步的技术。学生们希望应用一些公式并立即得到答案,但在微积分中,答案通常是在一系列（有时是很长的）步骤之后出现的。

除了替代方法 ,分部积分法是求解非初等积分的最重要方法。

首先,作为问题的一个原则,积分对学生来说通常很难的原因之一是用于积分的相当不幸的符号。实际上,在计算函数 \(f\left( x \right)\) 的不定积分时,我们面临以下记法

\[\int{f\left( x \right)dx}\] What many students do not understand is what is really meant by the "\(dx\)" in the expression above. Clearly, there are historical reasons why the "\(dx\)" appears in the notation stated above. But, actually there is no reason to include \(dx\) or even to add \(f\left( x \right)\). When we want to compute the indefinite integral of a function \(f\), we should be able to simply write \[\int{f}\] and that way we are stating the indefinite integral of the function \(f\).

这些是一样的吗？

\[\int{f\left( x \right)dx}=\int{f\left( u \right)du}\]

绝对地！这就是为什么有时您会看到积分变量（分别为 x 或 u）被称为“虚拟”变量,因为它在积分过程中并没有真正发挥任何作用。

零件集成作为逆积规则

简单介绍之后,现在我们切入正题。教科书中典型的分部积分公式为

\[\int{udv}=uv-\int{vdu} \,\,\,\,\,(1)\]

然后你说,“嗯？那是什么？”显然,如果不对上面的 \(u\) 和 \(dv\) 赋予意义,就很难看出它的全部内容。您可能会问的一个问题是：为什么分部积分公式涉及 dv 和 du ,如果它们在积分过程中甚至没有发挥作用,如介绍所示？

答案很简单：在上述分部积分的上下文中,\(du\) 和 \(dv\) 不是“虚拟变量”,而是函数。从助记符的角度来看,上面的内容可以很好地通过部分练习来解决积分问题,但并不利于理解为什么它实际上是正确的或为什么它有效。

输入产品规则：

产品规则说：

\[\frac{d}{dx}\left( fg \right)=\frac{df}{dx}g+f\frac{dg}{dx} \,\,\,\,\,(2)\]

简而言之,我更喜欢写

\[\left( fg \right)'=f'g+fg' \,\,\,\,\,(3)\]

可是等等！我们在这篇文章中不是整合了吗？我为什么要提出区分规则？嗯,也必须为积分制定乘积规则不是很好吗？如果 \(\int{f'g'}=f\,g + C\) 不是很好吗？？不幸的是,它不是,但积分仍然有乘积规则,只是它稍微复杂一些。

让我们重新排列方程（3）,我们得到：

\[fg'=\left( fg \right)'-f'g \,\,\,\,\,(4)\]

那么,如果我们整合上述等式的两边,我们得到

\[\int{fg'}=\int{\left( \left( fg \right)'-f'g \right)}\]

这通过积分的线性导致

\[\int{f\,g'}=f\,g-\int{f'g} \,\,\,\,\,(5)\]

在这里,我的朋友们,你们的整合是按部分规则进行的。按部件集成应该被视为一个很酷的集成工具,它允许我集成两个功能的产品。但这有点限制,因为它是两个函数的乘积,但其中一个函数必须是 SOME 函数的导数。

因此,为了有效地应用分部集成规则,我需要发生三件事：

我正在尝试集成两个功能的产品。
其中一个函数是某物的衍生物（所以它的形式是\(g'\)）。
我需要知道如何计算某些东西（我需要知道谁是 \(g\)）

如果这三个条件发生,那么我可以使用分部积分规则

记住：当使用分部积分时,你需要有两个函数的乘积,这两个函数之一需要是你知道的东西的导数。

例如,让我们看看什么时候不能应用分部积分：考虑以下积分

\[\int{\sin \left( {{x}^{2}} \right){{e}^{{{x}^{2}}}}}\]

在这种情况下,我们试图对两个函数的乘积进行积分：\(\sin \left( {{x}^{2}} \right)\) 和 \({{e}^{{{x}^{2}}}}\),但是您知道这两个函数中任何一个的反导数是什么吗？或者换句话说,你知道微分后哪些函数会导致 \(\sin \left( {{x}^{2}} \right)\) 或 \({{e}^{{{x}^{2}}}}\) 中的任何一个吗？好。不。这两个函数没有基本的反导数,因此在这种情况下,分部积分将无济于事。

现在可以使用按部件集成的示例：

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\]

在这种情况下,我们试图对两个函数的乘积进行积分：\({{x}^{2}}\) 和 \({{e}^{{{x}^{2}}}}\),我知道 \({{x}^{2}}\) 的反导数是什么。所以我可以使用规则。我们有以下符号：

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}=\int{\underbrace{{{e}^{{{x}^{2}}}}}_{f\left( x \right)}\underbrace{{{x}^{2}}dx}_{g'\left( x \right)}}\]

所以我们有

\[\begin{aligned} & f\left( x \right)={{e}^{{{x}^{2}}}} \\ & g'\left( x \right)={{x}^{2}} \\ \end{aligned}\]

微分 \(f\) 并整合 \(g'\) 我们得到：

\[\begin{aligned} & f\left( x \right)=2x{{e}^{{{x}^{2}}}} \\ & g\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3} \\ \end{aligned}\]

（注意上面提到的 \(g\left( x \right)\) 是一种可能的反导数,但规则是我可以选择任何反导数,所以我选择最简单的一个）。分部整合是

\[\int{f\,g'}=f\,g-\int{f'g}\]

所以插入我们拥有的信息,我们得到以下信息：

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}={{e}^{{{x}^{2}}}}\frac{{{x}^{3}}}{3}-\int{2x{{e}^{{{x}^{2}}}}\frac{{{x}^{3}}}{3}dx}\] \[\Rightarrow \,\,\,\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}=\frac{{{e}^{{{x}^{2}}}}{{x}^{3}}}{3}-\frac{2}{3}\int{{{x}^{4}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\]

所以我使用了上面的分部积分规则,但实际上,我遇到了一个更难解决的积分。也就是说,为了解决 \(\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}\),我们首先需要知道如何计算 \(\int{{{x}^{4}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\),这实际上更难。

这个故事的寓意是部分积分是积分的一种乘积规则,您正在寻找一种特定的结构：它是两个函数的乘积的积分,而其中一个函数您需要知道如何计算其反导数。如果是这种情况,您就在开展业务,您可以应用按部件集成的规则。

但是,正如在前面的示例中所见,您可以使用按部分集成的事实并不意味着它每次都有用。