求解器代数

多项式除法

指示： 使用多项式除法计算器来除掉你提供的两个多项式,显示所有的步骤。请在下面的表格框中输入两个多项式。

多项式除法

这个计算器将为你进行多项式除法,而你所要做的就是提供两个有效的多项式。这些多项式的顺序很重要,因为多项式的除法是这样的 非交换性的 (所以,那么p(x)/s(x)与s(x)/p(x)是不一样的）。

你提供的第一个多项式,通常称为红利,与红利相对应,第二个多项式是你要除的那个,通常称为除数。

有效的多项式的例子是p(x)=x^4+3x^3-2和s(x)=x-3, 但多项式的系数不一定是整数,因为它们可以是分数,或任何一种有效的数字表达。另外,多项式不一定要简化。如果需要,计算器会进行一次多项式简化分割前。

一旦你提供了有效的多项式,那么你就都准备好了。剩下要做的就是点击 "计算",这样你就可以得到所有显示的过程的步骤。

如何进行多项式的除法

多项式除法比除数稍微复杂一些。例如,当我们除以两个数字,如 "4除以2",我们做4/2=2。所以这很容易,对吗？

但这并不总是那么简单,因为我们可以有像'7/2'这样的东西。你可以说'好吧,7/2=3.5',你会是正确的,但另一种看法是说'7除以2是3,余数为1'。为什么呢？因为没有一个整数能让它乘以2达到7。最接近的是3,所以\(2 \cdot 3 = 6\),但我有一个余数1。

同样的想法也适用于多项式除法。给出一个多项式\(p(x)\)和一个除数\(s(x)\),我们将尝试找到一个商\(q(x)\),以便

\[\displaystyle p(x) = s(x) \cdot q(x)\]

但我们并不总是能做到,就像对于'7/2'我们无法找到一个精确的除法一样。然后,我们将确定余数\(r(x)\),这是一个多项式,说明\(s(x) \cdot q(x)\)在瞄准p(x)时有多少 "失误"。所以我们写道

\[\displaystyle p(x) = s(x) \cdot q(x) + r(x)\]

理想情况下,我们希望\(r(x)\)是零,如果不是,我们希望它尽可能小。欧几里德的算法告诉我们如何找到最小的\(r(x)\),如果事情顺利,它可能是零,在这种情况下,我们说除数\(s(x)\)除以多项式\(p(x)\)。

多项式除法的步骤是什么？

步骤1： 找出红利p(x)和除数s(x)。确保在继续进行之前尽可能地简化它们
第2步： 如果s(x)的度数大于 p(x)的度数 ,停止,在这种情况下,商是零,余数是p(x)。
第 3 步： 如果你没有在第2步停止,请注意除数的前导项和红利的前导项。
第4步： 找到除数和被除数的前导项之间的除数（这被解释为你需要乘以被除数的前导项才能得到除数的前导项）,这将是当前的因子,它将被添加到当前的商中。
第 5 步： 用当前系数乘以除数,结果,将其减去红利,这样就形成了一个新的当前红利。
第6步。 重复这个过程,直到当前的除数的度数小于被除数。然后停止,你当前的除数将是你的余数。

这个过程保证是有效的,因为当前的红利在每一步都至少减少一个度。聪明吧？

用什么方法,长除法还是合成除法？

合成除法适用于除数为1度的特殊情况。例如,s(x) = x - 1,但对于s(x) = x^2 - 1就不适用了,尽管有一些版本的合成除法算法为更高的度数。合成除法通常被限制在1度的除数上,因为它与1度的除数有着密切的联系。合成替代物和剩余定理 ,这确实有意义。

长除法会在大多数情况下发生,而合成除法则不适用。请注意,合成除法使用的是长除法的方法,只是它被改编得超级快,所以这就是为什么在可能的情况下它是首选方式。

如何使用多项式除法来解决多项式方程？

步骤1： 确定你的多项式方程,并确保方程的每一边确实是有效的多项式
第2步： 通过改变标志将一侧的所有术语传递到另一侧
第 3 步： 将所有条款归为一边并进行简化
第4步： 现在你有一个多项式方程,其中一边是多项式,另一边是0,所以要通过因式分解解决相应的多项式
第 5 步： 首先,你尝试用有理根定理试图找到简单的根
第6步。 对单根进行分组,建立相应的线性关联项（例如：如果x=1是一个解,形成项x-1）,将它们相乘,然后用它来除以多项式。这样,你将得到一个低阶商
第7步。 用前面步骤中发现的低阶商重复上述步骤

正如你所看到的,没有任何捷径或神奇的公式可以用于寻找多项式的根 .但有一个系统的程序可以增加你尽可能容易找到根的机会。

为什么要关心多项式的除法问题？

正因为多项式除法是你通往寻找多项式方程的根 ,这是代数的中心议题之一。

例子。多项式除法计算

计算以下除法。\(\frac{3x^3+3x+3}{3x+1}\)<

解决方案：在这种情况下,从所提供的除法中我们可以看出,红利是\(\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3\),除数是\(\displaystyle s(x) = 3x+1\)。

在这种情况下,红利的度数是\(\displaystyle deg(p) = 3\),而除数的度数是\(\displaystyle deg(s)) = 1\)。

步骤1： 红利\(\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3\)的前导项是\(\displaystyle 3x^3\),而除数\(\displaystyle s(x) = 3x+1\)的前导项则等于\(\displaystyle 3x\)。

因此,我们需要乘以\(3x\)以得到红利的前导项是\(\displaystyle \frac{ 3x^3}{ 3x} = x^2\),所以我们把这个项加到商中。另外,我们用它乘以除数,得到\(\displaystyle x^2 \cdot \left(3x+1\right) = 3x^3+x^2\),我们需要把它减去红利。

\[\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \end{array}\]

第2步： 现在,当前余数\(\displaystyle -x^2+3x+3\)的前导项是\(\displaystyle x^2\),我们知道除数的前导项是\(\displaystyle 3x\)。

那么,我们需要乘以\(3x\)来得到当前余数的前导项是\(\displaystyle \frac{ -1x^2}{ 3x} = -\frac{1}{3}x\),所以我们把这个项加到商中。另外,我们用它乘以除数,得到\(\displaystyle -\frac{1}{3}x \cdot \left(3x+1\right) = -x^2-\frac{1}{3}x\),我们需要减去当前的余数。

\[\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{1}{3}x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle +\frac{1}{3}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{3}x & \displaystyle +3\\[0.8em] \end{array}\]

第 3 步： 现在,当前余数\(\displaystyle \frac{10}{3}x+3\)的前导项是\(\displaystyle \frac{10}{3}x\),我们知道除数的前导项是\(\displaystyle 3x\)。

那么,我们需要乘以\(3x\)来得到当前余数的前导项是\(\displaystyle \frac{ \frac{10}{3}x}{ 3x} = \frac{10}{9}\),所以我们把这个项加到商中。另外,我们用它乘以除数,得到\(\displaystyle \frac{10}{9} \cdot \left(3x+1\right) = \frac{10}{3}x+\frac{10}{9}\),我们需要减去当前的余数。

\[\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{1}{3}x & \displaystyle +\frac{10}{9}&\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle +\frac{1}{3}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{3}x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{3}x & \displaystyle -\frac{10}{9}\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{17}{9}\\[0.8em] \end{array}\]

从而结束这个过程。

结论。 因此,我们得出结论,对于给定的红利\(\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3\)和除数\(\displaystyle s(x) = 3x+1\),我们得到商是\(\displaystyle q(x) = x^2-\frac{1}{3}x+\frac{10}{9}\),余数是\(\displaystyle r(x) = \frac{17}{9}\),并且

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{3x^3+3x+3}{3x+1} = x^2-\frac{1}{3}x+\frac{10}{9} + \frac{\frac{17}{9}}{3x+1}\]

例子。多项式的另一种除法

计算红利\(\frac{1}{3} x^4 - x^3 + 2x - \frac{5}{6}\)和除数\(s(x) = 3x+1\)的除法。

解决方案：在这种情况下,我们被提供了。\(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}\),需要除以多项式\(\displaystyle s(x) = 3x+1\)。

现在,红利的程度是\(\displaystyle deg(p) = 4\),除数的程度是\(\displaystyle deg(s)) = 1\)。

步骤1： 红利\(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}\)的前导项是\(\displaystyle \frac{1}{3}x^4\),而除数\(\displaystyle s(x) = 3x+1\)的前导项则等于\(\displaystyle 3x\)。

因此,我们需要乘以\(3x\)以得到红利的前导项是\(\displaystyle \frac{ \frac{1}{3}x^4}{ 3x} = \frac{1}{9}x^3\),所以我们把这个项加到商中。另外,我们用它乘以除数,得到\(\displaystyle \frac{1}{9}x^3 \cdot \left(3x+1\right) = \frac{1}{3}x^4+\frac{1}{9}x^3\),我们需要把它减去红利。

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}\]

第2步： 在这种情况下,当前余数\(\displaystyle -\frac{10}{9}x^3+2x-\frac{5}{6}\)的前导项是\(\displaystyle -\frac{10}{9}x^3\),而我们知道除数的前导项是\(\displaystyle 3x\)。

那么,我们需要乘以\(3x\)来得到当前余数的前导项是\(\displaystyle \frac{ -\frac{10}{9}x^3}{ 3x} = -\frac{10}{27}x^2\),所以我们把这个项加到商中。另外,我们用它乘以除数,得到\(\displaystyle -\frac{10}{27}x^2 \cdot \left(3x+1\right) = -\frac{10}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2\),我们需要减去当前的余数。

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}\]

第 3 步： 在这种情况下,当前余数\(\displaystyle \frac{10}{27}x^2+2x-\frac{5}{6}\)的前导项是\(\displaystyle \frac{10}{27}x^2\),而我们知道除数的前导项是\(\displaystyle 3x\)。

那么,我们需要乘以\(3x\)来得到当前余数的前导项是\(\displaystyle \frac{ \frac{10}{27}x^2}{ 3x} = \frac{10}{81}x\),所以我们把这个项加到商中。另外,我们用它乘以除数,得到\(\displaystyle \frac{10}{81}x \cdot \left(3x+1\right) = \frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x\),我们需要减去当前的余数。

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +\frac{10}{81}x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle -\frac{10}{81}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}\]

第4步： 在这种情况下,当前余数\(\displaystyle \frac{152}{81}x-\frac{5}{6}\)的前导项是\(\displaystyle \frac{152}{81}x\),而我们知道除数的前导项是\(\displaystyle 3x\)。

那么,我们需要乘以\(3x\)来得到当前余数的前导项是\(\displaystyle \frac{ \frac{152}{81}x}{ 3x} = \frac{152}{243}\),所以我们把这个项加到商中。另外,我们用它乘以除数,得到\(\displaystyle \frac{152}{243} \cdot \left(3x+1\right) = \frac{152}{81}x+\frac{152}{243}\),我们需要减去当前的余数。

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +\frac{10}{81}x & \displaystyle +\frac{152}{243}&\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle -\frac{10}{81}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{152}{243}\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{709}{486}\\[0.8em] \end{array}\]

计算结束,因为当前余数\(r(x) = -\frac{709}{486}\)的度数小于除数\(s(x) = 3x+1\)的度数。

结论。 因此,我们得出结论,对于给定的红利\(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}\)和除数\(\displaystyle s(x) = 3x+1\),我们得到商是\(\displaystyle q(x) = \frac{1}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x+\frac{152}{243}\),余数是\(\displaystyle r(x) = -\frac{709}{486}\),并且

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{\frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}}{3x+1} = \frac{1}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x+\frac{152}{243} - \frac{\frac{709}{486}}{3x+1}\]

例子。更多的多项式除法

计算以下多项式的除法。\(\frac{4x^4-2x^2+x-1}{x+1}\)。我们能否说x=-1是\(4x^4-2x^2+x-1\)的根？

解决方案：我们有以下分红和除数。\(\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1\)和\(\displaystyle s(x) = x+1\)。

我们知道,红利的度数是\(\displaystyle deg(p) = 4\),除数的度数是\(\displaystyle deg(s)) = 1\)。

步骤1： 红利\(\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1\)的前导项是\(\displaystyle 4x^4\),而除数\(\displaystyle s(x) = x+1\)的前导项则等于\(\displaystyle x\)。

因此,我们需要乘以\(x\)以得到红利的前导项是\(\displaystyle \frac{ 4x^4}{ x} = 4x^3\),所以我们把这个项加到商中。另外,我们用它乘以除数,得到\(\displaystyle 4x^3 \cdot \left(x+1\right) = 4x^4+4x^3\),我们需要把它减去红利。

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}\]

第2步： 在这种情况下,当前余数\(\displaystyle -4x^3-2x^2+x-1\)的前导项是\(\displaystyle -4x^3\),而我们知道除数的前导项是\(\displaystyle x\)。

那么,我们需要乘以\(x\)来得到当前余数的前导项是\(\displaystyle \frac{ -4x^3}{ x} = -4x^2\),所以我们把这个项加到商中。另外,我们用它乘以除数,得到\(\displaystyle -4x^2 \cdot \left(x+1\right) = -4x^3-4x^2\),我们需要减去当前的余数。

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}\]

第 3 步： 在这种情况下,当前余数\(\displaystyle 2x^2+x-1\)的前导项是\(\displaystyle 2x^2\),而我们知道除数的前导项是\(\displaystyle x\)。

那么,我们需要乘以\(x\)来得到当前余数的前导项是\(\displaystyle \frac{ 2x^2}{ x} = 2x\),所以我们把这个项加到商中。另外,我们用它乘以除数,得到\(\displaystyle 2x \cdot \left(x+1\right) = 2x^2+2x\),我们需要减去当前的余数。

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle -2x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}\]

第4步： 在这种情况下,当前余数\(\displaystyle -x-1\)的前导项是\(\displaystyle -1x\),而我们知道除数的前导项是\(\displaystyle x\)。

那么,我们需要乘以\(x\)来得到当前余数的前导项是\(\displaystyle \frac{ -1x}{ x} = -1\),所以我们把这个项加到商中。另外,我们用它乘以除数,得到\(\displaystyle -1 \cdot \left(x+1\right) = -x-1\),我们需要减去当前的余数。

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -1&\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle -2x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle +1\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 0\\[0.8em] \end{array}\]

我们停止迭代,因为当前余数\(r(x) = 0\)的度数小于除数\(s(x) = x+1\)的度数。

结论。 因此,我们得出结论,对于给定的红利\(\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1\)和除数\(\displaystyle s(x) = x+1\),我们得到商是\(\displaystyle q(x) = 4x^3-4x^2+2x-1\),余数是\(\displaystyle r(x) = 0\),这意味着\(s(x)\)正好除掉\(p(x)\),我们得到

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{4x^4-2x^2+x-1}{x+1} = 4x^3-4x^2+2x-1\]