因素定理

这个计算器将帮助你使用因数定理,显示所有的步骤。你只需要提供一个有效的多项式,例如x^3-3x+4,和一个数字或数字表达式,如1/3。如果我们称这个多项式为p(x),数值为a,我们用因数定理来评估(x-a)是否是p(x)的因数。

一旦你提供了一个有效的多项式和一个数值,你所要做的就是点击 "计算",以获得所有显示的步骤。

请注意,x-a是p(x)的一个因子,这与x-a正好除以p(x)是一样的。

什么是因子定理？

多项式因式分解的想法很简单：我们想知道一个多项式是否可以写成更小的多项式的乘法。例如,如果\(p(x)\)是一个多项式,而我们能够写成

\[ p(x) = q(x)(x-a)\]

对于某个多项式\(q(x)\),我们可以说\(x - a\)是一个 因素 的因子。因子定理指出,如果一个\(x - a\)是\(p(x)\)的因子,那么我们需要有\(p(a) = 0\),反之,如果\(p(a) = 0\),那么\(x - a\)是\(p(x)\)的一个因子。

因此,因数定理告诉我们,多项式的根和多项式的因数之间有一个至关重要的紧密联系,即\(a\)是多项式的根,当且仅当\(x - a\)是\(p(x)\)的一个因数。因此,要找到一个多项式的根,我们需要找到它的因子。

如何使用因数定理来分解多项式？

有相当多的不同方法,但最常见的是。

• 步骤1： 从一个多项式p(x)开始。确保它被尽可能地简化。
• 第2步： 如果p(x)的度数是2或更小,那么有直接的公式可以得到根。对于2度,如果根是r1和r2,则多项式可被分解为p(x)=a(x-r1)(x-r2),其中a是前导项
• 第 3 步： 对于3级或更高等级,尝试猜测一个根,或者最好先使用 有理根定理 找到尽可能多的有理根
• 第4步： 如果上一步没有产生任何根,那么就停止。你用基本的方法也无能为力,很可能你需要一个数字近似法
• 第 5 步： 如果你在前面的步骤中找到了任何单根,那么根据因数定理,条款x-r（其中r是一个根）必须是因数。所以我们把p(x)除以所有相应的因子。这将导致一个多项式,它的度数已经减少到与前面步骤中发现的根的数量一样多。将得到的多项式称为p(x)
• 第6步。 对新的多项式p(x)再次应用所有的步骤,直到迭代停止。

实际上,3度和4度的多项式的根有准确的公式,但这些公式并不太方便使用,所以在基础代数课程中一般不涉及。

如何将因数定理和提醒定理联系起来

因子定理与以下内容密切相关 剩余定理 .这是因为从欧几里得分解中得到的,当 多项式的除法 \(p(x)\)和\(s(x)\),我们得到有多项式\(q(x)\)和\(r(x)\),以便

\[p(x) = s(x) q(x) + r(x) \]

与\(deg(r(x)) < deg(s(x))\)。因此,特别是当\(s(x) = x-a\),具有1度时,我们有

\[p(x) = s(x) (x-a) + r(x) \]

在这种情况下,\(r(x)\)必须有0度（因为它必须小于s的度数,即1）,所以\(r(x) = r\)是一个常数。那么

\[p(x) = s(x) (x-a) + r \]

并将\(x = a\)插入上述方程中,可以得出。

\[p(a) = s(a) (a-a) + r \Rightarrow p(a) = r\]

因此,余数定理表明,如果\(a\)是一个根,那么\(p(a) = 0\),所以余数也是\(r = 0\)。

成功的提示

因子定理是一个很好的寻找多项式根的方法,并告诉我们根可以直接变成因子。这可能会导致你对表达式进行评估,对于这一点,有时在使用的过程中会更方便。 合成替代物 ,而不是简单地插入一个做计算。

避免犯一些错误,比如试图想出一个寻找因数的 "公式"。寻找因数与寻找根在本质上是一样的,这涉及到能够有效地 评估多项式 在给定的值上。

例子。因子定理

\(x - 1\)是\(p(x) = 3x^3 - x^2 + 2x - 1\)的一个因素吗？

解决方案： 我们提供了以下多项式。\(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\), 我们需要找出对于给定的点\(\displaystyle x = 1\),\(\displaystyle x - 1\)是否是\(p(x)\)的因子.

为了做到这一点,我们将使用合成替换法来评估\(\displaystyle p(1) = 0\)是否是。

为了进行合成替代,我们需要对...进行合成除法。\(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\)和除数\(\displaystyle s = x-1\)的合成除法,并找出余数。

请注意,红利的度数是\(\displaystyle deg(p) = 3\),而除数的度数是\(\displaystyle deg(s)) = 1\)。

步骤1： 由于除数的度数为1,我们可以使用合成除法的方法。通过求解\(\displaystyle s(x) = x-1 = 0\),我们直接发现要放在除法框中的数字是。\(\displaystyle 1\)。

\[\begin{array}{c|ccc} 1 & 3 & -1 & 2 & -1 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

第2步： 现在我们直接将前导项\(3\)传递给结果行。

\[\begin{array}{c|ccc} 1 & 3 & -1 & 2 & -1 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &3&&& \end{array}\]

第 3 步： 用除法框中的项乘以第1列中的结果,我们得到。\(1 \cdot \left(3\right) = 3\),这个结果被插入结果行第1列。

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline&3&&&\end{array}\]

第4步： 现在将第2列的数值相加,我们得到。\( -1+3 = 2\),这个结果被插入到结果行第2列。

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline& 3 & 2 & \end{array}\]

第 5 步： 用除法框中的项乘以第2列中的结果,我们得到。\(1 \cdot \left(2\right) = 2\),这个结果被插入结果行第2列。

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & \end{array}\]

第6步。 现在将第3列的数值相加,我们得到。\( 2+2 = 4\),这个结果被插入到结果行第3列。

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4\end{array}\]

第7步。 用除法框中的项乘以第3列中的结果,我们得到。\(1 \cdot \left(4\right) = 4\),这个结果被插入结果行第3列。

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2 & 4\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4\end{array}\]

第8步。 现在将第4列的数值相加,我们得到。\( -1+4 = 3\),这个结果被插入到结果行第4列。

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2 & 4\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4 & 3\end{array}\]

这就结束了这次计算,因为我们已经得出了最后一列的结果,其中包含余数。

结论。 因此,我们得出结论,对于给定的红利\(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\)和除数\(\displaystyle s(x) = x-1\),我们得到的余数是\(\displaystyle r(x) = 3\),所以我们得出结论,\(\displaystyle p\left(1\right) = 3 \ne 0\)。

因此,我们得出结论,\(\displaystyle x - 1\)不是\(p(x)\)的因素。

例子。更多因数定理的例子

对于多项式：\(p(x) = 3x^3 + x^3 - 15x + 4\),\(p(1/3)\)是什么,在x-1/3是p(x)的一个因子方面意味着什么？

解决方案： 在这种情况下,我们有。\(\displaystyle p(x) = 3x^3+x^3-15x+4\),而给定的点是\(\displaystyle x = \frac{1}{3}\)。我们需要找出\(\displaystyle x - \frac{1}{3}\)是否是\(p(x)\)的因子。

如同前面的例子,合成替代将被用来评估是否\(\displaystyle p(\frac{1}{3}) = 0\)。

最初的步骤。 在这种情况下,我们首先需要简化红利\(\displaystyle P(x) = 3x^3+x^3-15x+4\),为了做到这一点,我们进行以下简化步骤。

现在,我们对......进行合成除法。\(\displaystyle p(x) = 4x^3-15x+4\),除数为\(\displaystyle s = x-\frac{1}{3}\),我们需要找到余数。

步骤1： 由于除数的度数为1,我们可以使用合成除法的方法。通过求解\(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3} = 0\),我们直接发现要放在除法框中的数字是。\(\displaystyle \frac{1}{3}\)。

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

第2步： 现在我们直接将前导项\(4\)传递给结果行。

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &4&&& \end{array}\]

第 3 步： 用除法框中的项乘以第1列的结果,我们发现。\(\frac{1}{3} \cdot \left(4\right) = \frac{4}{3}\),这个结果被插入到结果行第1列。

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \\[0.6em]\hline&4&&&\end{array}\]

第4步： 现在将第2列的数值相加,我们发现。\( 0+\frac{4}{3} = \frac{4}{3}\),这个结果被插入到结果行第2列。

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & \end{array}\]

第 5 步： 将除法框中的项乘以第2列的结果,我们发现。\(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{9}\),这个结果被插入结果行第2列。

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & \end{array}\]

第6步。 现在将第3列的数值相加,我们发现。\( -15+\frac{4}{9} = -\frac{131}{9}\),这个结果被插入到结果行第3列。

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9}\end{array}\]

第7步。 将除法框中的项乘以第3列的结果,我们发现。\(\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{131}{9}\right) = -\frac{131}{27}\),这个结果被插入到结果行第3列。

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9} & -\frac{131}{27}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9}\end{array}\]

第8步。 现在将第4列的数值相加,我们发现。\( 4-\frac{131}{27} = -\frac{23}{27}\),这个结果被插入到结果行第4列。

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9} & -\frac{131}{27}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9} & -\frac{23}{27}\end{array}\]

这就结束了这次计算,因为我们已经得出了最后一列的结果,其中包含余数。

结论。 因此,经过简化,我们发现当除以\(\displaystyle p(x) = 4x^3-15x+4\)和除数\(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3}\)时,我们得到的余数是\(\displaystyle r(x) = -\frac{23}{27}\),所以然后我们得出结论：\(\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{23}{27} \ne 0\)。

因此,我们得出结论,\(\displaystyle x - \frac{1}{3}\)不是\(p(x)\)的因素。

例子。关于因子定理的更多信息

\(x - 2\)是\(p(x) = 2x^4 - x^3 + x - 2\)的一个因素吗？

解决方案： 在这个例子中,我们有。\(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\),所以我们需要找到\(\displaystyle x = 2\)是否是多项式的根,以便评估\(\displaystyle x - 2\)是否是\(p(x)\)的因子。

为了做到这一点,我们将使用合成替换法来评估\(\displaystyle p(2) = 0\)是否是。

将对.进行合成除法。\(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\)和\(\displaystyle s = x-2\),我们需要找到除法的剩余部分。

步骤1： 由于除数的度数为1,我们可以使用合成除法的方法。通过求解\(\displaystyle s(x) = x-2 = 0\),我们直接发现要放在除法框中的数字是。\(\displaystyle 2\)。

\[\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

第2步： 现在我们直接将前导项\(2\)传递给结果行。

\[\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &2&&&& \end{array}\]

第 3 步： 用除法框中的项乘以第1列的结果,我们发现。\(2 \cdot \left(2\right) = 4\),这个结果被插入到结果行第1列。

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & & \\[0.6em]\hline&2&&&&\end{array}\]

第4步： 现在将第2列的数值相加,我们发现。\( -1+4 = 3\),这个结果被插入到结果行第2列。

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & & \end{array}\]

第 5 步： 将除法框中的项乘以第2列的结果,我们发现。\(2 \cdot \left(3\right) = 6\),这个结果被插入结果行第2列。

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & & \end{array}\]

第6步。 现在将第3列的数值相加,我们发现。\( 0+6 = 6\),这个结果被插入到结果行第3列。

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & \end{array}\]

第7步。 将除法框中的项乘以第3列的结果,我们发现。\(2 \cdot \left(6\right) = 12\),这个结果被插入到结果行第3列。

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & \end{array}\]

第8步。 现在将第4列的数值相加,我们发现。\( 1+12 = 13\),这个结果被插入到结果行第4列。

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13\end{array}\]

第9步。 用除法框中的项乘以第4列的结果,我们发现。\(2 \cdot \left(13\right) = 26\),这个结果被插入到结果行第4列。

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12 & 26\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13\end{array}\]

第10步。 现在将第5列的数值相加,我们发现。\( -2+26 = 24\),这个结果被插入到结果行第5列。

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12 & 26\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13 & 24\end{array}\]

并且我们停止除法,因为余数的度数为0。

结论。 因此,我们得出结论,对于给定的红利\(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\)和除数\(\displaystyle s(x) = x-2\),我们得到的余数是\(\displaystyle r(x) = 24\),所以我们得出结论,\(\displaystyle p\left(2\right) = 24 \ne 0\)。

因此,我们得出结论,\(\displaystyle x - 2\)不是\(p(x)\)的因素。

更多多项式计算器

多项式的重要性怎么强调都不为过,因为它们是代数中最重要的对象之一。 多项式计算 在数学和数学以外的许多应用中都非常重要。

多项式带来了解决多项式方程的主要问题,这些方程是代数中最重要的方程之一,虽然不一定容易解决,而且事实上,对于更高的度数,也没有真正的公式来获得这些解。

寻找根包括使用 有理零点定理 找到简单的解决方案,使用 多项式除法 将该方程简化为低度方程,方法是使用 长期分工 或者 合成部 ,然后不断重复,直到我们找到所有的根。虽然这些并不总是可能的,因为可能存在非有理的根和复杂的根。