求解器代数

合成替代物

指示： 使用这个合成替代计算器, 它显示了所有的计算步骤.请在下面的表格中输入一个多项式P(x)和一个你要评估的多项式的值x.

合成替代物计算器

这个计算器可以帮助你在一个给定的点\(p(x)\)上评估一个多项式\(x = a\)的过程。为了使计算器运行,你需要提供一个有效的任意阶数的多项式,以及一个有效的数字表达式。

例如,你可能想在多项式x^5 + 10x^3 - 2x - 12处评估一个点,而你想评估的点是1/3。

多项式不一定要简化,只要是有效的多项式即可。例如,你可以输入x^5 + 10x^3 - 2x - x + 3 - 1/3,计算器将首先简化多项式 ,然后再进行 合成替代物 .

一旦你提供了一个有效的多项式和一个数字表达式,你可以点击 "计算",以获得所显示的过程步骤,其中包括应用合适的合成部 ..

为什么使用合成替代法？

合成替换只是在给定的多项式上评估一个值的一种方法。也就是说,你有一个值\(x = a\),和一个多项式\(p(x)\),你想在给定的值上评估多项式,所以你想得到\(p(a)\)的值。

现在的问题是,为什么不简单地将x=a的值插入p(x)中？例如,对于多项式\(p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12\)和数值\(x = \displaystyle \frac{1}{3}\),我们需要计算的是

\[\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = \displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^5 + 10\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 12 \]

虽然可以做到,但上面的计算感觉,嗯嗯,至少不能说是诱人。那么,有没有更好,更容易的方法通过多项式\(p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12\)来评估\(x = \displaystyle \frac{1}{3}\)呢？你打赌有吗？

事实证明,凭借着 剩余定理 当你有一个多项式\(p(x)\),你用它除以\(x-a\),那么它的余数就等于\(p(a)\)。

很神奇,对吗？所以,你需要做的就是把多项式\(p(x)\),用\(x-a\)做多项式除法,使用合成部 (你可以用长除法也是如此,但它是一个更麻烦的问题)

使用合成替代法的步骤

步骤1： 确定你要处理的多项式p(x),以及你要评估的多项式的值x=a
第2步： 如果多项式的度数为零,那么多项式就是常数,p(a)也是该常数。
第 3 步： 假设该多项式有1度或以上。对红利p(x)和除数x-a应用合成除法.
第4步： 一旦你完成了,看看最后一列,你会发现数字余数。然后你就会发现,p(a)等于这个值

所以,我们可以看到, 评估多项式与多项式除法密切相关,而这正是余数定理的内容。

合成替代的应用

正如我们之前提到的,很明显,我们可以用计算器来明确计算\(\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^5 + 10\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 12\),但这显然是计算成本高的。

在工程和其他应用中,很明显,我们希望使用尽可能有效的程序,合成替代的过程被简化为少数简单的乘法和加法,这比需要的指数计算要 "便宜 "得多。

如何知道何时使用合成评价或简单插入多项式？

步骤1： 确定你要处理的多项式p(x),以及你希望评估多项式的x=a的值
第2步： 看一下p(x)的度数,对于0或1的度数,你将简化地插入值
第 3 步： 对于2度及以上的度数,使用合成评价更方便。

使用合成替代的便利性变得很明显,因为多项式的度数增加,特别是对于4级和更高的学位。

成功的提示

试着按照系统的方法,使用通常的表格方法,以便掌握它。避免在符号和加行时出现错误,对于无误地得出最后的余数至关重要。

例子。使用合成替代法

考虑多项式：\(p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12\),在\(x = \frac{1}{3}\)点上评估它

解决方案：已经提供了以下多项式。\(\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12\),需要在\(\displaystyle x = \frac{1}{3}\)点用合成替换法进行评估。

为了进行合成替代,我们需要对...进行合成除法。\(\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12\)和除数\(\displaystyle s = x-\frac{1}{3}\)的合成除法,并找出余数。

请注意,红利的度数是\(\displaystyle deg(p) = 5\),而除数的度数是\(\displaystyle deg(s)) = 1\)。

步骤1： 由于除数的度数为1,我们可以使用合成除法的方法。通过求解\(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3} = 0\),我们直接发现要放在除法框中的数字是。\(\displaystyle \frac{1}{3}\)。

\[\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & & \end{array}\]

第2步： 现在我们直接将前导项\(1\)传递给结果行。

\[\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline &1&&&&& \end{array}\]

第 3 步： 用除法框中的项乘以第1列中的结果,我们得到。\(\frac{1}{3} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{3}\),这个结果被插入结果行第1列。

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & & & \\[0.6em]\hline&1&&&&&\end{array}\]

第4步： 现在将第2列的数值相加,我们得到。\( 0+\frac{1}{3} = \frac{1}{3}\),这个结果被插入到结果行第2列。

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & & & \end{array}\]

第 5 步： 用除法框中的项乘以第2列中的结果,我们得到。\(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9}\),这个结果被插入结果行第2列。

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & & & \end{array}\]

第6步。 现在将第3列的数值相加,我们得到。\( 10+\frac{1}{9} = \frac{91}{9}\),这个结果被插入到结果行第3列。

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & & \end{array}\]

第7步。 用除法框中的项乘以第3列中的结果,我们得到。\(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{91}{9}\right) = \frac{91}{27}\),这个结果被插入结果行第3列。

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & & \end{array}\]

第8步。 现在将第4列的数值相加,我们得到。\( 0+\frac{91}{27} = \frac{91}{27}\),这个结果被插入到结果行第4列。

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & \end{array}\]

第9步。 用除法框中的项乘以第4列中的结果,我们得到。\(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{91}{27}\right) = \frac{91}{81}\),这个结果被插入结果行第4列。

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & \end{array}\]

第10步。 现在将第5列的数值相加,我们得到。\( -2+\frac{91}{81} = -\frac{71}{81}\),这个结果被插入到结果行第5列。

第11步。 用除法框中的项乘以第5列中的结果,我们得到。\(\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{71}{81}\right) = -\frac{71}{243}\),这个结果被插入结果行第5列。

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81} & -\frac{71}{243}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81}\end{array}\]

第12步。 现在将第6列的数值相加,我们得到。\( -12-\frac{71}{243} = -\frac{2987}{243}\),这个结果被插入到结果行第6列。

这就结束了这次计算,因为我们已经得出了最后一列的结果,其中包含余数。

结论。 因此,我们得出结论,对于给定的红利\(\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12\)和除数\(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3}\),我们得到的余数是\(\displaystyle r(x) = -\frac{2987}{243}\),所以我们得出结论,\(\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{2987}{243}\)。

例子。合成替代的应用

x=1的值是多项式的根：\(p(x) = x^4 - x^3 + 4x + 3\)吗？

解决方案：可以像前面的例子一样应用合成替代法,但在x=1这样的简单数值的情况下,我们只是可以简单地把x=1插进去,计算就非常简单了。

\[p(1) = 1^4 - 1^3 + 4\cdot 1 + 3 = 1 - 1 + 4 + 3 = 7 \ne 0\]

那么x=1就不是根。

例子。更多的合成替代物

评估\(p(x) = x^4 - 2x^3 + 4x + 3\)的p（1/2）。

解决方案：现在我们有\(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3\),要在\(\displaystyle x = \frac{1}{2}\)点用合成替换法进行评估。

所以我们使用合成除法:\(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3\)和除数\(\displaystyle s = x-\frac{1}{2}\),目标是找到余数。

步骤1： 由于除数的度数为1,我们可以使用合成除法的方法。通过求解\(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0\),我们直接发现要放在除法框中的数字是。\(\displaystyle \frac{1}{2}\)。

\[\begin{array}{c|cccc} \frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

第2步： 现在我们直接将前导项\(1\)传递给结果行。

\[\begin{array}{c|cccc} \frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &1&&&& \end{array}\]

第 3 步： 用除法框中的项乘以第1列的结果,我们发现。\(\frac{1}{2} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{2}\),这个结果被插入到结果行第1列。

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & & \\[0.6em]\hline&1&&&&\end{array}\]

第4步： 现在将第2列的数值相加,我们发现。\( -2+\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}\),这个结果被插入到结果行第2列。

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & & \end{array}\]

第 5 步： 将除法框中的项乘以第2列的结果,我们发现。\(\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{3}{4}\),这个结果被插入结果行第2列。

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & & \end{array}\]

第6步。 现在将第3列的数值相加,我们发现。\( 0-\frac{3}{4} = -\frac{3}{4}\),这个结果被插入到结果行第3列。

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \end{array}\]

第7步。 将除法框中的项乘以第3列的结果,我们发现。\(\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{8}\),这个结果被插入到结果行第3列。

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \end{array}\]

第8步。 现在将第4列的数值相加,我们发现。\( 4-\frac{3}{8} = \frac{29}{8}\),这个结果被插入到结果行第4列。

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8}\end{array}\]

第9步。 用除法框中的项乘以第4列的结果,我们发现。\(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{29}{8}\right) = \frac{29}{16}\),这个结果被插入到结果行第4列。

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8} & \frac{29}{16}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8}\end{array}\]

第10步。 现在将第5列的数值相加,我们发现。\( 3+\frac{29}{16} = \frac{77}{16}\),这个结果被插入到结果行第5列。

结论。 因此,我们得出结论,对于给定的红利\(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3\)和除数\(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2}\),我们得到的余数等于\(\displaystyle r(x) = \frac{77}{16}\),所以我们得出结论,\(\displaystyle p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{77}{16}\)。