求解器代数

多项式零点

指示： 用计算器找出你在下面的表格中提供的任何多项式的零点,显示这个过程的所有步骤。

多项式零点

这个计算器将允许你计算你提供的任何有效多项式的根。这个多项式可以是任何1度或以上的多项式。

例如,你可以提供一个立方体多项式,如p(x)=x^3 + 2x^2 - x + 1,或者你可以提供一个非整数系数的多项式,如p(x)=x^3 - 13/12 x^2 + 3/8 x - 1/24。

一旦你向计算器提供了一个你想计算其根的有效多项式,你可以点击 "计算 "按钮,你会看到一个逐步运行的过程。

需要提到的是,这个过程只涉及用于寻找根的基本方法,其中包括有理零点定理和多项式除法 ,以及使用二次方程在适当的时候。

没有一般的方法可以找到所有可能的多项式的所有根。程度 5以上,所以这个计算器只能找到用这些提到的基本方法可以得到的根。

什么是多项式的根？

给定一个多项式函数 \(p(x)\),我们说\(x\)是多项式的一个根,如果。

\[\displaystyle p(x) = 0 \]

通俗地说,多项式的根是多项式函数\(p(x)\)与x轴的交叉点。这是一个很好的表示方法,但它并不完全精确,因为有些根可能是复数。因此,实数根将是\(p(x)\)的一个点。

请注意,多项式的根也被称为多项式的零点。

寻找多项式的零点的步骤是什么？

步骤1： 确定你要处理的表达式。确保它是一个多项式,并尽可能地简化。
第2步： 我们将使用多项式保理找到其根源的方法
第 3 步： 开始尝试用以下方法寻找初等（有理）根有理零点定理 ,并使用多项式除法以减少原始多项式,如果可能的话
第4步： 如果步骤3奏效,你可以减少原始多项式,重复前面的步骤,尝试将减少后的多项式作为因子

这通常是不容易的,而且可能是计算密集型的,也不能保证成功,但如果我们被限制在使用基本方法,这是最好的可能的方法。

因式分解是寻找根的唯一方法吗？

并非如此,但事情都是手到擒来。ǞǞǞ 因素定理说明\(x - a\)是多项式\(p(x)\)的因子,当且仅当\(p(a) = 0\)。因此,换句话说,根和因子是密切相关的。

现在,对于2度的多项式（这就是。二次多项式 ),我们可以使用一个明确的公式,这就是众所周知的二次方程 .

同样的情况也发生在3度和4度,尽管这些公式远远不是基本的。但是对于5度和更高的度数,没有这样的公式,这是伽罗瓦和阿贝尔证明的一个关键结果。因此,没有希望找到一个 "一般公式",这就是为什么使用一个更宽松的多项式分解办法。

要避免的常见错误

很多时候,学生们会因为找不到一个给定的根而感到沮丧。多项式函数例如\(p(x) = x^3+2 x^2-x+1 \),但他们需要面对的事实是,并非所有的多项式都能用基本工具来解决。

诚然,有一个解\(x^3+2 x^2-x+1 = 0 \)的公式,但它不是初级的,也不期望学生知道它。

成功的提示

始终尝试对你的策略做一个心理暗示。记下你的多项式,它的度数,它的前导系数和常数系数。

绘制多项式如果可以的话,来了解一下它的行为。有什么明显的因式分解可以使用吗？使用它们。永远记住因子=根。

例子:多项式的零点

.的零数是多少？\(x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\)？

解决方案：在这个例子中,我们得到了以下多项式。\(\displaystyle p(x) = x^5+x^4-x^3+x^2-x+1\).我们将使用因式分解的方法来寻找根。

不需要简化。 所提供的多项式表达式已经被简化了,所以没有什么可进一步简化的。

可以看出,所提供的多项式的度数是\(\displaystyle deg(p) = 5\)。而且,它的前导系数是\(\displaystyle a_{5} = 1\),它的常数系数等于\(\displaystyle a_0 = 1\)。

现在我们搜索除以前导系数\(a_{5}\)和常数系数\(a_0\)的整数,用来寻找有理数的候选数。

▹ \(a_{5} = 1\)的分割线是。\(\pm 1\)。

▹ \(a_0 = 1\)的分割线是。\(\pm 1\)。

因此,将常数项\(a_0 = 1\)的所有因子除以\(a_{5} = 1\)的所有除数,我们得到以下潜在根的清单。

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

现在,必须对所有潜在的解决方案进行评估。测试每个候选方案得到的结果如下。

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:& & \displaystyle \left(-1\right)^5+\left(-1\right)^4-\left(-1\right)^3+\left(-1\right)^2-\left(-1\right)+1 & = & \displaystyle 4 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:& & \displaystyle 1^5+1^4-1^3+1^2-1+1 & = & \displaystyle 2 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

由于通过人工检查没有发现有理根,因此不可能使用基本技术进行进一步简化,这一过程就结束了。

结论 :结果,没有得到简化,也没有通过基本技术确定多项式的根数

例子:计算二次函数的根部

计算出以下的解决方案。\(3x^2 - 2x - 4 = 0\)。

解决方案：我们需要解决给定的一元二次方程\(\displaystyle 3x^2-2x-4=0\)。

形式为\(a x^2 + bx + c = 0\)的一元二次方程的根是用以下公式计算的。

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

在这种情况下,需要解决的方程是\(\displaystyle 3x^2-2x-4 = 0\),表明相应的系数是。

\[a = 3\] \[b = -2\] \[c = -4\]

首先,我们将通过计算判别式来确定根的性质。判别式的计算方法如下。

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -2\right)^2 - 4 \cdot \left(3\right)\cdot \left(-4\right) = 52\]

因为在这种情况下,我们得到的判别式是\(\Delta = \displaystyle 52 > 0\),它是正数,所以,方程有两个不同的实数根。

由此我们可以得到。

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{\left(-2\right)^2-4\left(3\right)\left(-4\right)}}{2\cdot 3} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{52}}{6}\]

因此,我们发现。

\[ x_1 = \frac{2}{6}-\frac{1}{6}\sqrt{52}=\frac{2}{6}-\frac{1}{6}\cdot 2\sqrt{13}=\frac{2}{6}-\frac{1}{3}\sqrt{13}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{13} \] \[x_2 = \frac{2}{6}+\frac{1}{6}\sqrt{52}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}\cdot 2\sqrt{13}=\frac{2}{6}+\frac{1}{3}\sqrt{13}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{13}\]

我们发现方程\( \displaystyle 3x^2-2x-4 = 0 \),有两个实根,那么。

\[\displaystyle 3x^2-2x-4 = 3 \left(x+\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\]

因此,原多项式被分解为\(\displaystyle p(x) = 3x^2-2x-4 = 3 \left(x+\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right) \),这就完成了因式分解。

结论 :因此,我们要找的因式分解是这样的：。

\[\displaystyle p(x) = 3x^2-2x-4 = 3 \left(x+\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\]

找到的根是\(-\frac{1}{3}\sqrt{13}+\frac{1}{3}\)和\(\frac{1}{3}\sqrt{13}+\frac{1}{3}\)。

例子。多项式的零点

计算下列多项式的零点。\(p(x)= x^3 - \frac{13}{12} x^2 + \frac{3}{8} x - \frac{1}{24} \).

解决方案：最后,在这个例子中,我们有。\(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24}\)。

第一步。 所提供的多项式表达式是不可还原的,所以没有什么可简化的。我们可以继续将其分解。

请注意,所给多项式的度数为\(\displaystyle deg(p) = 3\),其前导系数为\(\displaystyle a_{3} = 1\),其常数系数为\(\displaystyle a_0 = -\frac{1}{24}\)。

有理根 :我们将首先尝试用有理零点定理找到简单的有理根。

下一个任务是找到分割前导系数\(a_{3}\)和常数系数\(a_0\)的整数,这些整数将被用来构建我们的候选数,成为多项式方程的零点。

请注意。 在这种情况下,我们观察到,为了同时拥有常数和领先系数,我们需要用\(24\)来放大方程的两边。等效的方程是：

\[24x^3-26x^2+9x-1 = 0\]

▹ \(a_{3} = 24\)的分割线是。\(\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 8,\pm 12,\pm 24\)。

▹ \(a_0 = -1\)的分割线是。\(\pm 1\)。

因此,用常数系数\(a_0 = -1\)的每个除数除以前导系数\(a_{3} = 24\),我们发现以下候选根的清单。

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 2},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 1}{ 4},\pm \frac{ 1}{ 6},\pm \frac{ 1}{ 8},\pm \frac{ 1}{ 12},\pm \frac{ 1}{ 24}\]

现在,需要对所有的候选人进行测试,看他们是否是一个解决方案。以下是测试每个候选人得到的结果。

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:& & \displaystyle 24\cdot \left(-1\right)^3-26\cdot \left(-1\right)^2+9\cdot \left(-1\right)-1 & = & \displaystyle -60 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:& & \displaystyle 24\cdot 1^3-26\cdot 1^2+9\cdot 1-1 & = & \displaystyle 6 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{2} &:& & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{2}\right)^3-26\left(\frac{-1}{2}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 2}\right)-1 & = & \displaystyle -15 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{2} &:& & \displaystyle 24\left(\frac{1}{2}\right)^3-26\left(\frac{1}{2}\right)^2+9\cdot \frac{1}{2}-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:& & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{3}\right)^3-26\left(\frac{-1}{3}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 3}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{70}{9} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:& & \displaystyle 24\left(\frac{1}{3}\right)^3-26\left(\frac{1}{3}\right)^2+9\cdot \frac{1}{3}-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{4} &:& & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{4}\right)^3-26\left(\frac{-1}{4}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 4}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{21}{4} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{4} &:& & \displaystyle 24\left(\frac{1}{4}\right)^3-26\left(\frac{1}{4}\right)^2+9\cdot \frac{1}{4}-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{6} &:& & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{6}\right)^3-26\left(\frac{-1}{6}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 6}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{10}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{6} &:& & \displaystyle 24\left(\frac{1}{6}\right)^3-26\left(\frac{1}{6}\right)^2+9\cdot \frac{1}{6}-1 & = & \displaystyle -\frac{1}{9} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{8} &:& & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{8}\right)^3-26\left(\frac{-1}{8}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 8}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{165}{64} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{8} &:& & \displaystyle 24\left(\frac{1}{8}\right)^3-26\left(\frac{1}{8}\right)^2+9\cdot \frac{1}{8}-1 & = & \displaystyle -\frac{15}{64} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{12} &:& & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{12}\right)^3-26\left(\frac{-1}{12}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 12}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{35}{18} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{12} &:& & \displaystyle 24\left(\frac{1}{12}\right)^3-26\left(\frac{1}{12}\right)^2+9\cdot \frac{1}{12}-1 & = & \displaystyle -\frac{5}{12} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{24} &:& & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{24}\right)^3-26\left(\frac{-1}{24}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 24}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{91}{64} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{24} &:& & \displaystyle 24\left(\frac{1}{24}\right)^3-26\left(\frac{1}{24}\right)^2+9\cdot \frac{1}{24}-1 & = & \displaystyle -\frac{385}{576} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

但由于我们已经在有理的候选者中找到了所有需要的根,我们发现\(\displaystyle x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24} = \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right) \),所以,那么。

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24} = \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right) \]

这就完成了因式分解过程。

结果 :因此,最终的因式分解是。

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24} = \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right)\]

因此,找到的根是\(\frac{1}{2}\),\(\frac{1}{3}\)和\(\frac{1}{4}\)。