求解器 代数

理性零点定理计算器

指示： 使用这个有理零点定理计算器,尝试为你提供的任何多项式方程寻找有理根,显示所有的步骤。请在下面的表格中输入一个多项式方程。

输入一个多项式方程（例如：2x^3 + 5x + 14 = 0,等等）。

关于 "有理零点定理 "的更多信息

使用这个计算器可以将有理零点定理应用于你提供的任何有效的多项式方程,并显示所有的步骤。你只需要提供一个有效的多项式方程,如4x^3 + 4x^2 + 12 = 0,或者是一个没有完全简化的方程,如x^3 + 2x = 3x^2 - 2/3,因为计算器会负责其简化。

当你输入完你想找有理根的多项式方程后,你需要做的是点击 "计算",所有的计算步骤都会提供给你。 按钮,你会得到所有的计算步骤。

请注意,"有理数零定理 "允许你测试以下的有理数 可以是 解决方案,但他们不一定是根。你只是在测试潜在的候选人。

有理零点定理不是用来寻找多项式方程的所有根的工具。它的作用是声称,如果有一个 理根 到这些多项式方程,那么它一定是在这套建议的候选人中,类似于一个 "短名单"。

理性零点定理计算器

如何使用有理零点定理？

有理零点定理得到一个多项式方程,它将所有的项放在方程的一边。然后我们找到乘以最高幂的项的系数的整数除数,我们称之为\(\{b_1, ...,, b_i\}\),同时找到最高幂的项的常数系数的整数除数,我们称之为\(\{a_1, ...,, a_j\}\)。

然后,我们通过使用\(\pm\frac{a_k}{b_l}\)作为候选根来寻找潜在根,也就是说,它们是通过对之前找到的相应整数除数的除法来构建的。

使用有理零点定理的步骤是什么？

  • 第1步 :确定你要处理的多项式方程,如果需要的话,将其简化,使之成为f(x)=a₀+a₁x+...+a的形式。 n x^n+ c
  • 第二步 :求a₀和a的所有整数（包括正数和负数）除数。 n
  • 第 3 步 :那么你需要计算a₀的每一个除数,并将其除以a的每一个除数。 n .这是你的理性候选人名单
  • 第4步 :你需要检查上述候选名单中的每一个元素,并检查它们是否是所给多项式方程的根。

同样,这也不一定能找到给定的多项式方程的所有根。它所做的只是找到一个候选的有理根列表,如果有理根的话,这个列表就包含有理根。但也可能没有任何有理根。

对于2阶多项式方程的特殊情况,你可以直接使用这个 二次方程求解器 这将为你提供所有的步骤。

寻找所有可能的有理数零点

所以,这个计算器所做的只是,找到所有可能的有理数零的列表,这是一个很好的找根的起点,因为然后你用多项式除法来继续解方程。

寻找多项式函数的零点

寻找多项式函数的零点是一项困难的任务,尤其是当 多项式程度 是大的。一般来说,一个n阶的多项式会有n个根,正如公式所说的那样 代数的基本定理 ,而这些根可能是真实的,重复真实的,或者是复杂的。这使得搜索更加困难.

首先尝试找到简单的根（如整数根和有理根）是最好的策略,因为如果你找到了简单的根,你就可以利用因式分解定理来降低你所处理的多项式的度数。

合理的零点测试

尽管你可以用专门的软件得到多项式方程的数字根,但使用有理数零点测试是一个很好的练习,可以先尝试找到整数和有理数的解。这是一个聪明的策略,给你一个列表,如果有的话,将包含方程的有理根。

理性零点定理计算器

例子。有理零点定理的应用

使用有理数的零点测试来寻找有理数的根。\(3 x^4 + 3x^3 - x + 14 = 0\)的有理根

解决方案： >已经提供了以下多项式方程。

\[\displaystyle 3 x^4 + 3x^3 - x + 14 = 0\]

我们需要使用有理零点定理,以找到上述方程的潜在有理根。

阶\(4\)的多项式方程的所有项都已经在一边,而且已经被简化了,所以不需要进一步简化。

现在,我们需要找到分割前导系数\(a_{4}\)和常数系数\(a_0\)的整数,这些整数将被用来构建我们的候选数,成为多项式方程的零点。

▹ \(a_{4} = 3\)的分割线是。\(\pm 1,\pm 3\)。

▹ \(a_0 = 14\)的分割线是。\(\pm 1,\pm 2,\pm 7,\pm 14\)。

因此,用常数系数\(a_0 = 14\)的每个除数除以前导系数\(a_{4} = 3\),我们发现以下候选根的清单。

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 3},\pm \frac{ 7}{ 1},\pm \frac{ 7}{ 3},\pm \frac{ 14}{ 1},\pm \frac{ 14}{ 3}\]

现在,需要对所有的候选人进行测试,看他们是否是一个解决方案。以下是测试每个候选人得到的结果。

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-1\right)^4+3\cdot\left(-1\right)^3-\left(-1\right)+14 & = & \displaystyle 15 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(1\right)^4+3\cdot\left(1\right)^3-1+14 & = & \displaystyle 19 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^3+\frac{ 1}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{385}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{1}{3}^4+3\cdot\frac{1}{3}^3-\frac{1}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{373}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-2\right)^4+3\cdot\left(-2\right)^3-\left(-2\right)+14 & = & \displaystyle 40 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(2\right)^4+3\cdot\left(2\right)^3-2+14 & = & \displaystyle 84 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^3+\frac{ 2}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{388}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{2}{3}^4+3\cdot\frac{2}{3}^3-\frac{2}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{400}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -7 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-7\right)^4+3\cdot\left(-7\right)^3-\left(-7\right)+14 & = & \displaystyle 6195 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 7 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(7\right)^4+3\cdot\left(7\right)^3-7+14 & = & \displaystyle 8239 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{7}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{7}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{7}{3}\right)^3+\frac{ 7}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{1813}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{7}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{7}{3}^4+3\cdot\frac{7}{3}^3-\frac{7}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{3745}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -14 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-14\right)^4+3\cdot\left(-14\right)^3-\left(-14\right)+14 & = & \displaystyle 107044 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 14 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(14\right)^4+3\cdot\left(14\right)^3-14+14 & = & \displaystyle 123480 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{14}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{14}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{14}{3}\right)^3+\frac{ 14}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{30688}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{14}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{14}{3}^4+3\cdot\frac{14}{3}^3-\frac{14}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{46900}{27} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

结论。 因此,在这种情况下,没有一个候选者是根,因此,这种方法不允许我们找到任何合理的解决方案。

例子。有理零点定理的应用

方程:\(x^{10} - 4 = 0\)有任何有理根吗？

解决方案： 我们需要尝试找到理性的根源。

\[\displaystyle x^{10}-4=0\]

通过使用有理零点定理。

没有必要进一步简化,因为10阶的多项式方程已经有所有的项在一边。

我们现在必须确定分割前导系数\(a_{10}\)和常数系数\(a_0\)的整数,在此基础上我们将创建多项式方程的候选零点。

\(a_{10} = 1\)的分割线是：\(a_{10} = 1\)。\(\pm 1\)。

\(a_0 = -4\)的分割线是：\(a_0 = -4\)。\(\pm 1,\pm 2,\pm 4\)。

因此,用常数系数\(a_0 = -4\)的每个除数除以前导系数\(a_{10} = 1\),我们发现以下候选根的清单。

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 4}{ 1}\]

现在,需要对所有的候选人进行测试,看他们是否是一个解决方案。以下是测试每个候选人得到的结果。

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^{10}-4 & = & \displaystyle -3 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^{10}-4 & = & \displaystyle -3 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle \left(-2\right)^{10}-4 & = & \displaystyle 1020 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 2^{10}-4 & = & \displaystyle 1020 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -4 &:&    & \displaystyle \left(-4\right)^{10}-4 & = & \displaystyle 1048572 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 4 &:&    & \displaystyle 4^{10}-4 & = & \displaystyle 1048572 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

结论。 那么,没有一个候选者是根,因此,原多项式方程没有有理根。

例子。有理零点定理的应用

使用有理数的零点测试来寻找有理数的根。\( x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}=0\)的有理根

解决方案： 现在我们需要与之合作。

\[\displaystyle x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}=0\]

我们需要找到除以前导系数\(a_{3}\)和常数系数\(a_0\)的整数。

请注意。 在这种情况下,我们观察到,为了同时拥有常数和领先系数,我们需要用\(9\)来放大方程的两边。等效的方程是：

\[9x^3-24x^2+19x-4 = 0\]

▹ \(a_{3} = 9\)的分割线是。\(\pm 1,\pm 3,\pm 9\)。

▹ \(a_0 = -4\)的分割线是。\(\pm 1,\pm 2,\pm 4\)。

因此,用常数系数\(a_0 = -4\)的每个除数除以前导系数\(a_{3} = 9\),我们发现以下候选根的清单。

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 1}{ 9},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 3},\pm \frac{ 2}{ 9},\pm \frac{ 4}{ 1},\pm \frac{ 4}{ 3},\pm \frac{ 4}{ 9}\]

现在必须对所有的候选人进行测试,以确定他们是否是一个解决方案。在对每一个人进行测试后,得到以下结果。

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-1\right)^3-24\cdot\left(-1\right)^2+19\cdot\left(-1\right)-4 & = & \displaystyle -56 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(1\right)^3-24\cdot\left(1\right)^2+19\cdot\left(1\right)-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{40}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{1}{3}^3-24\cdot\frac{1}{3}^2+19\cdot\frac{1}{3}-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{520}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{1}{9}^3-24\cdot\frac{1}{9}^2+19\cdot\frac{1}{9}-4 & = & \displaystyle -\frac{176}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-2\right)^3-24\cdot\left(-2\right)^2+19\cdot\left(-2\right)-4 & = & \displaystyle -210 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(2\right)^3-24\cdot\left(2\right)^2+19\cdot\left(2\right)-4 & = & \displaystyle 10 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -30 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{2}{3}^3-24\cdot\frac{2}{3}^2+19\cdot\frac{2}{3}-4 & = & \displaystyle \frac{2}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{770}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{2}{9}^3-24\cdot\frac{2}{9}^2+19\cdot\frac{2}{9}-4 & = & \displaystyle -\frac{70}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -4 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-4\right)^3-24\cdot\left(-4\right)^2+19\cdot\left(-4\right)-4 & = & \displaystyle -1040 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 4 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(4\right)^3-24\cdot\left(4\right)^2+19\cdot\left(4\right)-4 & = & \displaystyle 264 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{4}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{280}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{4}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{4}{3}^3-24\cdot\frac{4}{3}^2+19\cdot\frac{4}{3}-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{4}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{1456}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{4}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{4}{9}^3-24\cdot\frac{4}{9}^2+19\cdot\frac{4}{9}-4 & = & \displaystyle \frac{40}{81} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

结论。 所以在这种情况下,在提议的候选人中,我们找到了有理根\(\displaystyle x = 1 \),\(\displaystyle x = \frac{1}{3} \)和\(\displaystyle x = \frac{4}{3} \),然后,术语\( \displaystyle \left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{4}{3}\right)\)分割了多项式表达\(\displaystyle x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}\)。

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与多项式打交道 是一项重要的技能,你可以从中大大受益。代数中的很多应用都会用到它,特别是与 二次方程的应用 .

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