多项式系数计算器

这个带步骤的因式分解计算器可以让你完全找到你提供的一个给定的多项式的因数,显示这个过程的所有步骤。

你提供的多项式需要是一个有效的,像p(x)=x^3-x+1这样简单的东西,或者它可以更复杂,系数是分数或任何有效的数字表达。

一旦你提供了一个有效的多项式,你就可以继续点击 "计算 "按钮,你将得到所有逐步运行的过程,需要将所提供的多项式完全分解,这个过程如果用手完成,可能相当费力,特别是当 多项式的度数 是高的。

绝对不能夸大知道如何分解多项式的重要性,因为它们是代数,微积分,金融和工程中许多应用的中心。

如何使多项式成为因子？

除了二次多项式之外,多项式的因式分解并不一定容易,而且在手工操作时有可能带来困难。你应该遵循一些步骤,以提高你的变化,至少找到一些因子

因素计算器的步骤

• 步骤1： 确定你正在处理的表达式,尽可能地简化它,并确保它是一个多项式。如果它不是一个多项式,那么就没有明确的方法可循。
• 第2步： 一旦你有一个简化的多项式,注意它的度数。如果它是二次函数（2度）,你可以用 二次方程 找到它的因素
• 第 3 步： 如果多项式的度数是3或更高,检查常数系数,如果它是0,这意味着你可以把x剔除,并降低剩下的多项式的度数。
• 第4步： 完成第4步后,你需要用有理零点定理来测试简单根的候选者。如果你找到任何有理根,这些都是(x-a)形式的因子(其中a是有理根),然后你用这些因子除以多项式,这样你就减少了你需要因子的多项式的程度
• 第 5 步： 重复前面的步骤,直到你有一个完整的因式分解,或者你不能做任何进一步的还原。

有一件事虽然是技术性的,但也需要提到：保理是在 "一个 "或 "多个 "的基础上进行的。 领域 ,它是一种代数结构类型。通常情况下,我们使用的场是实数的场。

如果我们使用实数领域的因子计算器,那么不是所有的因子都是\(x - a\)的形式,因为我们也可能有二次因子,它们在实数领域是不可还原的。例如,\(x^2 + x + 10\)不能被还原成实数线性因子,因为 二次方程 \(x^2 + x + 10 = 0\)有复杂的根基。

因此,在步骤3中,当处理一个二次函数时,如果它的根是复数,因子可能是它本身。

因素和根基

使用因式分解计算过程的方式基本上是,要么尝试利用某些对称性的不同类型的因式分解,要么通过寻找根。寻找对称性并不是一件确定的事情,因为它确实取决于可以找到的具体规律性,而这些规律性并不为所有多项式所共有。

通过检查或分组进行因式分解是常见的尝试,但这些需要特定的模式,而这些模式并不总是存在的。检查一个多项式,看看是否可以直接做一些事情,这是值得的,但是通过找根的方法进行因式分解的方法更加系统,而且会比检查方法在更多的情况下起作用。

要避免的常见错误

关键是要明白,多项式的因数与寻找其根密切相关,这都包含在 因素定理 .所以,知道如何分解因数依赖于你知道如何找到多项式的根的能力。

不会有一个公式,除非你处理的是二次函数。对于更高的度数,你有不同的选择：你可以使用上面描述的系统过程,或者你可以尝试猜测并尝试通过检查来做因式分解,或者尝试使用其他替代方法,如 通过分组进行保理 .

例子。多项式因数

因素完全。\(p(x) = x^5 - 3x^4 + 3x^3 - 3x^2 + 2x\)<

解决方案： 已经提供了以下多项式。\(\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x\),它需要在实数上被完全分解。

最初的步骤。 所提供的多项式表达式是不可还原的,所以没有什么可简化的。我们可以继续将其分解。

请注意,所给多项式的度数为\(\displaystyle deg(p) = 5\),其前导系数为\(\displaystyle a_{5} = 1\),其常数系数为\(\displaystyle a_0 = 0\)。

有理根的候选者 :由于\(p(x)\)中第一个非零系数的项是\(x\),我们可以把这个项剔除,得到

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x^4-3x^3+3x^2-3x+2 \right) \]

但括号内的项的度数大于2,所以没有基本公式来分解它。我们需要测试可能的有理根。

下一个任务是找到分割前导系数\(a_{4}\)和常数系数\(a_0\)的整数,这些整数将被用来构建我们的候选数,成为多项式方程的零点。

▹ \(a_{4} = 1\)的分割线是。\(\pm 1\)。

▹ \(a_0 = 2\)的分割线是。\(\pm 1,\pm 2\)。

因此,用常数系数\(a_0 = 2\)的每个除数除以前导系数\(a_{4} = 1\),我们发现以下候选根的清单。

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1}\]

现在,需要对所有的候选人进行测试,看他们是否是一个解决方案。以下是测试每个候选人得到的结果。

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^4-3\cdot \left(-1\right)^3+3\cdot \left(-1\right)^2-3\cdot \left(-1\right)+2 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^4-3\cdot 1^3+3\cdot 1^2-3\cdot 1+2 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle \left(-2\right)^4-3\cdot \left(-2\right)^3+3\cdot \left(-2\right)^2-3\cdot \left(-2\right)+2 & = & \displaystyle 60 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 2^4-3\cdot 2^3+3\cdot 2^2-3\cdot 2+2 & = & \displaystyle 0 \\\\ \end{array}\]

多项式除法 :由于我们在有理的候选者中没有足够的根,我们将把\(\displaystyle x^4-3x^3+3x^2-3x+2\)除以由有理根得出的因子的乘积,这就是\(\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-2\right) \)。

步骤1： 红利\(\displaystyle p(x) = x^4-3x^3+3x^2-3x+2\)的前导项是\(\displaystyle x^4\),而除数\(\displaystyle s(x) = x^2-3x+2\)的前导项则等于\(\displaystyle x^2\)。

因此,我们需要乘以\(x^2\)以得到红利的前导项是\(\displaystyle \frac{ x^4}{ x^2} = x^2\),所以我们把这个项加到商中。另外,我们用它乘以除数,得到\(\displaystyle x^2 \cdot \left(x^2-3x+2\right) = x^4-3x^3+2x^2\),我们需要把它减去红利。

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rccccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &&\\[0.3em] \hline x^2-3x+2\,) & \displaystyle x^4 & \displaystyle -3x^3 & \displaystyle +3x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^4 & \displaystyle +3x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \end{array}\]

第2步： 在这种情况下,当前余数\(\displaystyle x^2-3x+2\)的前导项是\(\displaystyle x^2\),而且我们知道除数的前导项是\(\displaystyle x^2\)。

那么,我们需要乘以\(x^2\)来得到当前余数的前导项是\(\displaystyle \frac{ x^2}{ x^2} = 1\),所以我们把这个项加到商中。另外,我们用它乘以除数,得到\(\displaystyle 1 \cdot \left(x^2-3x+2\right) = x^2-3x+2\),我们需要减去当前的余数。

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rccccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle +1&&\\[0.3em] \hline x^2-3x+2\,) & \displaystyle x^4 & \displaystyle -3x^3 & \displaystyle +3x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^4 & \displaystyle +3x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle -2\\[0.3em] \hline \displaystyle & & & & & 0\\[0.3em] \end{array}\]

因此,商是\(\displaystyle q(x) = x^2+1\),而余数是\(\displaystyle r(x) = 0\)。

因此,在除法之后,我们在因式分解中推进了与

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x-1\right)\left(x-2\right) \left(x^2+1\right)\]

但现在,由于找到的商\(\displaystyle x^2+1\)是二次的,我们可以找到它的根,看看我们是否可以在实域上将其分解。

我们需要解决以下给出的二次方程\(\displaystyle x^2+1=0\)。

对于形式为\(a x^2 + bx + c = 0\)的二次方程,使用以下公式计算根。

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

在这种情况下,我们有,我们需要解决的方程是\(\displaystyle x^2+1 = 0\),这意味着相应的系数是。

\[a = 1\] \[b = 0\] \[c = 1\]

首先,我们将计算判别式以评估根的性质。判别式的计算方法是：。

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 0\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(1\right) = -4\]

因为在这种情况下,我们得到的判别式是\(\Delta = \displaystyle -4 < 0\),它是负的,我们知道,给定的方程有两个不同的共轭复数根。

现在,将这些数值插入到根的公式中,我们可以得到。

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{\left(0\right)^2-4\left(1\right)\left(1\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{-4}}{2}\]

因此,我们发现。

\[\displaystyle x_1 = \frac{0 - i \sqrt{4}}{2} = -i\] \[\displaystyle x_2 = \frac{0 + i \sqrt{4}}{2} = i\]

所以在找到最后一个二次方部分的根后,我们找到了两个复数根,所以我们不能在实数领域对\(x^2+1\)项进行因式分解,所以我们以\(\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x-1\right)\left(x-2\right) \left(x^2+1\right)\)结束这个过程。

结论 :因此,我们得到的最终因式分解是。

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)\]

使用因式分解过程找到的根是\(0\),\(1\),\(2\),\(-i\)和\(i\)。

例子。因素计算

找出以下的因素。\(p(x) = x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x\)的因素

解决方案： 现在我们需要系数。\(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x\)。

最初的步骤。 所提供的多项式表达式不能减少,然后我们可以直接进行因子化。

有理根的候选者 :由于\(p(x)\)中第一个非零系数的项是\(x\),我们可以把这个项剔除,得到

\[\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x = x \left(x^3-2x^2-x+1 \right) \]

但括号内的项的度数大于2,所以没有基本公式来分解它。我们需要测试可能的有理根。

下一个任务是找到分割前导系数\(a_{3}\)和常数系数\(a_0\)的整数,这些整数将被用来构建我们的候选数,成为多项式方程的零点。

▹ \(a_{3} = 1\)的分割线是。\(\pm 1\)。

▹ \(a_0 = 1\)的分割线是。\(\pm 1\)。

因此,用常数系数\(a_0 = 1\)的每个除数除以前导系数\(a_{3} = 1\),我们发现以下候选根的清单。

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

现在,需要对所有的候选人进行测试,看他们是否是一个解决方案。以下是测试每个候选人得到的结果。

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^3-2\cdot \left(-1\right)^2-\left(-1\right)+1 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^3-2\cdot 1^2-1+1 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

但由于我们没有通过检查找到任何有理根,我们不能用基本方法继续进行因式分解,所以这个过程在此停止。

结论 :因此,在这种情况下,我们得到。

\[\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x = x\left(x^3-2x^2-x+1\right)\]

因此,使用因式分解过程找到的唯一根是\(0\)。

例子。因数计算

完全的因子\( p(x) = x^3 - \frac{7}{2}x^2 + \frac{7}{2}x - 1\).这个多项式的根是什么？

解决方案： 对于这个例子,我们有\(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\),我们将使用因式分解过程作为工具来计算它的根。

最初的步骤。 所提供的多项式表达式是不可还原的,所以没有什么可简化的。我们可以继续将其分解。

我们需要首先尝试找到简单的有理根,这可以借助于有理根定理来实现。

下一个任务是找到分割前导系数\(a_{3}\)和常数系数\(a_0\)的整数,这些整数将被用来构建我们的候选数,成为多项式方程的零点。

▹ \(a_{3} = 1\)的整数除法是。\(\pm 1\)。

▹ \(a_0 = -1\)的整数除法是。\(\pm 1\)。

因此,我们用常数系数\(a_0 = -1\)的每一个除数除以前导系数\(a_{3} = 1\),所以我们可以找到一个有理数候选根的列表。

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

现在,需要对所有的候选人进行测试,看他们是否是一个解决方案。以下是测试每个候选人得到的结果。

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^3-\frac{7}{2}\cdot \left(-1\right)^2+\frac{7}{2}\cdot \left(-1\right)-1 & = & \displaystyle -9 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^3-\frac{7}{2}\cdot 1^2+\frac{7}{2}\cdot 1-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ \end{array}\]

多项式除法过程 :我们没有足够的有理根从有理零点定理中找到,所以我们将\(\displaystyle x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\)除以这些从有理根候选人中得到的有理因子的乘积,这导致\(\displaystyle \left(x-1\right) \)。

步骤1： 红利\(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\)的前导项是\(\displaystyle x^3\),而除数\(\displaystyle s(x) = x-1\)的前导项则等于\(\displaystyle x\)。

因此,我们需要乘以\(x\)以得到红利的前导项是\(\displaystyle \frac{ x^3}{ x} = x^2\),所以我们把这个项加到商中。另外,我们用它乘以除数,得到\(\displaystyle x^2 \cdot \left(x-1\right) = x^3-x^2\),我们需要把它减去红利。

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \end{array}\]

第2步： 现在,当前余数\(\displaystyle -\frac{5}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\)的前导项是\(\displaystyle -\frac{5}{2}x^2\),我们知道除数的前导项是\(\displaystyle x\)。

那么,我们需要乘以\(x\)来得到当前余数的前导项是\(\displaystyle \frac{ -\frac{5}{2}x^2}{ x} = -\frac{5}{2}x\),所以我们把这个项加到商中。另外,我们用它乘以除数,得到\(\displaystyle -\frac{5}{2}x \cdot \left(x-1\right) = -\frac{5}{2}x^2+\frac{5}{2}x\),我们需要减去当前的余数。

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle &\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{5}{2}x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle -1\\[0.3em] \end{array}\]

第 3 步： 现在,当前余数\(\displaystyle x-1\)的前导项是\(\displaystyle x\),而且我们知道除数的前导项是\(\displaystyle x\)。

那么,我们需要乘以\(x\)来得到当前余数的前导项是\(\displaystyle \frac{ x}{ x} = 1\),所以我们把这个项加到商中。另外,我们用它乘以除数,得到\(\displaystyle 1 \cdot \left(x-1\right) = x-1\),我们需要减去当前的余数。

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle +1&\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{5}{2}x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle +1\\[0.3em] \hline \displaystyle & & & & 0\\[0.3em] \end{array}\]

因此,从除法商数来看,我们得出结论：\(\displaystyle q(x) = x^2-\frac{5}{2}x+1\),余数为\(\displaystyle r(x) = 0\)。

因此,我们将得到。

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right) \left(x^2-\frac{5}{2}x+1\right)\]

但方程\(\displaystyle x^2-\frac{5}{2}x+1\)是二次方程,所以可以直接计算出根。

因此,我们需要计算判别式,以便了解根的性质。判别的公式是

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -\frac{5}{2}\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(1\right) = \frac{9}{4}\]

但我们看到判别式是\(\Delta = \displaystyle \frac{9}{4} > 0\),是正数,因此,我们得出结论,该方程有两个不同的实数根。

现在,我们将这些数值插入,得到。

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2-4\left(1\right)\left(1\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}}{2}\]

因此,我们发现。

\[ x_1 = \frac{\frac{5}{2}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=\frac{1}{2} \] \[x_2 = \frac{\frac{5}{2}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=2\]

有了上述有两个实数根的二次方程的解,我们进一步将原多项式分解为。\(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right) \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)\)。

结论 :因此,在这种情况下,我们实现了完全的简化。

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)\]

根据上述因式分解,找到的根是：\(1\),\(\frac{1}{2}\)和\(2\)。\(1\),\(\frac{1}{2}\)和\(2\)。

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