求解器代数

合成除法计算器

指示： 使用这个计算器可以对你提供的多项式进行合成除法,显示所有的计算步骤。请输入你要除的两个多项式。第一个（红利）需要有1度或更高的度数,第二个（除数）需要有1度。

多项式的合成除法

这个计算器将允许你对两个多项式进行合成除法。这些多项式可以是任何东西,但有一个限制：除数需要有1度才能使用这个方法。

因此,例如,你可以将第一个多项式（红利）输入为'3x^3 + 2x^2 + 1',除数可以是例如'x+1'。

被除数需要有1度。例如,有效的除数是x+1 ,2x-1,等等,但x^2 + 1不是合成除法的有效除数,因为它的度数是2。

你提供的多项式不一定要简化,如果不简化,计算器会在做多项式的除法前做简化。然后,一旦你提供了两个有效的多项式,你需要点击 "计算 "按钮,以获得所有的计算步骤。

什么是合成师？

合成除法是一个简化的多项式除法程序。它适用于被除数（除数）的度数等于1的特定情况。

例如,以下是 多项式除法 可以用合成除法计算。

\[\displaystyle \frac{2x^3+3x+1}{x+1} \]

因为除数\(x+1\)的度数为1。现在下面的除法不能用合成除法计算。

\[\displaystyle \frac{x^4+ + 2x^2 + 2x+1}{x^2+1} \]

因为除数\(x^2+1\)有2度。从技术上讲,你可以为更高的度数扩展合成除法,但它的主要目标是成为线性除数（度数为1的除数）的快速除法方法。

合成除法与长除法

长除法和合成除法的区别是什么？首先。多项式的长除法可以应用于所有的多项式,不仅当除数为1度时,而且对于所有可能的除数,只要它们是有效的多项式。

因此,那么,多项式的优势在于长期分工它是一种通用的方法,适用于所有可能的多项式,但它的缺点是它往往是更多的代数密集。

合成除法的优点是它提供了一种快速除法方法（比长除法简单得多）,但它的缺点是只适用于1度的除数。

多项式的合成除法的步骤是什么？

步骤1： 将你要除的多项式命名为p(x)和s(x), p(x)是分母,s(x)是除数.确保两个都是多项式,然后再继续。
第2步： 确保除数s(x)的度数是1,如果不是,请停止,你不能做合成除法。
第 3 步： 现在,找出s(x)=0的x值,这个值将被放在 "除法框 "中。
第4步： 创建一行,其中包含红利的系数（先是高次方）,并创建另外两行空行。一行用于存储最终结果,一行用于存储中间结果
第 5 步： 对于第一列,你将分红系数向下传递到结果行,中间结果是0
第6步。 对于下面的列,你将结果行中的前一个数值乘以除法框中的数值,并将这个数值存储在相应的中间行中。然后,将红利系数和这个中间值相加,得到该列的最终值。
第7步。 对以下栏目重复前面的步骤

这就是你使用合成除法的方式。这是一个迭代的步骤,你不断地更新行,直到你得到商多项式的系数和余数,在这种情况下,就是 必须是一个数字 .对于长除法,余数可以是多项式,但它的度数会比除数低。

上述的合成除法程序可能会让人困惑,所以最好的方法是看一些例子。

合成替代物计算器

值得一提的是,合成分法经常被用于合成替代物这是在多项式p(x)上评估一个给定值x=a的技术,实际上没有在函数中做传统的评估,而是通过应用合成除法,凭借余数定理。

因此,尽管很多时候,运行迭代过程的步骤会让人感到困惑,但这多项式除法计算器将非常有助于向你展示上述过程的所有步骤,并可用于多种应用。

现在,如果你想用人工合成除法进行除法,还是可以的,而且不会太麻烦,而用长除法进行多项式的除法,则往往需要更长时间的计算。

我应该用合成法还是长除法？

步骤1： 明确指出你要除的两个多项式。称p(x)为红利,称s(x)为除数。请确保它们是多项式,否则,你就停止了
第2步： 看一下除数,找出它的度数
第 3 步： 如果被除数的度数为1,则使用合成除法,否则,使用长除法。

合成除法和长除法的一个有趣的特点是,它们通过使用和与乘法来实现多项式的除法,这相当有用,因为这些是多项式运算简单而直接的使用。

是否有一个合成的除法公式？

并非如此。计算合成除法的过程是基于一种算法而不是一个公式。算法是一个定义明确的过程,不同的步骤都在进行,直到过程完成。

所以,你不会有一个合成的除法公式（虽然理论上你把它放在一个抽象的方式）,而是有一个关于如何做这些步骤的'配方'。

合成除法和多项式的根

合成除法最典型的应用之一是测试一个数字\(x = a\)是否是一个给定的多项式\(p(x)\)的根。这样做的方法很简单。你只需对红利\(p(x)\)和除数\(s(x) = x - a\)进行合成除法。然后,如果余数是0,那么数字\(x = a\)就是多项式的根。

另外,如果它确实是一个根,你就会得到商\(q(x)\),然后你就得出了\(p(x) = q(x)(x-a)\)的结论,那么,为了找到\(p(x)\)的根,你只需要找到\(q(x)\)的根,它少了一个度,所以应该更容易。

例子。合成除法实例

计算除法:\(\displaystyle \frac{x^4+x^3+x^2+2}{x-1}\)<

解决方案：

已经提供了以下多项式。\(\displaystyle p(x) = x^4+x^3+x^2+2\),需要除以多项式\(\displaystyle s(x) = x-1\)。

请注意,红利的度数是\(\displaystyle deg(p) = 4\),而除数的度数是\(\displaystyle deg(s)) = 1\)。

步骤1： 由于除数的度数为1,我们可以使用合成除法的方法。通过求解\(\displaystyle s(x) = x-1 = 0\),我们直接发现要放在除法框中的数字是。\(\displaystyle 1\)。

\[\begin{array}{c|cccc} 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

第2步： 现在我们直接将前导项\(\displaystyle 1\)传递给结果行。

\[\begin{array}{c|cccc} 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&&& \end{array}\]

第 3 步： 将除法框中的项乘以第1列的结果：\(1 \cdot \left(1\right) = 1\),这个结果被插入结果行第1列。

\[\begin{array}{c|cccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 1 & & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&&\end{array}\]

第4步： 现在加上第2列的数值：\( \displaystyle 1+1 = 2\),这个结果被插入到结果行第2列。

\[\begin{array}{c|cccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 1 & & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & & \end{array}\]

第 5 步： 将除法框中的项乘以第2列的结果：\(1 \cdot \left(2\right) = 2\),这个结果被插入结果行第2列。

\[\begin{array}{c|cccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 1 & 2 & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & & \end{array}\]

第6步。 现在加上第3列的数值：\( \displaystyle 1+2 = 3\),这个结果被插入到结果行第3列。

\[\begin{array}{c|cccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 1 & 2 & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 3 & \end{array}\]

第7步。 将除法框中的项乘以第3列的结果：\(1 \cdot \left(3\right) = 3\),这个结果被插入结果行第3列。

\[\begin{array}{c|cccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 1 & 2 & 3\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 3 & \end{array}\]

第8步。 现在加上第4列的数值：\( \displaystyle 0+3 = 3\),这个结果被插入到结果行第4列。

\[\begin{array}{c|cccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 1 & 2 & 3\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 3 & 3\end{array}\]

第9步。 将除法框中的项乘以第4列的结果：\(1 \cdot \left(3\right) = 3\),这个结果被插入结果行第4列。

\[\begin{array}{c|cccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 1 & 2 & 3 & 3\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 3 & 3\end{array}\]

第10步。 现在加上第5列的数值：\( \displaystyle 2+3 = 5\),这个结果被插入到结果行第5列。

\[\begin{array}{c|cccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 1 & 2 & 3 & 3\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 3 & 3 & 5\end{array}\]

这就结束了这次计算,因为我们已经得出了最后一列的结果,其中包含余数。

结论。 因此,我们得出结论,对于给定的红利\(\displaystyle p(x) = x^4+x^3+x^2+2\)和除数\(\displaystyle s(x) = x-1\),我们得到商是\(\displaystyle q(x) = x^{ 3}+2 x^{ 2}+3 x+3\),余数是\(\displaystyle r(x) = 5\),并且

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{x^4+x^3+x^2+2}{x-1} = x^{ 3}+2 x^{ 2}+3 x+3 + \frac{5}{x-1}\]

例子。合成除法的例子

做以下多项式的除法:\(\displaystyle \frac{x^5+x^3+x^2+2}{x-2}\)的

\(x = 2\)是多项式\(x^5+x^3+x^2+2\)的根吗？

解决方案：所以在这种情况下,我们取多项式\(\displaystyle p(x) = x^5+x^3+x^2+2\),然后除以\(\displaystyle s(x) = x-2\)。

目的是要看余数是否为零。

步骤1： 由于除数的度数为1,我们可以使用合成除法的方法。通过求解\(\displaystyle s(x) = x-2 = 0\),我们直接发现要放在除法框中的数字是。\(\displaystyle 2\)。

\[\begin{array}{c|ccccc} 2 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & & \end{array}\]

第2步： 现在我们直接将前导项\(\displaystyle 1\)传递给结果行。

\[\begin{array}{c|ccccc} 2 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&&&& \end{array}\]

第 3 步： 将除法框中的项乘以第1列的结果：\(2 \cdot \left(1\right) = 2\),这个结果被插入结果行第1列。

\[\begin{array}{c|ccccc}2 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 2 & & & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&&&\end{array}\]

第4步： 现在加上第2列的数值：\( \displaystyle 0+2 = 2\),这个结果被插入到结果行第2列。

\[\begin{array}{c|ccccc}2 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 2 & & & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & & & \end{array}\]

第 5 步： 将除法框中的项乘以第2列的结果：\(2 \cdot \left(2\right) = 4\),这个结果被插入结果行第2列。

\[\begin{array}{c|ccccc}2 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 2 & 4 & & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & & & \end{array}\]

第6步。 现在加上第3列的数值：\( \displaystyle 1+4 = 5\),这个结果被插入到结果行第3列。

第7步。 将除法框中的项乘以第3列的结果：\(2 \cdot \left(5\right) = 10\),这个结果被插入结果行第3列。

\[\begin{array}{c|ccccc}2 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 2 & 4 & 10 & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 5 & & \end{array}\]

第8步。 现在加上第4列的数值：\( \displaystyle 1+10 = 11\),这个结果被插入到结果行第4列。

第9步。 将除法框中的项乘以第4列的结果：\(2 \cdot \left(11\right) = 22\),这个结果被插入结果行第4列。

\[\begin{array}{c|ccccc}2 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 2 & 4 & 10 & 22\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 5 & 11 & \end{array}\]

第10步。 现在加上第5列的数值：\( \displaystyle 0+22 = 22\),这个结果被插入到结果行第5列。

第11步。 将除法框中的项乘以第5列的结果：\(2 \cdot \left(22\right) = 44\),这个结果被插入结果行第5列。

\[\begin{array}{c|ccccc}2 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 2 & 4 & 10 & 22 & 44\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 5 & 11 & 22\end{array}\]

第12步。 现在加上第6列的数值：\( \displaystyle 2+44 = 46\),这个结果被插入到结果行第6列。

结论。 因此,我们得出结论,对于给定的红利\(\displaystyle p(x) = x^5+x^3+x^2+2\)和除数\(\displaystyle s(x) = x-2\),我们得到商是\(\displaystyle q(x) = x^{ 4}+2 x^{ 3}+5 x^{ 2}+11 x+22\),余数是\(\displaystyle r(x) = 46\),由于余数不为零,我们得出结论,\(x = 2\)不是多项式\(x^5+x^3+x^2+2\)的根。

例子。它是否划分了它？

指出多项式\(x^5 - 19x^4 + 137x^3 - 461x^2 + 702x - 360\)是否正好被\(x-1\)所除。

解决方案：我们得到了红利\(\displaystyle p(x) = x^5-19x^4+137x^3-461x^2+702x-360\)和除法\(\displaystyle s(x) = x-1\)。

\[\begin{array}{c|ccccc} 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -19 & \displaystyle 137 & \displaystyle -461 & \displaystyle 702 & \displaystyle -360 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & & \end{array}\]

第2步： 现在我们直接将前导项\(\displaystyle 1\)传递给结果行。

第 3 步： 将除法框中的项乘以第1列的结果：\(1 \cdot \left(1\right) = 1\),这个结果被插入结果行第1列。

\[\begin{array}{c|ccccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -19 & \displaystyle 137 & \displaystyle -461 & \displaystyle 702 & \displaystyle -360\\[0.6em]& 0 & 1 & & & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&&&\end{array}\]

第4步： 现在加上第2列的数值：\( \displaystyle -19+1 = -18\),这个结果被插入到结果行第2列。

第 5 步： 将除法框中的项乘以第2列的结果：\(1 \cdot \left(-18\right) = -18\),这个结果被插入结果行第2列。

\[\begin{array}{c|ccccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -19 & \displaystyle 137 & \displaystyle -461 & \displaystyle 702 & \displaystyle -360\\[0.6em]& 0 & 1 & -18 & & \\[0.6em]\hline& 1 & -18 & & & \end{array}\]

第6步。 现在加上第3列的数值：\( \displaystyle 137-18 = 119\),这个结果被插入到结果行第3列。

第7步。 将除法框中的项乘以第3列的结果：\(1 \cdot \left(119\right) = 119\),这个结果被插入结果行第3列。

\[\begin{array}{c|ccccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -19 & \displaystyle 137 & \displaystyle -461 & \displaystyle 702 & \displaystyle -360\\[0.6em]& 0 & 1 & -18 & 119 & \\[0.6em]\hline& 1 & -18 & 119 & & \end{array}\]

第8步。 现在加上第4列的数值：\( \displaystyle -461+119 = -342\),这个结果被插入到结果行第4列。

第9步。 将除法框中的项乘以第4列的结果：\(1 \cdot \left(-342\right) = -342\),这个结果被插入结果行第4列。

\[\begin{array}{c|ccccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -19 & \displaystyle 137 & \displaystyle -461 & \displaystyle 702 & \displaystyle -360\\[0.6em]& 0 & 1 & -18 & 119 & -342\\[0.6em]\hline& 1 & -18 & 119 & -342 & \end{array}\]

第10步。 现在加上第5列的数值：\( \displaystyle 702-342 = 360\),这个结果被插入到结果行第5列。

第11步。 将除法框中的项乘以第5列的结果：\(1 \cdot \left(360\right) = 360\),这个结果被插入结果行第5列。

\[\begin{array}{c|ccccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -19 & \displaystyle 137 & \displaystyle -461 & \displaystyle 702 & \displaystyle -360\\[0.6em]& 0 & 1 & -18 & 119 & -342 & 360\\[0.6em]\hline& 1 & -18 & 119 & -342 & 360\end{array}\]

第12步。 现在加上第6列的数值：\( \displaystyle -360+360 = 0\),这个结果被插入到结果行第6列。

\[\begin{array}{c|ccccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -19 & \displaystyle 137 & \displaystyle -461 & \displaystyle 702 & \displaystyle -360\\[0.6em]& 0 & 1 & -18 & 119 & -342 & 360\\[0.6em]\hline& 1 & -18 & 119 & -342 & 360 & 0\end{array}\]

结论。 因此,我们得出结论,对于给定的红利\(\displaystyle p(x) = x^5-19x^4+137x^3-461x^2+702x-360\)和除数\(\displaystyle s(x) = x-1\),我们得到商是\(\displaystyle q(x) = x^{ 4}-18 x^{ 3}+119 x^{ 2}-342 x+360\),余数是\(\displaystyle r(x) = 0\),这意味着\(s(x)\)正好除以\(p(x)\)。