剩余定理

指示： 使用这个余数定理计算器来求一个多项式p(x)在某一数值x=a时的值,使用除法的余数,显示所有的步骤。请在下面的表格中输入你需要使用的多项式和你想评估的数值.

剩余定理计算器

这个计算器可以帮助你有效和容易地使用余数定理。为了使用它,你需要提供一个有效的多项式（例如,像3x^4 - 3x^2 + 6）和一个有效的数字表达式（如2,或3/4）,你想在那里评估多项式。

所提供的多项式可以有任何你希望的学位 ,只要它是一个有效的多项式。它可以有整数或分数系数,或者最终任何有效的数字表达式都可以成为一个系数（如sqrt(2)）。你提供的多项式可以简化或不简化,这并不重要,因为计算器将简化多项式如果需要,首先要做的是。

一旦提供了一个有效的多项式,以及一个有效的数字表达式来评估它,你需要按下 "计算 "按钮,这个过程的所有步骤都会提供给你。

这 剩余定理 在代数中是最重要的,所以你会发现有这个计算器会很方便,使这个过程更容易。

什么是余数定理

余数定理是一个重要的定理,它简单地说,当你除以两个多项式时,你会发现一个商和一个余数,它们都是多项式。

这让人想起了数字的除法：当两个数字相除时,你会发现一个商和一个余数,其奇妙的特性是余数小于除数。多项式也是如此,只是在这种情况下,余数的度数要比除数的度数低。

我们必须用数学的方法来说明。假设你有一个多项式\(p(x)\),你想用\(s(x)\)来除掉它。余数定理指出,存在一个商\(q(x)\)和一个余数\(r(x\),其特性是

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = q(x) + \frac{r(x)}{s(x)} \]

其中余数\(r(x)\)的度数小于除数\(s(x)\)的度数。这些商和余数可以通过以下方法找到多项式的长除法 .

余数定理的另一个角度是,上述表达式可以改写为

\[\displaystyle p(x) = q(x)s(x) + r(x)\]

现在,如果除数的阶数是1,例如\(s(x) = x-a\),余数定理变成了

\[\displaystyle p(x) = q(x)(x-a) + r\]

现在,\(r(x)\)变成了一个常数\(r(x) = r\),因为除数有1度,那么余数一定有0度,这意味着余数是常数。

因此,将x=a插入上述公式中,可以得出

\[\displaystyle p(a) = q(a)(a-a) + r = q(a)\cdot 0 + r = r\]

余数定理的结论和底线是,p(a)是p(x)除以(x-a)的余数,可以用以下方法来完成合成部 .这种在一个值上间接评估多项式的过程被称为合成替代物 .

使用余数定理的步骤

步骤1： 确定多项式p(x)和除数s(x)。
第2步： 如果你想找到商和余数,一般来说,你可以使用长除法的方法
第 3 步： 如果你想在x=a点评估p(x),只要用合成除法将p(x)除以x-a即可

正如你所看到的,余数定理,多项式的除法,合成除法和长除法彼此之间有着紧密的联系,是同一个物体的不同侧面。

使用余数定理,你会有什么好处？

剩余定理有很多用途。最典型的是,它被用于评估多项式在一个给定的值x=a时,具体地说,确定它是否是多项式的根（如果p(a)=0）。

总的来说,余数定理给了你检测根的灵活性,这在多项式因式分解时是一种至关重要的能力。

成功的提示

通常情况下,在处理多项式时,使用合成替换比直接求值更方便,特别是当你在手工操作时。

避免错误的标志,并小心地使用 PEMDAS规则可以增加你正确应用该定理的机会。

例子。剩余定理和合成替代法

使用合成替换法,找到\(p\left(\frac{1}{2}\right)\),以替代多项式\(p(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 3\)。

解决方案：我们有\(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\),我们需要它在\(\displaystyle x = \frac{1}{2}\)被评估,为此我们将使用余数定理。

所以我们用\(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\)除以除数\(\displaystyle s = x-\frac{1}{2}\),然后找到余数。

步骤1： 通过求解\(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0\),我们直接发现要放在除法框中的数字是：\(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0\)。\(\displaystyle \frac{1}{2}\)。

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

第2步： 现在我们直接将前导项\(\displaystyle 2\)传递给结果行。

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 2&&& \end{array}\]

第 3 步： 将除法框中的项乘以第1列的结果：\(\frac{1}{2} \cdot \left(2\right) = 1\),这个结果被插入结果行第1列。

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 2&&&\end{array}\]

第4步： 现在加上第2列的数值：\( \displaystyle -3+1 = -2\),这个结果被插入到结果行第2列。

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & \\[0.6em]\hline& 2 & -2 & \end{array}\]

第 5 步： 将除法框中的项乘以第2列的结果：\(\frac{1}{2} \cdot \left(-2\right) = -1\),这个结果被插入结果行第2列。

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & \end{array}\]

第6步。 现在加上第3列的数值：\( \displaystyle 2-1 = 1\),这个结果被插入到结果行第3列。

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1\end{array}\]

第7步。 将除法框中的项乘以第3列的结果：\(\frac{1}{2} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{2}\),这个结果被插入结果行第3列。

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2}\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1\end{array}\]

第8步。 现在加上第4列的数值：\( \displaystyle -3+\frac{1}{2} = -2\),这个结果被插入到结果行第4列。

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2}\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\]

结论。 因此,利用余数定理,我们得出结论：对于给定的红利\(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\)和除数\(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2}\),我们得到的余数是\(\displaystyle r(x) = -2\),所以我们得出结论：\(\displaystyle p\left(\frac{1}{2}\right) = -2\)。

例子。使用余数定理

考虑以下4度的多项式：\(p(x) = x^4 - 3x^2 + 2x - 1\)。用余数定理来计算\(p(-1)\)。

解决方案：我们提供了以下多项式。\(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\),需要用余数定理在\(\displaystyle x = -1\)这一点上进行评估。

为了使用余数定理,我们需要进行合成替代,为此我们需要对...进行合成除法。\(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\)和除数\(\displaystyle s = x+1\)的合成除法,然后求余数。

请注意,红利的度数是\(\displaystyle deg(p) = 4\),而除数的度数是\(\displaystyle deg(s)) = 1\)。

步骤1： 由于除数的度数为1,我们可以使用合成除法的方法。通过求解\(\displaystyle s(x) = x+1 = 0\),我们直接发现要放在除法框中的数字是。\(\displaystyle -1\)。

\[\begin{array}{c|cccc} -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

第2步： 现在我们直接将前导项\(\displaystyle 1\)传递给结果行。

\[\begin{array}{c|cccc} -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&&& \end{array}\]

第 3 步： 将除法框中的项乘以第1列的结果：\(-1 \cdot \left(1\right) = -1\),这个结果被插入结果行第1列。

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&&\end{array}\]

第4步： 现在加上第2列的数值：\( \displaystyle 0-1 = -1\),这个结果被插入到结果行第2列。

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & & \end{array}\]

第 5 步： 将除法框中的项乘以第2列的结果：\(-1 \cdot \left(-1\right) = 1\),这个结果被插入结果行第2列。

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & & \end{array}\]

第6步。 现在加上第3列的数值：\( \displaystyle -3+1 = -2\),这个结果被插入到结果行第3列。

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & \end{array}\]

第7步。 将除法框中的项乘以第3列的结果：\(-1 \cdot \left(-2\right) = 2\),这个结果被插入结果行第3列。

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & \end{array}\]

第8步。 现在加上第4列的数值：\( \displaystyle 2+2 = 4\),这个结果被插入到结果行第4列。

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4\end{array}\]

第9步。 将除法框中的项乘以第4列的结果：\(-1 \cdot \left(4\right) = -4\),这个结果被插入结果行第4列。

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2 & -4\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4\end{array}\]

第10步。 现在加上第5列的数值：\( \displaystyle -1-4 = -5\),这个结果被插入到结果行第5列。

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2 & -4\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4 & -5\end{array}\]

这就结束了这次计算,因为我们已经得出了最后一列的结果,其中包含余数。

结论。 因此,利用余数定理,我们得出结论：对于给定的红利\(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\)和除数\(\displaystyle s(x) = x+1\),我们得到的余数是\(\displaystyle r(x) = -5\),所以我们得出结论：\(\displaystyle p\left(-1\right) = -5\)。

例子。另一个余数定理的应用

x=3是多项式\( p(x) = x^3 - x^2 + x - 2\)的根吗？

解决方案：我们有\(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\),我们将在\(\displaystyle x = 3\)点评估这个多项式,看看它是否是一个根。

所以我们使用分红\(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\)和除数\(\displaystyle s = x-3\),然后我们需要找到余数。

步骤1： 由于除数的度数为1,我们可以使用合成除法的方法。通过求解\(\displaystyle s(x) = x-3 = 0\),我们直接发现要放在除法框中的数字是。\(\displaystyle 3\)。

\[\begin{array}{c|ccc} 3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

第2步： 现在我们直接将前导项\(\displaystyle 1\)传递给结果行。

\[\begin{array}{c|ccc} 3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&& \end{array}\]

第 3 步： 将除法框中的项乘以第1列的结果：\(3 \cdot \left(1\right) = 3\),这个结果被插入结果行第1列。

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&\end{array}\]

第4步： 现在加上第2列的数值：\( \displaystyle -1+3 = 2\),这个结果被插入到结果行第2列。

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & \end{array}\]

第 5 步： 将除法框中的项乘以第2列的结果：\(3 \cdot \left(2\right) = 6\),这个结果被插入结果行第2列。

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & \end{array}\]

第6步。 现在加上第3列的数值：\( \displaystyle 1+6 = 7\),这个结果被插入到结果行第3列。

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7\end{array}\]

第7步。 将除法框中的项乘以第3列的结果：\(3 \cdot \left(7\right) = 21\),这个结果被插入结果行第3列。

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6 & 21\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7\end{array}\]

第8步。 现在加上第4列的数值：\( \displaystyle -2+21 = 19\),这个结果被插入到结果行第4列。

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6 & 21\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7 & 19\end{array}\]

结论。 因此,利用余数定理,我们得出结论：对于给定的红利\(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\)和除数\(\displaystyle s(x) = x-3\),我们得到的余数是\(\displaystyle r(x) = 19\),所以我们得出结论：\(\displaystyle p\left(3\right) = 19\)。由于\(\displaystyle p\left(3\right) = 19 \ne 0\),我们得出结论：\(x = 3\)不是多项式的根。