两点对数函数计算器

该计算器的主要目的是估计对数函数 \(f(t)\) 的参数 \(A_0\) 和 \(k\) 定义为：

\[f(t) = A_0 \ln(k t)\]

参数需要这样对数函数通过两个给定点 \((t_1, y_1)\) 和 \((t_2, y_2)\)。

你如何从两点估计对数函数？

从代数上讲,您需要求解以下方程组以找到参数 \(A_0\) 和 \(k\)：

\[y_1 = A_0 \ln(k t_1)\] \[y_2 = A_0 \ln(k t_2)\]

通过对未知数\(A_0\)和\(k\)求解这个系统,我们可以找到唯一的解决方案,只要\(t_1 \ne t_2\)。

实际上,通过减去方程的两边：

\[\displaystyle y_1 - y_2 = A_0 \left( \ln(k t_1) - \ln(k t_2) \right)\] \[\displaystyle \Rightarrow \, y_1 - y_2 = A_0 \ln \left(\displaystyle\frac{k t_1}{k t_2}\right) \] \[\displaystyle \Rightarrow \, y_1 - y_2 = A_0 \ln \left(\displaystyle\frac{t_1}{t_2}\right) \] \[ \Rightarrow \, A_0 = \displaystyle \frac{y_1 - y_2}{\ln(t_1) - \ln(t_2)} \]

求解 \(A_0\) 的方程。现在,为了求解 \(k\) 我们使用第一个方程并对两边应用指数：

\[y_1 = A_0 \ln(k t_1)\] \[ \Rightarrow \, \displaystyle e^{\frac{y_1}{A_0}} = k t_1 \] \[ \Rightarrow \, k = \displaystyle \frac{e^{\frac{y_1}{A_0}}}{t_1} \]

在那里我们找到了 \(k\),作为已经确定和已知的 \(A_0\) 的函数。

如何计算指数函数？

如果您对指数行为感兴趣而不是对数函数,那么您应该使用这个 指数函数计算器 ,它遵循与估计参数相同的逻辑来强制函数通过两个给定点。