回顾函数导数的概念对我来说似乎很重要。微分过程（即计算导数）是微积分甚至数学中最基本的运算之一。在这个 Math Crack 教程中,我将尝试阐明导数是什么和做什么的含义和解释。

首先,为了澄清本教程的范围,我想说我们不会练习解决涉及导数的特定练习问题,而是尝试理解我们在做什么时以衍生品经营。一旦我们了解了我们在做什么,我们就有了一个更好的机会来解决问题。

衍生物的定义（不是无聊的）

首先,必须至少编写导数的定义。假设 \(f\) 是一个函数,而 \({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \) 是一个函数。好的,我们已经开始了解技术了吗？我们要说的是 \(f\) 是一个函数。通过如下所示的图形表示来考虑函数 \(f\)：

此外,当我们说“\({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \)”时,我们只是说 \({{x}_{0}}\) 是函数定义良好的点（因此它属于它的 领域 ）。但是等等,点 \({{x}_{0}}\) 是否有可能使函数没有明确定义......？当然！考虑以下函数：

\[f\left( x \right)=\frac{1}{x-1}\]

这样的函数在 \({{x}_{0}}=1\) 处没有很好的定义。 \({{x}_{0}}=1\) 没有很好地定义什么？因为如果我们在函数中插入 \({{x}_{0}}=1\) 的值,我们会得到

\[f\left( 1 \right)=\frac{1}{1-1}=\frac{1}{0}\]

这是一个 INVALID 操作（你从小学就知道,你不能被零除,至少用传统的算术规则）,所以函数在 \({{x}_{0}}=1\) 处没有很好的定义。一个函数在某一点被很好地定义意味着该函数可以在那个点被评估,不存在任何无效的操作。

所以现在我们可以再说一遍,因为现在你知道我们的意思了：假设 \(f\) 是一个函数,而 \({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \) 是一个函数。 \({{x}_{0}}\) 点的导数定义为

\[f'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{x \to {x_0}}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\]

当这种限制存在时。

好的,这就是问题的关键,我们稍后再讨论。我希望你在这里非常清楚一些事情：

• 当上述极限存在时,我们调用if \(f'\left( {{x}_{0}} \right) \),它被称为“函数\(f\left( x \right) \) 在\({{x}_{0}}\) 点的导数”。那么,\(f'\left( {{x}_{0}} \right) \) 只是一个符号,我们用来指代函数 \(f\left( x \right) \) 在 \({{x}_{0}}\) 点（当它存在时）的导数。我们可以使用任何其他符号,例如“\(deriv{{\left( f \right)}_{{{x}_{0}}}}\)”或“\(derivative\_f\_{{x}_{0}}\)”。但是一些审美感觉让我们更喜欢“\(f'\left( {{x}_{0}} \right) \)”。

关键是这是一个 MADE UP 符号,用于引用函数 \(f\left( x \right) \) 在点 \({{x}_{0}}\) 处的导数。数学中有趣的是符号很重要。即使一个概念的存在与用来表达它的符号无关,一个合乎逻辑的,灵活的,紧凑的符号可以使事情着火,而不是用繁琐的,没有灵感的符号可能发生的事情

符号所扮演的角色

（历史上,导数概念的可用版本的两个同时开发者,莱布尼茨和牛顿使用完全不同的符号。牛顿使用 \(\dot{y}\),而莱布尼茨使用 \(\frac{dy}{dx}\)。莱布尼茨符号着火并促进了微积分的全面发展,而牛顿的符号引起了不止一个头痛。真的,这很重要）。

• 导数是一个POINTWISE 操作。这意味着它是在给定点对函数进行的操作,需要逐点验证。当然,像实线 \(\mathbb{R}\) 这样的典型域有无限多的点,因此手动检查是否在每个点处定义了导数可能需要一段时间。但是,有一些规则可以通过在一个通用点 \({{x}_{0}}\) 计算导数,然后分析 \({{x}_{0}}\) 的哪些值定义导数存在的限制,从而大大简化了工作。所以你可以放松,因为坚韧不拔的手艺不会让你费力,当然,如果你知道自己在做什么的话。

• 当函数 \(f\) 的导数存在于点 \({{x}_{0}}\) 时,我们说该函数在 \({{x}_{0}}\) 处可微。此外,如果函数在该区域的每个点可微,我们可以说该函数在 REGION（一个区域是一组点）是可微的。那么,导数的概念虽然是逐点的概念（定义在特定的点）,但是当为区域内的每个点定义时,也可以理解为全局的概念。

• 如果我们定义 \(D\) 定义函数导数的实线上所有点的集合,我们可以定义导函数 \(f'\) 如下：

这是一个函数,因为我们唯一地将 \(D\) 上的每个 \(x\) 与值 \(f'\left( x \right) \) 相关联。这意味着 \(D\) 上 \(x\) 的每个值都与值 \(f'\left( x \right) \) 相关联。所有对 \(\left( x,f'\left( x \right) \right) \) 的集合,对于 \(x\in D\) 形成一个函数,你可以做你可以用函数做的所有事情,比如绘制它们。

这应该解决了许多学生关于导数的问题,因为他们想知道我们如何有一个导数“函数”,当导数是在某个特定点计算的东西时。嗯,答案是我们在许多点计算导数,这为将导数定义为函数提供了基础。

最后的话：符号地狱

当导数的概念被引入我们所知道的牛顿和莱布尼茨的现代形式时（我强调“现代形式”这个词,因为微积分几乎是由希腊人和其他人以一种更直观,更不正式的方式发展起来的很久以前）,他们选择了完全不同的符号。牛顿选择了\(\overset{\bullet }{\mathop{y}}\,\),而莱布尼茨选择了\(\frac{dy}{dx}\)。到现在为止还挺好。但是如果我们没有强大的导数定理,导数的概念就没有什么意义了。

使用他们各自的符号,他们都可以轻松地证明基本的微分定理,例如线性和乘积规则,但牛顿认为没有必要正式说明链式规则,可能是因为他的符号不适合那个,而对于莱布尼茨表示法,链式规则几乎就像一个“Duh”规则。更准确地说,假设 \(y=y\left( x \right) \) 是一个函数,而 \(u=u\left( x \right) \) 是另一个函数。

根据 \(y\) 和 \(u\) 的导数,问我是否可以以简单的方式计算组合 \(y\left( u\left( x \right) \right) \) 的导数是一个很自然的问题。这个问题的答案是链式法则。使用莱布尼茨符号,规则是

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\]

就好像您可以取消 \(du\) 一样：

但事实并非如此。但这就是莱布尼茨记数法的美妙之处。它具有强烈的直觉吸引力（并且“取消”\(du\) 几乎成为现实,只是它是在 \(\Delta u\) 级别完成的并且涉及限制）,但是您需要了解莱布尼茨对规则。他说：

“复合函数 \(y\left( u\left( x \right) \right) \) 的导数与 \(y\) 在 \(u\left( x \right) \) 点的导数乘以 \(u\) 在 \(x\) 点的导数相同”

使用牛顿符号的链式法则得到以下形式：

\[\overset{\bullet }{\mathop{\left( f\circ u \right)}}\,=\overset{\bullet }{\mathop{f}}\,\left( u\left( x \right) \right)\overset{\bullet }{\mathop{u}}\,\left( x \right)\]

不那么漂亮,不是吗？但是你猜怎么着,牛顿的链式法则说的完全一样

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\]

尽管如此,后一种符号引起了轰动,并极大地促进了现代微积分的快速发展,而牛顿的形式则不那么受欢迎。即使定理说得完全一样,一个是金的,另一个不是那么多。为什么？我的朋友。