更多关于这个正态分布概率计算器的抽样分布工具

当一串正态分布的变量\(X_1, X_2, ...., X_n\)被平均化时,我们可以得到样本平均数

\[\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\]

由于正态变量的任何线性组合也是正态的,所以样本平均值\(\bar X\)也是正态分布（假设每个\(X_i\)都是正态分布）。\(\bar X\)的分布通常被称为 样本平均数的抽样分布 .

你会看到正态分布的另一个名称是高斯分布,或钟形分布。

如何计算抽样分布？

假设\(X_i \sim N(\mu, \sigma^2)\),对于所有\(i = 1, 2, 3, ...n\),那么\(\bar X\)是正态分布,具有相同的共同平均数\(\mu\),但方差为\(\displaystyle\frac{\sigma^2}{n}\)。

这告诉我们,\(\bar X\)也是以\(\mu \)为中心的,但它的离散性小于每个个体的\( X_i \)。事实上,样本量越大,\(\bar X\)的离散度就越小。

正态分布公式

正态分布公式是一个相对困难的公式,那不是你要手动处理的。这个公式是

\[ f(x)=\frac{1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}} e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\]

采样正态分布公式

在处理抽样分布时,关键是利用以下事实：如果\(\mu\)是人口的平均值,\(\sigma\)是人口的标准差,那么

\[ \displaystyle \frac{\bar X - \mu}{\sigma}\]

有一个标准的正态分布。这一点至关重要,因为我们可以利用这一点将所有的抽样分布简化为 标准正态概率的计算 .

简单地说,你所做的是将任何正态分布概率的计算简化为 Z-scores的计算 .

通过将所有的正态分布计算减少到与z-scores一起工作,你所需要的只是一个标准的正态表,在那里可以找到z-值,或者像这个计算器或Excel这样的工具。

什么是抽样分布的平均值

采样分布的平均值,\(\mu(\bar X)\),与分布的基本平均值\(\mu\)相同。

抽样分布的标准偏差

与平均值的情况不同,样本平均值的标准差可以用公式计算：

\[s(\bar X) = \displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt n}\]

与正态分布相关的计算器

如果你想计算一个单一的观察值\(X\)的正态概率,你可以使用这个计算器和\(n=1\),或者你可以使用我们的常规的 正态分布计算器 .

很多时候,你会对相反的过程感兴趣：给定一个概率,你想找到分数,如该分数右边的概率是那个给定的概率,对此你可以用一个 反求诸己计算器

另外,如果你需要的是图形化的可视化,你可以直接尝试我们的 正态分布图制作者 .

此外,为了评估一个样本是否来自于实际的正态分布,你可以使用一个 正态概率图 并查看获得的模式。如果它看起来相当线性,这表明样本可能来自正态分布的预测。

例子：

问题 :考虑一个正态分布,其中人口平均值为12,人口标准差为3.4。假设你抽取的样本大小为n=16。样本平均值在区间（11.3,12.4）内的概率是多少？

解决方案：

以下是提供的群体平均值\((\mu)\),群体标准差\((\sigma)\)和样本量\((n)\)：

Population Mean \((\mu)\) =	\(12\)
Population Standard Deviation \((\sigma)\) =	\(3.4\)
Sample Size \((n)\) =	\(16\)
Event to compute its probability =	\(11.3 \leq \bar X \leq 12.4\)

我们需要计算\(\Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4)\)。需要计算的相应Z值是：：

\[Z_{lower} = \frac{X_1 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{ 11.3 - 12}{ 3.4/\sqrt{16}} = -0.82 \] \[Z_{upper} = \frac{X_2 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4/\sqrt{16}}= 0.47 \]

利用正态分布的特性,如果\(X ~ N(\mu, \sigma)\),那么变量\(Z_{lower} = \displaystyle \frac{X_1 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \)和\(Z_{upper} = \displaystyle \frac{X_2 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \)具有标准正态分布。因此,计算出的概率是：：

\[ \begin{array}{ccl} \Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4) & = & \Pr\left(\displaystyle \frac{ 11.3 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq \frac{ \bar X - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}}\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle\Pr\left(\frac{ 11.3 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq Z \leq \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}}\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \Pr\left(-0.82 \leq Z \leq 0.47\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \Pr\left(Z \leq 0.47\right) - \Pr\left(Z \leq -0.82\right) \\\\ \\\\ & = & 0.681 - 0.2051 \\\\ \\\\ & = & 0.4759 \end{array}\]

因此,根据所提供的信息,可以得出结论：\( \Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4) = 0.4759\)。