指数函数计算器
指示: 使用此分步式指数函数计算器,找出描述通过平面 XY 中两个给定点的指数函数的函数。您需要提供点 \((t_1, y_1)\) 和 \((t_2, y_2)\),该计算器将估计适当的指数函数并提供其图形。
两点的指数函数计算器
这个计算器的想法是估计函数 \(f(t)\) 的参数 \(A_0\) 和 \(k\) 定义为:
\[f(t) = A_0 e^{kt}\]以便该函数通过给定的点 \((t_1, y_1)\) 和 \((t_2, y_2)\)。
但是,您如何从点中找到指数函数?
从技术上讲,为了找到您需要求解以下方程组的参数:
\[y_1 = A_0 e^{k t_1}\] \[y_2 = A_0 e^{k t_2}\]如果 \(t_1 = \not t_2\).
事实上,通过将等式两边相除:
\[\displaystyle \frac{y_1}{y_2} = \frac{e^{k t_1}}{e^{k t_2}}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \frac{y_1}{y_2} = e^{k (t_1-t_2)}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right) = k (t_1-t_2)\] \[\displaystyle \Rightarrow \, k = \frac{1}{t_1-t_2} \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right)\]为了求解 \(A_0\),我们从第一个方程中注意到:
\[A_0 = y_1 e^{-k t_1} = y_1 \frac{y_2}{y_1 e^{k t_2}} =\frac{y_2}{e^{k t_2}} \]你如何计算指数增长?
它并不总是增长。事实上,如果参数 \(k\) 为正,那么我们有指数增长,但如果参数 \(k\) 为负,那么我们有指数衰减。
仅当 \(y_1 = y_2\)(两个点具有相同的高度)时,参数 \(k\) 才会为零。