分组因子是对表达式进行因子分解的一种极好方法,无需求解可能难以求解的多项式方程。

按分组进行分解的唯一问题是,没有一种方法或策略可以为您提供所需的正确分组。或者更糟糕的是,可能没有明确的分组方式来进行因式分解。

在本教程中,我们将专注于分组有助于分解代数表达式的特殊情况,尽管事实是,这并不总是可行的。如需更一般的治疗,请查看本教程 如何分解 .

分组保理所需的条件

这就是分组分解的工作原理：

我们需要寻找某些提示才能使用这种因式分解。对于初学者,我们会期望有一个大于 2 项（例如 4,6 等）的偶数项的代数表达式,然后尝试分组。

就像我们说的,没有固定的规则,你需要听着玩,按照这两个步骤。

第1步： 将第一项和第二项,第三项和第四项分组,依此类推。

第2步： 现在,尝试对您在步骤 1 中分组的所有对进行因式分解。请注意,可能有不止一种方法可以进行因式分解。

第 3 步： 看看你在步骤2中得到的因子是否都一样,如果是这样,你就可以因子了。

第四步： 如果前面的步骤不起作用,请尝试“加零”的技巧：有时,如果您添加一些东西,事情就会解决,并且您还从表达式中减去它。

通过添加和减去相同的项,净效果与添加相同（即,使表达式保持原样）

例 1

使用 Factor by Grouping 以下多项式的方法来分解

回答：

我们需要使用我们上面定义的步骤。请注意,这些步骤并非一成不变,但它们是您可以遵循的有用指导：

第1步： 我们将第一项和第二项以及第三和第四项分组,所以我们得到

第2步： \(6x^3 + 3x^2\) 项被分解为 \(6x^3 + 3x^2 = 3x^2(2x+1)\),而 \(4x + 2\) 项被分解为 \(4x + 2 = 2(2x+1)\),所以我们得到：

第 3 步： 现在我们可以看到我们分解的两个组如何有一个公因子,即 \(2x+1\),可以通过分配属性分解出来。因此,得到以下内容：

保理过程到此结束。

例2

求解以下方程：\(x^3 -6x^2 + 11x - 6 = 0\)：

回答：

由于我们并不真正知道（尽管有可能）如何找到该三次方程的解,因此如果可能,我们需要再次使用通过对 \(x^3 -6x^2 + 11x - 6 \) 进行分组来找到因式分解的步骤：

第1步： 我们将第一项和第二项以及第三和第四项分组,所以我们得到

第2步： \(x^3 -6x^2\) 项被分解为 \(x^3 -6x^2 = x^2(x-6)\),而 \(11x - 6\) 项被分解为 \(11x - 6= 11(x - 6/11)\),所以我们得到：

第 3 步： 在这种情况下,没有公因子,因此该方法到目前为止还没有奏效。

第四步： 我们添加 \(0 = 2x - 2x\) 并添加 \(0 = 3x^2 - 3x^2\) 这不会影响表达式（我们添加零）,所以我们得到：

现在我们有了我们正在寻找的公因数 \(x-3\)。最后,分解 \(x-3\) 我们得到

那么,为了求解原方程,我们还可以求解 \((x^2-3x +2)(x- 3) = 0\),这意味着 \(x^2-3x +2 = 0\) 或 \(x - 3\) = 0。

从第二个方程我们有一个解是\(x = 3\)。从我们需要解的第一个方程开始：

这意味着其他解决方案是 \(x = (3-1)/2 = 1\) 和 \(x = (3+1)/2 = 2\)。