关于二次函数和这个计算器

这个计算器可以让你对任何二次函数进行简化和绘图。你只需要提供一个有效的二次函数的x。

它可以是已经简化的东西,如f(x)=2x^2+3x+1,也可以是没有完全简化的东西,如 ,只要它是一个有效的 二次函数

一旦提供了一个有效的二次函数,请点击 "计算 "查看结果。

二次函数在数学中非常重要,而且确实是基础代数中最常用的函数之一。从几何学的角度来看,它的特性确实很直观。

什么是二次函数？

单变量二次函数是指变量以2的幂出现的函数,可能乘以一个系数,再加上可能是低阶的项。二次方公式为：。

\[f(x) = a x^2 + b x + c \]

其中\(a\),\(b\)和\(c\)是常数,\(x\)是该函数的变量。

从图形上看,所有的二次函数都是抛物线,当a>0时向上开口,当a<0时向下开口。 对称性轴 .

如何解决二次函数的步骤

• 第1步：确定你要处理的二次函数,如果需要的话,对其进行简化,直到你有了\(f(x) = a x^2 + b x + c \)的形式。
• 第2步：在 二次方程 与给定的二次函数相关的是\(f(x) = a x^2 + b x + c = 0\)。
• 第三步：这个方程一般有两个根。它们可以是实数根或共轭复数根。有一种特殊情况是只有一个实数根,在这种情况下我们说根是 屡次
• 第4步：你可以尝试通过猜测找到根,测试潜在的合理候选者
• 第5步：如果通过猜测不容易找到根,你可以随时使用一般的 二次方程 :\(x = \displaystyle \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

你将得到的根系类型在很大程度上取决于 判别式的计算 ,也就是\(\Delta = b^2 - 4ac\)。

事实上,对于一个正的判别式\(\Delta = b^2 - 4ac > 0\),会有两个实数根。从图形上看,这表明抛物线在两个不同的点上与x轴相交

当判别式为零时,\(\Delta = b^2 - 4ac = 0\),将有一个实根。从图形上看,这表明抛物线只在一个点上触及x轴

对于一个负的判别式\(\Delta = b^2 - 4ac < 0\),将有两个复数根。从图形上看,这表明抛物线没有穿过x轴。

二次函数的标准形式

尽管一般的二次函数形式是\(f(x) = a x^2 + b x + c \),而且为了了解我们所需要的关于二次函数的所有性质,它通常是足够的,但还有其他常见的形式。

我们有标准形式的二次函数,也被称为 顶点形式 ,当它被写成

\[f(x) = a(x-h)^2 + k \]

这一点特别有用,因为点（h,k）对应的是顶点。

得到二次函数的标准形式的步骤是什么？

• 第1步：明确识别提供给你的二次函数
• 第2步：如果尚未以标准形式提供,请先简化并以一般形式提供\(f(x) = a x^2 + b x + c \)。
• 第3步：一旦你有了它的一般形式,你只需要 成方体 以达到二次函数的标准形式

补齐方格的过程可能很费力,但它会系统地引导你找到二次函数的标准形式。

为什么二次函数如此重要？

二次函数的确很关键,因为它们在无数的应用问题中发挥着超级重要的作用,包括最大化和最小化。

所有代数计算器的中心是以分数的基本数字的力量为起点。

例子。二次方的标准形式

找出以下二次函数的标准形式。\(f(x) = 2x^2 + 2x - 1\)的标准形式

解决方案：

计算结束。

例子。对称性轴

找到以下的对称轴\(f(x) = \frac{1}{3} x^2 + \frac{5}{4}x - \frac{5}{6}\)的对称轴

解决方案：

计算结束。

例子。二次方形式和顶点

找到二次函数\( f(x) = \left(\frac{2}{3}(x - 2)^2 + \frac{2}{5} \)的顶点。

解决方案：

计算结束。

更多二次元计算器

你可以用二次函数做很多事情。你可以找到 一元二次方程的根 ,你可以 找到顶点 ,并找到对称轴。二次函数之所以如此吸引人,其中一个原因是其高度直观的几何特性。

通过 给二次函数作图 你也可以知道很多关于它的根,顶点和对称轴的信息。