求解器代数

一元二次方程的因式分解

指示： 使用这个计算器对你提供的一元二次方程进行因式分解,显示所有的步骤。请在下面的表格中输入你要分解的一元二次方程。

用因数法解决一元二次方程的问题

这个计算器允许你对你提供的一元二次方程进行因数分析,并显示该过程的所有步骤。你所需要做的就是提供一个有效的二次方程。

一个有效的二次方程的例子是2x² + 5x + 1 = 0.你也可以提供一个没有完全简化的二次方程,例如,x² - 3/4 x + 2 = 3x - 2x²,这个计算器将为你简化它。

一旦你提供了一个有效的二次方程,你需要点击 "计算",这个过程的所有步骤将显示给你。

二次方程因式分解是寻找根的方法之一,但它被认为是一种相当 "天真 "的方法,因为它是一种 "尝试和测试 "的方法,只对整数和分数根有效。

如何做一元二次方程的因式分解？

这个过程很简单,但它的潜在结果是有限的,因为只有当二次方程的根非常简单时,它才有可能正常工作。

用因式分解法解决一元二次方程的步骤是什么？

第1步：确定你要解决的一元二次方程,并将其简化为ax² + bx + c = 0的形式。
如果它们不是整数,那么你 "猜测 "因子的变化是零。
第3步：如果系数a和c是整数,找出它们的整数除数a ₁ , a ₂ , ...., 和c ₁ , c ₂ ,...等等。你将尝试猜测方程的解,测试分数的形式c _i /a _k
第4步：用这种方法找到根r₁和r₂将导致ax² + bx + c = a(x - r₁)(x - r₂) = 0的因式分解。

这种方法的局限性在于,你可能无法猜出解决方案,因为解决方案可能不是理性的。换句话说,没有一个简单的 因式分解公式 ,你宁愿遵循一个猜测的过程。

现在,无论其局限性如何,当方程的根非常简单时,用因式分解法解决一元二次方程是一个很好和快速的选择。

为什么会关心二次方分数的因式分解？

因式分解在不同的背景下发挥着非常重要的作用,最终,解决一般的二次方程要依靠一个复杂而优雅的因式分解过程。

很多时候,你在方程中使用因式分解,不一定是为了解决方程,而是为了分组条款。

例子:二次方程的因式分解

用\(4x^2 + 4x + 1 = 0\)的因式分解法解决以下方程

解决方案：

我们需要尝试用因式分解法解决下面的二次方程\(\displaystyle 4x^2+4x+1=0\)。

在这种情况下,我们有,我们需要尝试的方程是\(\displaystyle 4x^2+4x+1 = 0\),这意味着相应的系数是。

\[a = 4\] \[b = 4\] \[c = 1\]

现在,我们需要找到除\(a\)和\(c\)的整数,这些整数将被用来构建我们的候选因子。

\(a = 4\)的分割线是：\(a = 4\)。\(\pm 1,\pm 2,\pm 4\)。

\(c = 1\)的分割线是：\(c = 1\)。\(\pm 1\)。

因此,用\(c = 1\)的每个除数除以\(a = 4\)的每个除数,我们发现以下的候选因子列表。

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 2},\pm \frac{ 1}{ 4}\]

现在,需要对所有的候选人进行测试,看他们是否是一个解决方案。以下是测试每个候选人得到的结果。

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:& & \displaystyle 4 \left(-1\right)^2+4 \left(-1\right)+1 & = & \displaystyle 1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:& & \displaystyle 4 \left(1\right)^2+4 \left(1\right)+1 & = & \displaystyle 9 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{2} &:& & \displaystyle 4 \left(-\frac{1}{2}\right)^2+4 \left(-\frac{1}{2}\right)+1 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{2} &:& & \displaystyle 4 \left(\frac{1}{2}\right)^2+4 \left(\frac{1}{2}\right)+1 & = & \displaystyle 4 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{4} &:& & \displaystyle 4 \left(-\frac{1}{4}\right)^2+4 \left(-\frac{1}{4}\right)+1 & = & \displaystyle \frac{1}{4} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{4} &:& & \displaystyle 4 \left(\frac{1}{4}\right)^2+4 \left(\frac{1}{4}\right)+1 & = & \displaystyle \frac{9}{4} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

因此,只有一个候选数\(x = \displaystyle -\frac{1}{2}\)是根,所以我们发现,给定的二次方程可以被分解为\( 4 \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 = 0\)。

例子。用因式分解法解决一元二次方程

用因式分解法解决下面的一元二次方程\(x^2 + 5x + 6 = 0\)。

解决方案：我们需要尝试对\(\displaystyle x^2+5x+6 = 0\)进行因子化,那么相应的系数就是。

\[a = 1\] \[b = 5\] \[c = 6\]

现在,我们需要找到除\(a\)和\(c\)的整数,这些整数将被用来构建我们的候选因子。

\(a = 1\)的分割线是：\(a = 1\)。\(\pm 1\)。

\(c = 6\)的分割线是：\(c = 6\)。\(\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\)。

因此,用\(c = 6\)的每个除数除以\(a = 1\)的每个除数,我们发现以下的候选因子列表。

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 3}{ 1},\pm \frac{ 6}{ 1}\]

现在,需要对所有的候选人进行测试,看他们是否是一个解决方案。以下是测试每个候选人得到的结果。

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:& & \displaystyle 1 \left(-1\right)^2+5 \left(-1\right)+6 & = & \displaystyle 2 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:& & \displaystyle 1 \left(1\right)^2+5 \left(1\right)+6 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:& & \displaystyle 1 \left(-2\right)^2+5 \left(-2\right)+6 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:& & \displaystyle 1 \left(2\right)^2+5 \left(2\right)+6 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -3 &:& & \displaystyle 1 \left(-3\right)^2+5 \left(-3\right)+6 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle 3 &:& & \displaystyle 1 \left(3\right)^2+5 \left(3\right)+6 & = & \displaystyle 30 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -6 &:& & \displaystyle 1 \left(-6\right)^2+5 \left(-6\right)+6 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 6 &:& & \displaystyle 1 \left(6\right)^2+5 \left(6\right)+6 & = & \displaystyle 72 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

因此,有两个候选数是根,\(x_1 = \displaystyle -2\)和\(x = \displaystyle -3\),所以我们已经找到了我们的解决方案,我们可以将给定的方程分解为\( \displaystyle \left(x+2\right)\left(x+3\right) = 0\)。