Калькулятор коэффициентов полиномов

Этот калькулятор факторизации с шагами позволит вам найти коэффициент полностью заданного многочлена, который вы предоставите, показывая все шаги процесса.

Многочлен, который вы предоставите, должен быть действительным, что-то простое, как p(x) = x^3 - x + 1, или он может быть более сложным, с коэффициентами, которые являются дробями или любым действительным числовым выражением.

Как только вы введете правильный многочлен, вы можете нажать кнопку "Вычислить", и вам будет предоставлен весь пошаговый ход процесса, необходимого для полного умножения многочлена, процесс, который может быть довольно трудоемким, если он выполняется вручную, особенно когда степень полинома высока.

Невозможно переоценить важность знания коэффициентов многочленов, поскольку они находятся в центре многих приложений в алгебре, вычислениях, финансах и инженерии.

Как разложить многочлены на множители?

За исключением квадратичных многочленов, факторизация многочленов не всегда проста, и при выполнении ее вручную могут возникнуть трудности. Существует ряд шагов, которые необходимо выполнить, чтобы повысить вероятность нахождения хотя бы некоторых коэффициентов

Шаги калькулятора коэффициентов

• Шаг 1: Определите выражение, с которым вы работаете, максимально упростите его и убедитесь, что оно является многочленом. Если оно не является многочленом, то нет определенного подхода, которого следует придерживаться
• Шаг 2: Получив упрощенный многочлен, обратите внимание на его степень. Если он квадратичный (степень 2), вы можете использовать функцию квадратичная формула чтобы найти его факторы
• Шаг 3: Если степень многочлена равна 3 или выше, проверьте наличие постоянного коэффициента, если он равен нулю, значит, вы можете отбросить x и уменьшить степень многочлена, который осталось отбросить
• Шаг 4: После выполнения шага 4 необходимо проверить наличие кандидатов на простые корни с помощью теоремы о рациональном нуле. Если вы найдете какой-либо рациональный корень, то это будут коэффициенты вида (x - a) (где a - рациональный корень), и тогда вы разделите многочлен на эти коэффициенты, тем самым вы уменьшите степень многочлена, который вам нужно пронормировать
• Шаг 5: Повторяйте предыдущие шаги до тех пор, пока не получите полную факторизацию или не сможете выполнить дальнейшее сокращение

Есть один момент, который хотя и является техническим, но должен быть упомянут: факторинг выполняется над поле , которая является типом алгебраической структуры. Обычно мы используем поле вещественных чисел.

Если мы используем калькулятор факторов для поля вещественных чисел, то не все факторы будут иметь вид \(x - a\), так как у нас могут быть квадратичные факторы, которые несводимы на вещественном поле. Например, \(x^2 + x + 10\) не может быть сведен к реальным линейным факторам, потому что Квадратное уравнение \(x^2 + x + 10 = 0\) имеет сложные корни.

Так, на этапе 3, когда речь идет о квадратичной функции, фактором может быть она сама, если ее корни являются комплексными.

Факторы и корни

Способ использования процесса вычисления факторизации состоит в том, чтобы либо попытаться выполнить различные виды факторизации, используя определенные симметрии, либо найти корни. Нахождение симметрий не является однозначным, поскольку оно действительно зависит от конкретных закономерностей, которые могут быть найдены и которые не являются общими для всех многочленов.

Обычно пытаются найти факторизацию путем проверки или группировки, но для этого требуются определенные закономерности, которые не всегда есть. Стоит проинспектировать многочлен, чтобы понять, можно ли сделать что-то прямое, но подход к факторизации путем нахождения корней более систематичен и сработает в большем количестве случаев, чем методы инспекции.

Общие ошибки, которых следует избегать

Очень важно понимать, что коэффициент многочлена тесно связан с нахождением его корня, который весь заключен в теорема факторов . Таким образом, знание коэффициентов зависит от вашего умения находить корни многочлена.

Формулы не будет, если только вы не имеете дело с квадратичной функцией. Для более высоких степеней у вас есть различные альтернативы: вы можете использовать систематический процесс, описанный выше, или вы можете попытаться угадать и попытаться выполнить факторизацию путем проверки, или попытаться использовать другие альтернативы, такие как факторизация с помощью группировки .

Пример: коэффициенты полиномов

Фактор полностью: \(p(x) = x^5 - 3x^4 + 3x^3 - 3x^2 + 2x\)

Отвечать: Был предоставлен следующий многочлен: \(\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x\), который необходимо полностью разложить на вещественные числа.

Начальный Этап: Данное многочленное выражение является неприводимым, поэтому упрощать нечего. Мы можем перейти к его факторизации.

Обратите внимание, что степень данного многочлена равна \(\displaystyle deg(p) = 5\), его ведущий коэффициент равен \(\displaystyle a_{5} = 1\), а постоянный коэффициент равен \(\displaystyle a_0 = 0\).

Кандидаты На Получение Рациональных Корней : Поскольку первым членом с ненулевым коэффициентом в \(p(x)\) является \(x\), мы можем вычесть этот член, чтобы получить

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x^4-3x^3+3x^2-3x+2 \right) \]

но член в скобках имеет степень больше 2, поэтому нет элементарной формулы для его умножения. Нам нужно проверить возможные рациональные корни.

Следующая задача - найти целые числа, которые делят ведущий коэффициент \(a_{4}\) и постоянный коэффициент \(a_0\), которые будут использоваться для построения наших кандидатов в нули полиномиального уравнения.

▹ Разделителями \(a_{4} = 1\) являются: \(\pm 1\).

▹ Разделителями \(a_0 = 2\) являются: \(\pm 1,\pm 2\).

Поэтому, разделив каждый делитель постоянного коэффициента \(a_0 = 2\) на каждый делитель ведущего коэффициента \(a_{4} = 1\), находим следующий список кандидатов в корни:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1}\]

Теперь необходимо протестировать всех кандидатов, чтобы понять, являются ли они решением. В результате тестирования каждого кандидата получено следующее:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^4-3\cdot \left(-1\right)^3+3\cdot \left(-1\right)^2-3\cdot \left(-1\right)+2 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^4-3\cdot 1^3+3\cdot 1^2-3\cdot 1+2 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle \left(-2\right)^4-3\cdot \left(-2\right)^3+3\cdot \left(-2\right)^2-3\cdot \left(-2\right)+2 & = & \displaystyle 60 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 2^4-3\cdot 2^3+3\cdot 2^2-3\cdot 2+2 & = & \displaystyle 0 \\\\ \end{array}\]

Полиномиальное Деление : Поскольку у нас нет достаточного количества корней среди рациональных кандидатов, разделим \(\displaystyle x^4-3x^3+3x^2-3x+2\) на произведение коэффициентов, полученных из рациональных корней, которое равно \(\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-2\right) \).

Шаг 1: Ведущий член дивиденда \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^3+3x^2-3x+2\) равен \(\displaystyle x^4\), тогда как ведущий член делителя \(\displaystyle s(x) = x^2-3x+2\) равен \(\displaystyle x^2\).

Итак, член, который нам нужно умножить на \(x^2\), чтобы получить ведущий член дивиденда, это \(\displaystyle \frac{ x^4}{ x^2} = x^2\), поэтому мы прибавляем этот член к делителю. Также мы умножим его на делитель, чтобы получить \(\displaystyle x^2 \cdot \left(x^2-3x+2\right) = x^4-3x^3+2x^2\), который нам нужно вычесть из дивиденда:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rccccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &&\\[0.3em] \hline x^2-3x+2\,) & \displaystyle x^4 & \displaystyle -3x^3 & \displaystyle +3x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^4 & \displaystyle +3x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \end{array}\]

Шаг 2: В этом случае ведущий член текущего остатка \(\displaystyle x^2-3x+2\) равен \(\displaystyle x^2\), и мы знаем, что ведущий член делителя равен \(\displaystyle x^2\).

Итак, член, который нам нужно умножить \(x^2\), чтобы получить ведущий член текущего остатка - \(\displaystyle \frac{ x^2}{ x^2} = 1\), поэтому мы прибавляем этот член к квантору. Также мы умножаем его на делитель, чтобы получить \(\displaystyle 1 \cdot \left(x^2-3x+2\right) = x^2-3x+2\), который нам нужно вычесть из текущего остатка:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rccccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle +1&&\\[0.3em] \hline x^2-3x+2\,) & \displaystyle x^4 & \displaystyle -3x^3 & \displaystyle +3x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^4 & \displaystyle +3x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle -2\\[0.3em] \hline \displaystyle & & & & & 0\\[0.3em] \end{array}\]

Следовательно, коэффициент равен \(\displaystyle q(x) = x^2+1\), а остаток равен \(\displaystyle r(x) = 0\).

Таким образом, после деления мы продвинулись в факторизации с

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x-1\right)\left(x-2\right) \left(x^2+1\right)\]

Но теперь, поскольку найденный множитель \(\displaystyle x^2+1\) является квадратичным, мы можем найти его корни, чтобы узнать, можем ли мы его проэкспонировать на вещественном поле.

Нам необходимо решить следующее заданное квадратное уравнение \(\displaystyle x^2+1=0\).

Для квадратного уравнения вида \(a x^2 + bx + c = 0\) корни вычисляются по следующей формуле:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

В данном случае мы имеем, что уравнение, которое нам нужно решить, имеет вид \(\displaystyle x^2+1 = 0\), из чего следует, что соответствующие коэффициенты имеют вид:

\[a = 1\] \[b = 0\] \[c = 1\]

Сначала мы вычислим дискриминант, чтобы оценить природу корней. Дискриминант вычисляется как:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 0\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(1\right) = -4\]

Поскольку в данном случае дискриминант \(\Delta = \displaystyle -4 < 0\) отрицательный, мы знаем, что данное уравнение имеет два различных сопряженных комплексных корня.

Теперь, подставляя эти значения в формулу для корней, получаем:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{\left(0\right)^2-4\left(1\right)\left(1\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{-4}}{2}\]

итак, мы выяснили, что:

\[\displaystyle x_1 = \frac{0 - i \sqrt{4}}{2} = -i\] \[\displaystyle x_2 = \frac{0 + i \sqrt{4}}{2} = i\]

Таким образом, после нахождения корней последней квадратичной части мы находим два комплексных корня, поэтому мы не можем проэкспонировать член \(x^2+1\) в вещественном поле, поэтому мы заканчиваем процесс с \(\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x-1\right)\left(x-2\right) \left(x^2+1\right)\).

Вывод : Таким образом, окончательная факторизация, которую мы получаем, такова:

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)\]

Корнями, найденными с помощью процесса факторизации, являются \(0\), \(1\), \(2\), \(-i\) и \(i\).

Пример: расчет коэффициента

Найдите коэффициенты следующего вида: \(p(x) = x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x\)

Отвечать: Теперь нам нужен коэффициент: \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x\).

Начальный Этап: Полученное полиномиальное выражение не может быть сокращено, и тогда мы можем перейти непосредственно к его факторизации.

Кандидаты На Получение Рациональных Корней : Поскольку первым членом с ненулевым коэффициентом в \(p(x)\) является \(x\), мы можем вычесть этот член, чтобы получить

\[\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x = x \left(x^3-2x^2-x+1 \right) \]

но член в скобках имеет степень больше 2, поэтому нет элементарной формулы для его умножения. Нам нужно проверить возможные рациональные корни.

Следующая задача - найти целые числа, которые делят ведущий коэффициент \(a_{3}\) и постоянный коэффициент \(a_0\), которые будут использоваться для построения наших кандидатов в нули полиномиального уравнения.

▹ Разделителями \(a_{3} = 1\) являются: \(\pm 1\).

▹ Разделителями \(a_0 = 1\) являются: \(\pm 1\).

Поэтому, разделив каждый делитель постоянного коэффициента \(a_0 = 1\) на каждый делитель ведущего коэффициента \(a_{3} = 1\), находим следующий список кандидатов в корни:

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

Теперь необходимо протестировать всех кандидатов, чтобы понять, являются ли они решением. В результате тестирования каждого кандидата получено следующее:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^3-2\cdot \left(-1\right)^2-\left(-1\right)+1 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^3-2\cdot 1^2-1+1 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Но так как мы не нашли рациональных корней путем проверки, мы не можем продолжить факторизацию элементарными методами, поэтому процесс останавливается на этом.

Вывод : Следовательно, в этом случае получаем:

\[\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x = x\left(x^3-2x^2-x+1\right)\]

Поэтому единственным корнем, найденным с помощью процесса факторизации, является \(0\).

Пример: вычисление факторинга

Полный коэффициент \( p(x) = x^3 - \frac{7}{2}x^2 + \frac{7}{2}x - 1\). Каковы корни этого многочлена?

Отвечать: В данном примере у нас есть \(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\), и мы будем использовать процесс факторизации в качестве инструмента для вычисления его корней.

Начальный Этап: Данное многочленное выражение является неприводимым, поэтому упрощать нечего. Мы можем перейти к его факторизации.

Сначала нужно попытаться найти простые рациональные корни, что достигается с помощью теоремы о рациональных корнях.

Следующая задача - найти целые числа, которые делят ведущий коэффициент \(a_{3}\) и постоянный коэффициент \(a_0\), которые будут использоваться для построения наших кандидатов в нули полиномиального уравнения.

▹ Целочисленными делителями \(a_{3} = 1\) являются: \(\pm 1\).

▹ Целочисленными делителями \(a_0 = -1\) являются: \(\pm 1\).

Следовательно, мы делим каждый делитель постоянного коэффициента \(a_0 = -1\) на каждый делитель ведущего коэффициента \(a_{3} = 1\), таким образом, мы можем найти список рациональных кандидатов в корни:

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

Теперь необходимо протестировать всех кандидатов, чтобы понять, являются ли они решением. В результате тестирования каждого кандидата получено следующее:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^3-\frac{7}{2}\cdot \left(-1\right)^2+\frac{7}{2}\cdot \left(-1\right)-1 & = & \displaystyle -9 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^3-\frac{7}{2}\cdot 1^2+\frac{7}{2}\cdot 1-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ \end{array}\]

Процесс Деления Полинома : Нам не хватает рациональных корней из кандидатов, найденных с помощью теоремы о рациональном нуле, поэтому разделим \(\displaystyle x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\) на произведение этих рациональных коэффициентов, полученных из кандидатов на рациональные корни, что приведет к \(\displaystyle \left(x-1\right) \).

Шаг 1: Ведущий член дивиденда \(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\) равен \(\displaystyle x^3\), тогда как ведущий член делителя \(\displaystyle s(x) = x-1\) равен \(\displaystyle x\).

Итак, член, который нам нужно умножить на \(x\), чтобы получить ведущий член дивиденда, это \(\displaystyle \frac{ x^3}{ x} = x^2\), поэтому мы прибавляем этот член к делителю. Также мы умножим его на делитель, чтобы получить \(\displaystyle x^2 \cdot \left(x-1\right) = x^3-x^2\), который нам нужно вычесть из дивиденда:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \end{array}\]

Шаг 2: Итак, ведущий член текущего остатка \(\displaystyle -\frac{5}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\) равен \(\displaystyle -\frac{5}{2}x^2\), и мы знаем, что ведущий член делителя равен \(\displaystyle x\).

Итак, член, который нам нужно умножить \(x\), чтобы получить ведущий член текущего остатка - \(\displaystyle \frac{ -\frac{5}{2}x^2}{ x} = -\frac{5}{2}x\), поэтому мы прибавляем этот член к квантору. Также мы умножаем его на делитель, чтобы получить \(\displaystyle -\frac{5}{2}x \cdot \left(x-1\right) = -\frac{5}{2}x^2+\frac{5}{2}x\), который нам нужно вычесть из текущего остатка:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle &\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{5}{2}x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle -1\\[0.3em] \end{array}\]

Шаг 3: Итак, ведущий член текущего остатка \(\displaystyle x-1\) равен \(\displaystyle x\), и мы знаем, что ведущий член делителя равен \(\displaystyle x\).

Итак, член, который нам нужно умножить \(x\), чтобы получить ведущий член текущего остатка - \(\displaystyle \frac{ x}{ x} = 1\), поэтому мы прибавляем этот член к квантору. Также мы умножаем его на делитель, чтобы получить \(\displaystyle 1 \cdot \left(x-1\right) = x-1\), который нам нужно вычесть из текущего остатка:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle +1&\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{5}{2}x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle +1\\[0.3em] \hline \displaystyle & & & & 0\\[0.3em] \end{array}\]

Отсюда, из коэффициента деления, следует, что \(\displaystyle q(x) = x^2-\frac{5}{2}x+1\), с остатком \(\displaystyle r(x) = 0\).

Так что мы получим:

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right) \left(x^2-\frac{5}{2}x+1\right)\]

Но уравнение \(\displaystyle x^2-\frac{5}{2}x+1\) является квадратичным, поэтому корни можно вычислить напрямую.

Таким образом, чтобы узнать характер корней, нам необходимо вычислить дискриминант. Формула для дискриминанта такова:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -\frac{5}{2}\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(1\right) = \frac{9}{4}\]

Но мы видим, что дискриминант \(\Delta = \displaystyle \frac{9}{4} > 0\) положительный, и поэтому делаем вывод, что уравнение имеет два разных вещественных корня.

Теперь подключим эти значения, чтобы получить:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2-4\left(1\right)\left(1\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}}{2}\]

итак, мы выяснили, что:

\[ x_1 = \frac{\frac{5}{2}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=\frac{1}{2} \] \[x_2 = \frac{\frac{5}{2}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=2\]

Имея решения вышеприведенного квадратного уравнения, которое имеет два действительных корня, мы далее разложим исходный многочлен как: \(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right) \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)\).

Вывод : Следовательно, в этом случае мы достигаем полного упрощения:

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)\]

На основе вышеприведенной факторизации найдены следующие корни: \(1\), \(\frac{1}{2}\) и \(2\).

Больше калькуляторов полиномов

Есть много вещей, которые можно сделать с помощью полинома, вы можете построить их график вы можете проанализировать их конечное поведение, но это более простые, вспомогательные задачи по отношению к основной задаче, которой является факторизация многочлена и найти свои корни.

Общая проблема для высших степеней сложна, и обычно мы сводимся к тому, что квадратичные функции и потенциально кубические функции которые обладают определенными симметриями, позволяющими легко их факторизовать.