Решение квадратных уравнений с помощью факторизации

Этот калькулятор позволяет решать квадратные уравнения, которые вы предоставите, показывая все этапы процесса. Все, что вам нужно сделать, это предоставить правильное квадратное уравнение.

Примером действительного квадратного уравнения является 2x² + 5x + 1 = 0. Вы также можете предоставить квадратное уравнение, которое не полностью упрощено, например, x² - 3/4 x + 2 = 3x - 2x², и калькулятор упростит его для вас.

Как только вы укажете действительное квадратное уравнение, вам нужно нажать кнопку "Вычислить", и все этапы процесса будут показаны вам.

Факторизация квадратных уравнений - один из методов нахождения корней, но он считается довольно "наивным" методом, поскольку это метод "проб и ошибок", который хорошо работает только для целых и дробных корней.

Как выполнить факторизацию квадратных уравнений?

Этот процесс прост, но его потенциальные результаты ограничены, потому что он работает потенциально хорошо только тогда, когда квадратное уравнение имеет очень простые корни:

Каковы этапы решения квадратных уравнений методом факторизации?

• Шаг 1: Определите квадратное уравнение, которое вы хотите решить, и упростите его до вида ax² + bx + c = 0
• Шаг 2: Исследуйте коэффициенты a и c. Если они не целые, то ваши изменения "угадывания" коэффициентов равны нулю
• Шаг 3: Если коэффициенты a и c целые, найдите их целые делители a ₁ , a ₂ , ...., и c ₁ , c ₂ ,... и т.д. Вы попытаетесь найти решение уравнения, проверяя дроби вида c _i /a _k
• Шаг 4: Нахождение корней r₁ и r₂ этим методом приведет к факторизации вида ax² + bx + c = a(x - r₁)(x - r₂) = 0

Ограничение этого метода заключается в том, что вы не сможете угадать решения, так как решения могут быть не рациональными. Другими словами, не существует простого формула для факторинга вы предпочитаете следовать процессу угадывания.

Теперь, несмотря на свои ограничения, решение квадратных уравнений с помощью факторизации является хорошей и быстрой альтернативой, когда корни уравнения очень простые.

Почему нужно заботиться о факторизации квадратичных дробей?

Факторизация играет очень важную роль в различных контекстах, и в конечном итоге решение общего квадратного уравнения опирается на сложный и элегантный процесс факторизации.

Часто факторизация в уравнении используется не обязательно для решения уравнения, а скорее для группировки терминов.

Пример: факторизация квадратных уравнений

Решите следующее уравнение с помощью факторизации \(4x^2 + 4x + 1 = 0\)

Решение:

Нам нужно попытаться решить следующее заданное квадратное уравнение \(\displaystyle 4x^2+4x+1=0\) методом факторизации.

В данном случае мы имеем, что уравнение, которое нам нужно попытаться разложить на коэффициенты, имеет вид \(\displaystyle 4x^2+4x+1 = 0\), из чего следует, что соответствующие коэффициенты имеют вид:

\[a = 4\] \[b = 4\] \[c = 1\]

Теперь нам нужно найти целые числа, которые делят \(a\) и \(c\), которые будут использоваться для построения наших кандидатов в факторы.

Разделителями \(a = 4\) являются: \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\).

Разделителями \(c = 1\) являются: \(\pm 1\).

Поэтому, разделив каждый делитель \(c = 1\) на каждый делитель \(a = 4\), мы получим следующий список кандидатов в факторы:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 2},\pm \frac{ 1}{ 4}\]

Теперь необходимо протестировать всех кандидатов, чтобы понять, являются ли они решением. В результате тестирования каждого кандидата получено следующее:

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 4 \left(-1\right)^2+4 \left(-1\right)+1 & = & \displaystyle 1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 4 \left(1\right)^2+4 \left(1\right)+1 & = & \displaystyle 9 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{2} &:&    & \displaystyle 4 \left(-\frac{1}{2}\right)^2+4 \left(-\frac{1}{2}\right)+1 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{2} &:&    & \displaystyle 4 \left(\frac{1}{2}\right)^2+4 \left(\frac{1}{2}\right)+1 & = & \displaystyle 4 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{4} &:&    & \displaystyle 4 \left(-\frac{1}{4}\right)^2+4 \left(-\frac{1}{4}\right)+1 & = & \displaystyle \frac{1}{4} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{4} &:&    & \displaystyle 4 \left(\frac{1}{4}\right)^2+4 \left(\frac{1}{4}\right)+1 & = & \displaystyle \frac{9}{4} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Итак, только один из кандидатов, \(x = \displaystyle -\frac{1}{2}\), оказывается корнем, и тогда получается, что данное квадратное уравнение можно разложить в виде \( 4 \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 = 0\).

Пример: решение квадратных уравнений методом факторизации

Решите следующее квадратное уравнение методом факторизации \(x^2 + 5x + 6 = 0\)

Отвечать: Мы должны попытаться факторизовать \(\displaystyle x^2+5x+6 = 0\), тогда соответствующие коэффициенты будут:

\[a = 1\] \[b = 5\] \[c = 6\]

Теперь нам нужно найти целые числа, которые делят \(a\) и \(c\), которые будут использоваться для построения наших кандидатов в факторы.

Разделителями \(a = 1\) являются: \(\pm 1\).

Разделителями \(c = 6\) являются: \(\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\).

Поэтому, разделив каждый делитель \(c = 6\) на каждый делитель \(a = 1\), мы получим следующий список кандидатов в факторы:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 3}{ 1},\pm \frac{ 6}{ 1}\]

Теперь необходимо протестировать всех кандидатов, чтобы понять, являются ли они решением. В результате тестирования каждого кандидата получено следующее:

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 1 \left(-1\right)^2+5 \left(-1\right)+6 & = & \displaystyle 2 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1 \left(1\right)^2+5 \left(1\right)+6 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle 1 \left(-2\right)^2+5 \left(-2\right)+6 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 1 \left(2\right)^2+5 \left(2\right)+6 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -3 &:&    & \displaystyle 1 \left(-3\right)^2+5 \left(-3\right)+6 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle 3 &:&    & \displaystyle 1 \left(3\right)^2+5 \left(3\right)+6 & = & \displaystyle 30 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -6 &:&    & \displaystyle 1 \left(-6\right)^2+5 \left(-6\right)+6 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 6 &:&    & \displaystyle 1 \left(6\right)^2+5 \left(6\right)+6 & = & \displaystyle 72 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Итак, два из кандидатов оказываются корнями, \(x_1 = \displaystyle -2\) и \(x = \displaystyle -3\), таким образом, мы нашли решения и можем составить уравнение в виде \( \displaystyle \left(x+2\right)\left(x+3\right) = 0\).

Другие полезные квадратичные калькуляторы

квадратичная формула действительно один из самых важных в базовой алгебре, и он имеет применение во многих контекстах. Возможно, вы захотите вычислить квадратное уравнение вы можете выразить это в Вершинная форма , есть много возможностей.

Могут быть элементы, которые связаны между собой, например дискриминант квадратного уравнения , или ось симметрии параболы . Все эти элементы тесно связаны между собой и играют важную роль вместе.