Фактор по группировке
Фактор по группировке - отличный способ разложить выражение на множители без необходимости решать полиномиальное уравнение, которое может быть трудно решить.
Единственная проблема факторинга по группировке заключается в том, что не существует одного рецепта или стратегии, которые дадут вам правильную группировку, которая необходима. Или, что еще хуже, может не быть четкого способа группировки для проведения факторизации.
В этом уроке мы сконцентрируемся на особых случаях, когда группировка поможет разложить алгебраическое выражение на множители, хотя, на самом деле, это не всегда возможно. Чтобы получить более общее представление, ознакомьтесь с этим руководством на как учесть .
Условия, необходимые для факторинга по группировке
Вот как работает факторинг по группировке:
Нам нужно искать определенные подсказки, чтобы использовать этот вид факторинга. Для начала мы ожидаем получить алгебраическое выражение с четным числом членов, превышающим 2 (то есть 4, 6 и т. Д.), А затем попытаемся сгруппировать.
Как мы уже говорили, не существует фиксированных правил, и вам нужно играть на слух, следуя этим двум шагам.
Шаг 1:
Сгруппируйте первый и второй член, третий и четвертый член и так далее.
Шаг 2:
Теперь попробуйте разложить на множители все пары, которые вы сгруппировали на шаге 1. Обратите внимание, что множителей может быть несколько.
Шаг 3:
Посмотрите, совпадают ли все коэффициенты, полученные на шаге 2, и в этом случае вы можете их разложить на множители.
Шаг 4:
Если предыдущие шаги не помогли, попробуйте трюк с "добавлением нуля": иногда все получается, если вы что-то добавляете и вы также вычитаете это из выражения.
При добавлении и вычитании одного и того же члена результирующий эффект такой же, как и при сложении (то есть, выражение остается таким же, как и было)
ПРИМЕР 1
Разложите на множители с помощью метода Фактора, сгруппировав следующий многочлен
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2\]ОТВЕЧАТЬ:
Нам нужно использовать шаги, которые мы определили выше. Обратите внимание на то, что эти шаги не высечены в камне, но они представляют собой полезное руководство для вас:
Шаг 1: Мы группируем первый и второй член, а также третий и четвертый член, так что получаем
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (6x^3 + 3x^2) - (4x + 2)\]
Шаг 2: Термин \(6x^3 + 3x^2\) факторизуется как \(6x^3 + 3x^2 = 3x^2(2x+1)\), а член \(4x + 2\) факторизуется как \(4x + 2 = 2(2x+1)\), поэтому мы получаем:
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (6x^3 + 3x^2) - (4x + 2) = 3x^2(2x+1) - 2(2x+1) \]
Шаг 3: Теперь мы можем видеть, как две группы, которые мы разложили на множители, имеют общий фактор, \(2x+1\), который может быть исключен с помощью свойства распределения. Таким образом получается следующее:
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (3x^2-2)(2x+1)\]
что завершает процесс факторинга.
ПРИМЕР 2
Решите следующее уравнение: \(x^3 -6x^2 + 11x - 6 = 0\):
ОТВЕЧАТЬ:
Поскольку мы действительно не знаем (хотя это возможно), как найти решение этого кубического уравнения, нам нужно снова использовать шаги для нахождения факторизации путем группировки \(x^3 -6x^2 + 11x - 6 \), если это возможно:
Шаг 1: Мы группируем первый и второй член, а также третий и четвертый член, так что получаем
\[x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^3 -6x^2) + (11x - 6) \]
Шаг 2: Термин \(x^3 -6x^2\) факторизуется как \(x^3 -6x^2 = x^2(x-6)\), а член \(11x - 6\) факторизуется как \(11x - 6= 11(x - 6/11)\), поэтому мы получаем:
\[x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^3 -6x^2) + (11x - 6) = x^2(x-6) + 11(x - 6/11) \]
Шаг 3: В этом случае нет общего фактора, поэтому метод до сих пор не работал.
Шаг 4: Мы добавляем \(0 = 2x - 2x\) и добавляем \(0 = 3x^2 - 3x^2\), что не повлияет на выражение (мы добавляем нули), поэтому получаем:
\[ x^3 -6x^2 + 11x - 6 = x^3 -6x^2 + 11x - 6 + 2x - 2x + 3x^2 - 3x^2\] \[ = x^3 - 3x^2 -3x^2 + 9x +2x- 6 \] \[= (x^3 - 3x^2) -(3x^2 - 9x) +(2x- 6) \] \[= x^2(x - 3) -3x(x-3) +2(x- 3) \]
и теперь у нас есть общий множитель \(x-3\), который мы искали. Наконец, факторизуя \(x-3\), мы получаем
\[\Large x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^2-3x +2)(x- 3)\]Итак, чтобы решить исходное уравнение, мы также можем решить \((x^2-3x +2)(x- 3) = 0\), что означает, что \(x^2-3x +2 = 0\) или \(x - 3\) = 0.
Из второго уравнения у нас есть одно решение \(x = 3\). Из первого уравнения нам нужно решить:
\[ x^2-3x +2 = 0 \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] \[ \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}\] \[ \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2}\] \[ \Rightarrow x = \frac{3 \pm 1}{2}\]что означает, что другими решениями являются \(x = (3-1)/2 = 1\) и \(x = (3+1)/2 = 2\).
Почему факторинг по группировке?
Напомним, что факторинг - это всегда хорошая вещь для решения уравнения, потому что, когда умножение нескольких множителей равно нулю, тогда решения уравнения находятся, устанавливая каждый множитель равным нулю.
Например, вы хотите решить уравнение \(x^3 + x^2 + 2x + 2 = 0\). Готов поспорить, что вы ничего не знаете, если бы вам нужно было решить ее с помощью алгебраических средств.
Почему? Потому что это кубическое уравнение, и решить кубическое уравнение сложно. Формула есть, но она непростая. Какие у нас есть альтернативы?
Что ж, если возможно, мы можем факторизовать их по группам. Мы увидим, что в этом случае это действительно возможно. Мы будем следовать шагам, описанным выше:
Шаг 1: Группирование первого и второго членов, а также третьего и четвертого членов приводит к:
\[(x^3 + x^2) + (2x + 2) = 0\]
Шаг 2: Термин \(x^3 + x^2\) факторизуется как \(x^3 + x^2 = x^2(x+1)\), а член \(2x + 2\) факторизуется как \(2x + 2 = 2(x+1)\), поэтому мы получаем:
\[x^2(x + 1) + 2(x + 1) = 0\]
Шаг 3: Теперь мы видим, что две группы, которые мы факторизовали, имеют общий фактор, \(x+1\), который может быть факторизован свойством распределения, поэтому мы получаем:
\[(x^2+2)(x + 1)= 0\]
Таким образом, мы обнаружили, что исходное кубическое выражение было разложено на множители:
\[x^3 + x^2 + 2x + 2 = (x^2+2)(x + 1) = 0\]Таким образом, мы можем легко решить уравнение, задав \(x^2 + 2 = 0\) или \(x + 1 = 0\). Обратите внимание: поскольку \(x^2\) всегда неотрицательно, мы получаем \(x^2 + 2 \ge 2\), и он никогда не может быть нулевым (по крайней мере, для \(x\) real).
Поэтому единственное решение - \(x = -1\).
Так что это пришло бесплатно, используя фактор за группировкой. В противном случае нам пришлось бы использовать громоздкую формулу кубического корня, или вам пришлось бы использовать метод "угадывания корней", что, честно говоря, на самом деле не метод.