Калькулятор теоремы об остатке

Этот калькулятор поможет вам эффективно и легко использовать теорему об остатке. Для того чтобы воспользоваться им, вам необходимо ввести правильный многочлен (например, 3x^4 - 3x^2 + 6) и правильное числовое выражение (например, 2 или 3/4), в котором вы хотите оценить многочлен.

Представленный полином может иметь любой степень, которую вы хотите если это действительный полином. Он может иметь целые или дробные коэффициенты, или, в конце концов, любое допустимое числовое выражение может быть коэффициентом (например, sqrt(2)). Многочлен может быть упрощенным или нет, это не имеет значения, так как калькулятор будет упростить многочлен сначала, если это необходимо.

Как только будет задан правильный полином и правильное числовое выражение для его оценки, нужно нажать кнопку "Calculate", и все шаги процесса будут предоставлены вам.

Теорема Об Остатке имеет первостепенное значение в алгебре, поэтому вам пригодится этот калькулятор, чтобы сделать процесс намного проще.

Что такое теорема об остатке

Теорема об остатке - одна из важных теорем, которая гласит, что при делении двух многочленов получаются коэффициент и остаток, оба многочлена.

Это навевает воспоминания о делении чисел: при делении двух чисел получается делитель и остаток, с тем фантастическим свойством, что остаток меньше делителя. Точно так же происходит и с многочленами, только в этом случае степень остатка меньше степени делителя.

Мы должны выразить это математически: Предположим, что у вас есть многочлен \(p(x)\) и вы хотите разделить его на \(s(x)\). Теорема об остатке гласит, что существует коэффициент \(q(x)\) и остаток \(r(x\), которые характеризуются тем, что

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = q(x) + \frac{r(x)}{s(x)} \]

где степень остатка \(r(x)\) меньше степени делителя \(s(x)\). Эти коэффициент и остаток можно найти с помощью функции длинное деление многочленов .

Другой угол теоремы об остатке заключается в том, что приведенное выше выражение можно переписать как

\[\displaystyle p(x) = q(x)s(x) + r(x)\]

Теперь, если делитель имеет порядок 1, скажем \(s(x) = x-a\), то теорема об остатке становится следующей

\[\displaystyle p(x) = q(x)(x-a) + r\]

Теперь \(r(x)\) становится константой \(r(x) = r\), так как делитель имеет степень 1, и тогда остаток должен иметь степень ноль, что означает, что остаток постоянен.

Тогда, подставляя x = a в вышеприведенную формулу, получаем

\[\displaystyle p(a) = q(a)(a-a) + r = q(a)\cdot 0 + r = r\]

Заключение и суть теоремы об остатке состоит в том, что p(a) - это остаток от деления p(x) на (x-a), что можно сделать с помощью функции Синтетическое подразделение . Этот процесс косвенного оценивания многочлена по значению называется Синтетическое замещение .

Шаги для использования теоремы об остатке

• Шаг 1: Определите многочлен p(x) и делитель s(x)
• Шаг 2: Если вы хотите найти делитель и остаток, в общем случае вы можете использовать метод длинного деления
• Шаг 3: Если вы хотите оценить p(x) в точке x = a, просто разделите p(x) на x-a, используя метод синтетического деления

Как видите, теорема об остатке, деление многочленов, синтетическое деление и длинное деление тесно связаны друг с другом и являются разными сторонами одного и того же предмета.

Какую пользу приносит использование теоремы об остатке?

Теорема об остатке используется во многих областях. Чаще всего она используется для оценить многочлен при заданном значении x = a, и, в частности, определить, является ли он корнем многочлена (если p(a) = 0).

В целом, теорема Остатка дает вам гибкость в обнаружении корней, что является крайне важной способностью во время факторизации многочленов.

Советы для успеха

Как правило, при работе с многочленами удобнее использовать синтетическую подстановку, чем прямое вычисление, особенно если вы выполняете работу вручную.

Избегайте ошибок со знаками и будьте осторожны с Правила PEMDAS может увеличить ваши шансы на правильное применение теоремы.

Пример: теорема об остатке и синтетическая подстановка

Используя синтетическую подстановку, найдите \(p\left(\frac{1}{2}\right)\) для многочлена \(p(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 3\)

Отвечать: У нас есть \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\), и нам нужно, чтобы оно оценивалось в \(\displaystyle x = \frac{1}{2}\), для чего мы будем использовать теорему об остатке.

Поэтому мы делим : \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\) на делитель \(\displaystyle s = x-\frac{1}{2}\), а затем находим остаток.

Шаг 1: Решив \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0\), мы непосредственно находим, что число, которое нужно записать в поле деления, равно: \(\displaystyle \frac{1}{2}\).

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Шаг 2: Теперь мы передаем непосредственно ведущий член \(\displaystyle 2\) в строку результата:

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 2&&& \end{array}\]

Шаг 3: Умножение члена в поле деления на результат в столбце 1: \(\frac{1}{2} \cdot \left(2\right) = 1\) и этот результат вставляется в строку результата, столбец1.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 2&&&\end{array}\]

Шаг 4: Теперь добавляем значения в столбце 2: \( \displaystyle -3+1 = -2\) и этот результат вставляем в строку результата, столбец2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & \\[0.6em]\hline& 2 & -2 & \end{array}\]

Шаг 5: Умножение члена в поле деления на результат в столбце 2: \(\frac{1}{2} \cdot \left(-2\right) = -1\) и этот результат вставляется в строку результата, столбец2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & \end{array}\]

Шаг 6: Теперь добавляем значения в столбце 3: \( \displaystyle 2-1 = 1\) и этот результат вставляем в строку результата, столбец3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1\end{array}\]

Шаг 7: Умножение члена в поле деления на результат в столбце 3: \(\frac{1}{2} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{2}\) и этот результат вставляется в строку результата, столбец3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2}\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1\end{array}\]

Шаг 8: Теперь добавляем значения в столбце 4: \( \displaystyle -3+\frac{1}{2} = -2\) и этот результат вставляем в строку результата, столбец4.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2}\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\]

Заключение: Поэтому, используя теорему об остатке, мы заключаем, что для данного дивиденда \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\) и делителя \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2}\), мы получаем, что остаток равен \(\displaystyle r(x) = -2\), поэтому мы заключаем, что \(\displaystyle p\left(\frac{1}{2}\right) = -2\).

Пример: использование теоремы об остатке

Рассмотрим следующий многочлен степени 4: \(p(x) = x^4 - 3x^2 + 2x - 1\). Используйте теорему об остатке для вычисления \(p(-1)\).

Отвечать: Дан следующий многочлен: \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\), который необходимо оценить в точке \(\displaystyle x = -1\), используя теорему об остатке.

Чтобы воспользоваться теоремой об остатке, нужно провести синтетическую подстановку, для чего нужно выполнить синтетическое деление на : \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\), и делитель \(\displaystyle s = x+1\), а затем найти остаток.

Обратите внимание, что степень дивиденда равна \(\displaystyle deg(p) = 4\), тогда как степень делителя равна \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

Шаг 1: Поскольку делитель имеет степень 1, мы можем использовать метод синтетического деления. Решив \(\displaystyle s(x) = x+1 = 0\), мы непосредственно узнаем, что число, которое нужно записать в поле деления, равно: \(\displaystyle -1\).

\[\begin{array}{c|cccc} -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

Шаг 2: Теперь мы передаем непосредственно ведущий член \(\displaystyle 1\) в строку результата:

\[\begin{array}{c|cccc} -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&&& \end{array}\]

Шаг 3: Умножение члена в поле деления на результат в столбце 1: \(-1 \cdot \left(1\right) = -1\) и этот результат вставляется в строку результата, столбец1.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&&\end{array}\]

Шаг 4: Теперь добавляем значения в столбце 2: \( \displaystyle 0-1 = -1\) и этот результат вставляем в строку результата, столбец2.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & & \end{array}\]

Шаг 5: Умножение члена в поле деления на результат в столбце 2: \(-1 \cdot \left(-1\right) = 1\) и этот результат вставляется в строку результата, столбец2.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & & \end{array}\]

Шаг 6: Теперь добавляем значения в столбце 3: \( \displaystyle -3+1 = -2\) и этот результат вставляем в строку результата, столбец3.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & \end{array}\]

Шаг 7: Умножение члена в поле деления на результат в столбце 3: \(-1 \cdot \left(-2\right) = 2\) и этот результат вставляется в строку результата, столбец3.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & \end{array}\]

Шаг 8: Теперь добавляем значения в столбце 4: \( \displaystyle 2+2 = 4\) и этот результат вставляем в строку результата, столбец4.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4\end{array}\]

Шаг 9: Умножение члена в поле деления на результат в столбце 4: \(-1 \cdot \left(4\right) = -4\) и этот результат вставляется в строку результата, столбец4.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2 & -4\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4\end{array}\]

Шаг 10: Теперь добавляем значения в столбце 5: \( \displaystyle -1-4 = -5\) и этот результат вставляем в строку результата, столбец5.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2 & -4\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4 & -5\end{array}\]

который завершает это вычисление, так как мы пришли к результату в последнем столбце, который содержит остаток.

Заключение: Поэтому, используя теорему об остатке, мы заключаем, что для данного дивиденда \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\) и делителя \(\displaystyle s(x) = x+1\), мы получаем, что остаток равен \(\displaystyle r(x) = -5\), поэтому мы заключаем, что \(\displaystyle p\left(-1\right) = -5\).

Пример: еще одно применение теоремы об остатке

Является ли x = 3 корнем многочлена \( p(x) = x^3 - x^2 + x - 2\)?

Отвечать: У нас есть \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\), и мы оценим этот многочлен в точке \(\displaystyle x = 3\), чтобы узнать, является ли он корнем.

Поэтому мы используем дивиденд \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\) и делитель \(\displaystyle s = x-3\), а затем нам нужно найти остаток.

Шаг 1: Поскольку делитель имеет степень 1, мы можем использовать метод синтетического деления. Решив \(\displaystyle s(x) = x-3 = 0\), мы непосредственно узнаем, что число, которое нужно записать в поле деления, равно: \(\displaystyle 3\).

\[\begin{array}{c|ccc} 3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Шаг 2: Теперь мы передаем непосредственно ведущий член \(\displaystyle 1\) в строку результата:

\[\begin{array}{c|ccc} 3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&& \end{array}\]

Шаг 3: Умножение члена в поле деления на результат в столбце 1: \(3 \cdot \left(1\right) = 3\) и этот результат вставляется в строку результата, столбец1.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&\end{array}\]

Шаг 4: Теперь добавляем значения в столбце 2: \( \displaystyle -1+3 = 2\) и этот результат вставляем в строку результата, столбец2.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & \end{array}\]

Шаг 5: Умножение члена в поле деления на результат в столбце 2: \(3 \cdot \left(2\right) = 6\) и этот результат вставляется в строку результата, столбец2.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & \end{array}\]

Шаг 6: Теперь добавляем значения в столбце 3: \( \displaystyle 1+6 = 7\) и этот результат вставляем в строку результата, столбец3.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7\end{array}\]

Шаг 7: Умножение члена в поле деления на результат в столбце 3: \(3 \cdot \left(7\right) = 21\) и этот результат вставляется в строку результата, столбец3.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6 & 21\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7\end{array}\]

Шаг 8: Теперь добавляем значения в столбце 4: \( \displaystyle -2+21 = 19\) и этот результат вставляем в строку результата, столбец4.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6 & 21\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7 & 19\end{array}\]

Заключение: Поэтому, используя теорему об остатке, мы заключаем, что для заданного дивиденда \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\) и делителя \(\displaystyle s(x) = x-3\), мы получаем, что остаток равен \(\displaystyle r(x) = 19\), поэтому мы заключаем, что \(\displaystyle p\left(3\right) = 19\). Поскольку \(\displaystyle p\left(3\right) = 19 \ne 0\), мы заключаем, что \(x = 3\) не является корнем многочлена.

Больше калькуляторов по алгебре

Алгебра сосредоточена на изучении и вычисление полиномов . Это хорошо видно, когда мы понимаем, что фундаментальная теорема исчисления касается корней общего вида многочлен степени n

Обратите внимание, как теорема об остатке может быть использована путем прямого использования метод синтетического замещения который, в свою очередь, вводится в действие с помощью синтетическое деление многочленов . Тогда очевидно, что теорема об остатке а также деление многочленов тесно связаны с нахождение корней многочленов .