Мне показалось важно, чтобы пройти концепцию производной функции.Процесс дифференциации (это, вычисление производных) является одной из самых фундаментальных операций в исчислении и даже в математике.В этом учебном пособии по математике я постараюсь пролить свет в смысл и интерпретацию того, что является производным и делает.

Прежде всего, с целью прояснения, каковы объем этого учебника, я хотел бы сказать, что мы не будем практиковать с решением конкретных проблем практики, связанные с производными, но мы скорее сделаем попытку понять, что мы делаем, когдаработать с производными.Как только мы понимаем, что мы делаем, у нас есть Wayyy лучше шанс решить проблемы.

Определение производного (не скучно)

Начать, это обязательно написать как минимум определение производного.Предположим, что \(f\) - это функция и \({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \).Хорошо, мы уже начали с техническими возможностями?Все, что мы говорим, так это то, что \(f\) - это функция.Подумайте о функции __XXYZ_A__ по его графическому представлению, показанному ниже:

Кроме того, когда мы говорим, что "\({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \)", все, что мы говорим, так это то, что \({{x}_{0}}\) - это точка, в которой функция хорошо определена (так что она принадлежит его домен ).Но удерживайте это, возможно ли точку ___ xyz ___, чтобы сделать функцию, не совсем хорошо определенную ....?Безусловно!Рассмотрим следующую функцию:

\[f\left( x \right)=\frac{1}{x-1}\]

Такая функция не четко определена в \({{x}_{0}}=1\).Что это не очень хорошо определено в \({{x}_{0}}=1\)?Потому что если мы подключим значение \({{x}_{0}}=1\) в функции, которую мы получаем

\[f\left( 1 \right)=\frac{1}{1-1}=\frac{1}{0}\]

Что является недействительной операцией (как вы знаете из начальной школы, вы не можете разделить на ноль, по крайней мере, с традиционными арифметическими правилами), поэтому тогда функция не определена в \({{x}_{0}}=1\).Для функции, которая должна быть хорошо определена в точке означает, что функция может быть оценена в этой точке без существования любых недопустимых операций.

Итак, теперь мы можем сказать это снова, потому что теперь вы знаете, что мы имеем в виду: предположим, \(f\) - это функция и \({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \).Производное в точке \({{x}_{0}}\) определяется как

\[f'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{x \to {x_0}}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\]

когда такой предел существует.

Хорошо, это мясо проблемы, и мы обсудим его через секунду.Я хотел бы, чтобы вы были очень понятно, что некоторые вещи здесь:

• Когда приведенный выше предел существует, мы звоним, если \(f'\left( {{x}_{0}} \right) \), и он называется "производным функции \(f\left( x \right) \) в точке \({{x}_{0}}\)".Итак, \(f'\left( {{x}_{0}} \right) \) - это просто символ, который мы используем для обозначения производной функции \(f\left( x \right) \) в точке \({{x}_{0}}\) (когда он существует).Мы могли бы использовать любой другой символ, такой как "\(deriv{{\left( f \right)}_{{{x}_{0}}}}\)" или "\(derivative\_f\_{{x}_{0}}\)".Но какой-то эстетический смысл заставляет нас предпочитать "\(f'\left( {{x}_{0}} \right) \)".

Дело в том, что это состоит в том, чтобы обратиться к производной функции \(f\left( x \right) \) в точке \({{x}_{0}}\).Забавная вещь в математике состоит в том, что обозначение имеет значение.Несмотря на то, что концепция существует независимо от обозначения, использованной для его выражения, логической, гибкой, компактной записи, может заставить все ловить в огне, в отличие от того, что может произойти с громоздким, несущественным образом

Роль играет обозначения

(Исторически два одновременных разработчиках используемой версии понятия производного, Лейбница и Ньютона использовали радикально разные обозначения. Newton использовал \(\dot{y}\), тогда как Leibniz использовал \(\frac{dy}{dx}\). Leibniz Notiator, попал в огонь и облегчил полное развитие исчисления, тогда как нотация Ньютонавызвал более одной головной боли. Действительно, это было что важно).

• Производное является точечной работой.Это означает, что это операция, выполняемая для функции в данной точке, и она должна быть проверена точками.Конечно, типичный домен, похожий на настоящую строку \(\mathbb{R}\), есть бесконечное количество точек, поэтому может потребоваться некоторое время, чтобы проверить вручную, если в каждой точке определено производное.Но есть некоторые правила, которые позволяют значительно упростить работу, вычисляя производную на одной общей точке __xxyz_b__, а затем анализируя, для которых значения \({{x}_{0}}\) предел определяет определяющую производную.Таким образом, вы можете расслабиться, потому что ручная работа не будет налогом, если вы знаете, что вы делаете, конечно.

• Когда производное функции \(f\) существует в точке \({{x}_{0}}\), мы говорим, что функция дифференцируема в \({{x}_{0}}\).Кроме того, можно сказать, что функция дифференцируема в регионе (регион - это набор точек), если функция дифференцируема в каждой точке этой области.Так что тогда, хотя концепция производного представляет собой точечную концепцию (определенную в определенной точке), ее можно понять как глобальную концепцию, когда она определяется для каждой точки в регионе.

• Если мы определим \(D\) Набор всех точек в реальной линии, где определяется производная функции, мы можем определить производную функцию \(f'\) следующим образом:

Это функция, потому что мы однозначно связываем каждый \(x\) на \(D\) с значением \(f'\left( x \right) \).Это означает, что каждое значение \(x\) на \(D\) связано со значением \(f'\left( x \right) \).Набор всех пар \(\left( x,f'\left( x \right) \right) \), для \(x\in D\) образуют функцию, и вы можете сделать все то, что вы можете сделать с функциями, такими как графические данные.

Это должно урегулировать вопрос о том, что многие студенты имеют о производных, как они задаются вопросом, как у нас есть производная "функция", когда производное является то, что вычисляется в определенной конкретной точке.Ну, ответ заключается в том, что мы вычисляем производную во многих точках, что обеспечивает основу для определения производной в качестве функции.

Окончательные слова: нотация ад

Когда концепция производной была введена в современную форму, мы знаем от Newton и Leibniz (я делаю акцент на термин "современную форму", поскольку исчисление было почти полностью развито греками и другими в более интуитивно понятном и менее формальном путиДавным-давно), они выбрали радикально разные обозначения.Ньютон выбрал \(\overset{\bullet }{\mathop{y}}\,\), тогда как Лейбница выбрала \(\frac{dy}{dx}\).Все идет нормально.Но концепция производных означает гораздо меньше, если у нас нет мощных производных теорем.

Используя свои соответствующие обозначения, у них оба были небольшие проблемы, чтобы доказать основные теоремы дифференцирования, такие как линейность и правило продукта, но Ньютон не видел необходимость в формальном укреплении правила цепочки, возможно, потому что его нотация не одолжила для этого, тогда как для нотации Лейбниса правило цепи показывает себя почти как правило "Дух".Чтобы быть более точным, предположим, что __xxyz_a__ - это функция, а \(u=u\left( x \right) \) - другая функция.

Это естественный вопрос, чтобы спросить, может ли я вычислять производную композиции __xyz_a a, на основе производных \(y\) и \(u\).Ответ на этот вопрос - правило цепи.Использование Leibniz Notiator, правило

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\]

Это почти так, как будто вы можете отменить __xxyz_a __ 'S как:

Но это не совсем так.Но это красота нотации Лейбниза.Он обладает сильно интуитивно понятной апелляцией (и "отмена" \(du\) - почти в реальности, только то, что это делается на уровне \(\Delta u\), и есть ли ограничения), но все же вы должны понять, что Лейбница говорил справило.Он говорит:

"Производное соединительной функции \(y\left( u\left( x \right) \right) \) совпадает с производным \(y\) в точке \(u\left( x \right) \), умноженная на производную \(u\) в точке \(x\)"

Правило цепи, использующее нотацию Ньютона, получает следующую форму:

\[\overset{\bullet }{\mathop{\left( f\circ u \right)}}\,=\overset{\bullet }{\mathop{f}}\,\left( u\left( x \right) \right)\overset{\bullet }{\mathop{u}}\,\left( x \right)\]

Довольно немного менее красиво, не так ли?Но угадайте, что правило цепи Ньютона говорит точно так же, как

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\]

Хотя эта последняя нотация охватила огонь и помогло быстро развитию современного исчисления, тогда как форма Ньютона была менее возлюбленной.Несмотря на то, что теоремы говорили точно так же, один был золотой, а другой не так много.Почему?Обозначение, мой друг.