Решатели Алгебра

Калькулятор теоремы рационального нуля

Инструкции: Используйте этот калькулятор теоремы рационального нуля, чтобы попытаться найти рациональные корни для любого полиномиального уравнения, которое вы предоставите, показывая все шаги. Пожалуйста, введите полиномиальное уравнение в поле формы ниже.

Введите полиномиальное уравнение (Например: 2x^3 + 5x + 14 = 0 и т.д.)

Подробнее о теореме рационального нуля

Используйте этот калькулятор для применения теоремы о рациональном нуле к любому правильному полиномиальному уравнению, которое вы предоставите, показывая все шаги. Все, что вам нужно сделать, это предоставить действительное многочленное уравнение, например, 4x^3 + 4x^2 + 12 = 0, или, возможно, не полностью упрощенное уравнение, например, x^3 + 2x = 3x^2 - 2/3, так как калькулятор позаботится о его упрощении.

Когда вы закончите вводить полиномиальное уравнение, для которого вы хотите найти рациональные корни, вам нужно будет нажать кнопку "Вычислить", и вам будут предоставлены все шаги процесса. кнопку, и вам будут предоставлены все шаги вычислений.

Обратите внимание, что теорема о рациональном нуле позволяет проверить рациональные числа, которые может быть решения, но они не обязательно корни. Вы просто проверяете потенциальных кандидатов.

Теорема о рациональном нуле не является инструментом для нахождения ВСЕХ корней полиномиального уравнения. Она лишь утверждает, что ЕСЛИ существует рациональный корень к этим полиномиальным уравнениям, то он должен быть среди этого предложенного набора кандидатов, что-то вроде "короткого списка".

Калькулятор Теоремы Рационального Нуля

Как использовать теорему о рациональном нуле?

Теорема о рациональном нуле позволяет получить полиномиальное уравнение и расположить все члены с одной стороны уравнения. Затем находим целые делители коэффициента, который умножает член с наибольшей силой, и называем их \(\{b_1, ...,, b_i\}\), а также находим целые делители постоянного коэффициента члена с наибольшей силой и называем их \(\{a_1, ...,, a_j\}\)

Затем находим потенциальные корни, используя в качестве кандидатов \(\pm\frac{a_k}{b_l}\), то есть, они строятся путем деления соответствующих целочисленных делителей, найденных ранее

Каковы шаги при использовании теоремы о рациональном нуле?

  • Шаг 1 : Определите полиномиальное уравнение, с которым вы хотите работать, и при необходимости упростите его, чтобы оно имело вид f(x) = a₀ + a₁x + ...+ a n x^n+ c
  • Шаг 2 : Найдите все целые (положительные и отрицательные) делители a₀ и a n
  • Шаг 3 : Затем нужно вычислить каждый делитель a₀ и разделить его на каждый делитель a n . Вот список ваших рациональных кандидатов
  • Шаг 4 : Вам нужно пройтись по каждому из элементов в списке кандидатов выше и проверить, являются ли они корнями данного полиномиального уравнения или нет

Опять же, это не обязательно поиск ВСЕХ корней заданного полиномиального уравнения. Все, что делает if, это находит список рациональных кандидатов, который содержит рациональные корни, если есть рациональные корни. Но рациональных корней может и не быть.

Для частного случая полиномиального уравнения порядка 2 можно использовать непосредственно следующее Решатель квадратных уравнений , который предоставит вам все шаги.

Найдите все возможные рациональные нули

Итак, этот калькулятор делает только это - находит список всех возможных рациональных нулей, что является отличной отправной точкой для поиска корней, потому что затем вы используете полиномиальное деление для дальнейшего решения уравнения.

Нахождение нулей полиномиальной функции

Нахождение нулей полиномиальной функции является трудной задачей, особенно для случая, когда степень полинома является большим. В общем случае многочлен порядка n будет иметь n корней, как гласит формула Фундаментальная теорема алгебры и эти корни могут быть вещественными, повторно-вещественными или сложными. Это усложняет поиск.

Попытка найти сначала простые корни (такие как целые и рациональные корни) является наилучшей стратегией, так как если вы найдете простые корни, то сможете использовать теорему факторизации для уменьшения степени многочлена, с которым вы работаете.

Тест на рациональный ноль

Хотя вы можете получить числовые корни полиномиального уравнения с помощью специализированного программного обеспечения, использование теста на рациональный ноль - это отличное упражнение для того, чтобы попытаться найти сначала целочисленное и рациональное решение. Это разумная стратегия, которая позволяет получить список, содержащий рациональные корни уравнения, если таковые имеются.

Калькулятор Теоремы Рационального Нуля

Пример: применение теоремы рационального нуля

Используйте тест рационального нуля для нахождения рациональных корней: \(3 x^4 + 3x^3 - x + 14 = 0\)

Отвечать: >Получено следующее полиномиальное уравнение:

\[\displaystyle 3 x^4 + 3x^3 - x + 14 = 0\]

для чего нам необходимо воспользоваться теоремой о рациональном нуле, чтобы найти потенциальные рациональные корни вышеприведенного уравнения.

Полиномиальное уравнение порядка \(4\) имеет все члены уже с одной стороны и уже упрощено, поэтому дальнейшее упрощение не требуется.

Теперь нам нужно найти целые числа, которые делят ведущий коэффициент \(a_{4}\) и постоянный коэффициент \(a_0\), которые будут использоваться для построения наших кандидатов в нули полиномиального уравнения.

▹ Разделителями \(a_{4} = 3\) являются: \(\pm 1,\pm 3\).

▹ Разделителями \(a_0 = 14\) являются: \(\pm 1,\pm 2,\pm 7,\pm 14\).

Поэтому, разделив каждый делитель постоянного коэффициента \(a_0 = 14\) на каждый делитель ведущего коэффициента \(a_{4} = 3\), находим следующий список кандидатов в корни:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 3},\pm \frac{ 7}{ 1},\pm \frac{ 7}{ 3},\pm \frac{ 14}{ 1},\pm \frac{ 14}{ 3}\]

Теперь необходимо протестировать всех кандидатов, чтобы понять, являются ли они решением. В результате тестирования каждого кандидата получено следующее:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-1\right)^4+3\cdot\left(-1\right)^3-\left(-1\right)+14 & = & \displaystyle 15 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(1\right)^4+3\cdot\left(1\right)^3-1+14 & = & \displaystyle 19 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^3+\frac{ 1}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{385}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{1}{3}^4+3\cdot\frac{1}{3}^3-\frac{1}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{373}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-2\right)^4+3\cdot\left(-2\right)^3-\left(-2\right)+14 & = & \displaystyle 40 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(2\right)^4+3\cdot\left(2\right)^3-2+14 & = & \displaystyle 84 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^3+\frac{ 2}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{388}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{2}{3}^4+3\cdot\frac{2}{3}^3-\frac{2}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{400}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -7 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-7\right)^4+3\cdot\left(-7\right)^3-\left(-7\right)+14 & = & \displaystyle 6195 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 7 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(7\right)^4+3\cdot\left(7\right)^3-7+14 & = & \displaystyle 8239 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{7}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{7}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{7}{3}\right)^3+\frac{ 7}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{1813}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{7}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{7}{3}^4+3\cdot\frac{7}{3}^3-\frac{7}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{3745}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -14 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-14\right)^4+3\cdot\left(-14\right)^3-\left(-14\right)+14 & = & \displaystyle 107044 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 14 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(14\right)^4+3\cdot\left(14\right)^3-14+14 & = & \displaystyle 123480 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{14}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{14}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{14}{3}\right)^3+\frac{ 14}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{30688}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{14}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{14}{3}^4+3\cdot\frac{14}{3}^3-\frac{14}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{46900}{27} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Заключение: Значит, ни один из кандидатов не является корнем, а значит, этот метод не позволяет найти рациональные решения в данном случае.

Пример: применение теоремы рационального нуля

Имеет ли уравнение : \(x^{10} - 4 = 0\) имеет рациональные корни?

Отвечать: Мы должны попытаться найти рациональные корни:

\[\displaystyle x^{10}-4=0\]

с помощью теоремы о рациональных нулях.

Нет необходимости в дальнейшем упрощении, так как полиномиальное уравнение порядка 10 уже имеет все члены с одной стороны.

Теперь мы должны определить целые числа, которые делят ведущий коэффициент \(a_{10}\) и постоянный коэффициент \(a_0\), на основе которых мы создадим наши кандидаты на нули полиномиального уравнения.

Разделителями \(a_{10} = 1\) являются: \(\pm 1\).

Разделителями \(a_0 = -4\) являются: \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\).

Поэтому, разделив каждый делитель постоянного коэффициента \(a_0 = -4\) на каждый делитель ведущего коэффициента \(a_{10} = 1\), находим следующий список кандидатов в корни:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 4}{ 1}\]

Теперь необходимо протестировать всех кандидатов, чтобы понять, являются ли они решением. В результате тестирования каждого кандидата получено следующее:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^{10}-4 & = & \displaystyle -3 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^{10}-4 & = & \displaystyle -3 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle \left(-2\right)^{10}-4 & = & \displaystyle 1020 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 2^{10}-4 & = & \displaystyle 1020 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -4 &:&    & \displaystyle \left(-4\right)^{10}-4 & = & \displaystyle 1048572 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 4 &:&    & \displaystyle 4^{10}-4 & = & \displaystyle 1048572 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Заключение: Значит, ни один из кандидатов не является корнем, а значит, исходное полиномиальное уравнение не имеет рациональных корней.

Пример: применение теоремы рационального нуля

Используйте тест рационального нуля для нахождения рациональных корней: \( x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}=0\)

Отвечать: Теперь нам нужно работать с:

\[\displaystyle x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}=0\]

Нам нужно найти целые числа, которые делят ведущий коэффициент \(a_{3}\) и постоянный коэффициент \(a_0\).

Примечание: В этом случае мы видим, что для того, чтобы иметь как постоянный, так и ведущий коэффициент, необходимо усилить обе стороны уравнения на \(9\). Эквивалентное уравнение имеет вид:

\[9x^3-24x^2+19x-4 = 0\]

▹ Разделителями \(a_{3} = 9\) являются: \(\pm 1,\pm 3,\pm 9\).

▹ Разделителями \(a_0 = -4\) являются: \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\).

Поэтому, разделив каждый делитель постоянного коэффициента \(a_0 = -4\) на каждый делитель ведущего коэффициента \(a_{3} = 9\), находим следующий список кандидатов в корни:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 1}{ 9},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 3},\pm \frac{ 2}{ 9},\pm \frac{ 4}{ 1},\pm \frac{ 4}{ 3},\pm \frac{ 4}{ 9}\]

Теперь все кандидаты должны быть протестированы, чтобы определить, являются ли они решением. После тестирования каждого из них были получены следующие результаты:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-1\right)^3-24\cdot\left(-1\right)^2+19\cdot\left(-1\right)-4 & = & \displaystyle -56 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(1\right)^3-24\cdot\left(1\right)^2+19\cdot\left(1\right)-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{40}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{1}{3}^3-24\cdot\frac{1}{3}^2+19\cdot\frac{1}{3}-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{520}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{1}{9}^3-24\cdot\frac{1}{9}^2+19\cdot\frac{1}{9}-4 & = & \displaystyle -\frac{176}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-2\right)^3-24\cdot\left(-2\right)^2+19\cdot\left(-2\right)-4 & = & \displaystyle -210 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(2\right)^3-24\cdot\left(2\right)^2+19\cdot\left(2\right)-4 & = & \displaystyle 10 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -30 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{2}{3}^3-24\cdot\frac{2}{3}^2+19\cdot\frac{2}{3}-4 & = & \displaystyle \frac{2}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{770}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{2}{9}^3-24\cdot\frac{2}{9}^2+19\cdot\frac{2}{9}-4 & = & \displaystyle -\frac{70}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -4 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-4\right)^3-24\cdot\left(-4\right)^2+19\cdot\left(-4\right)-4 & = & \displaystyle -1040 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 4 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(4\right)^3-24\cdot\left(4\right)^2+19\cdot\left(4\right)-4 & = & \displaystyle 264 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{4}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{280}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{4}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{4}{3}^3-24\cdot\frac{4}{3}^2+19\cdot\frac{4}{3}-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{4}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{1456}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{4}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{4}{9}^3-24\cdot\frac{4}{9}^2+19\cdot\frac{4}{9}-4 & = & \displaystyle \frac{40}{81} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Заключение: Итак, в данном случае из предложенных кандидатов мы находим рациональные корни \(\displaystyle x = 1 \), \(\displaystyle x = \frac{1}{3} \) и \(\displaystyle x = \frac{4}{3} \), а затем член \( \displaystyle \left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{4}{3}\right)\) делит полиномиальное выражение \(\displaystyle x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}\).

Больше калькуляторов по алгебре

Работа с многочленами это важнейший навык, который может принести вам большую пользу. Множество приложений в алгебре используют его, особенно с приложения квадратных уравнений .

Наиболее простым случаем полиномиального уравнения является уравнение линейное уравнение и имеет огромное количество применений.

Связанные калькуляторы

  • Калькулятор Комбинаторного Коэффициента Калькулятор Комбинаторного Коэффициента
  • Калькулятор Гармонического Среднего Калькулятор Гармонического Среднего
  • Калькулятор Операций С Полиномами Калькулятор Операций С Полиномами
  • Построитель графиков экспоненциальных функций Построитель графиков экспоненциальных функций

    • Войдите в свою учетную запись

    забыл пароль?
    У вас нет учетной записи?
    зарегистрироваться

    Сброс пароля

    Вернуться к
    авторизоваться

    зарегистрироваться

    Back to
    Вернуться к