Теорема факторов

Этот калькулятор поможет вам использовать теорему коэффициентов, показывая все шаги. Все, что вам нужно сделать, это указать действительный многочлен, например, x^3 - 3x + 4, и число или числовое выражение, например, 1/3. Если мы назовем многочлен p(x), а значение a, мы используем теорему факторов, чтобы оценить, является ли (x - a) коэффициентом p(x) или нет.

После того, как вы введете правильный полином и значение, вам останется только нажать кнопку "Рассчитать", чтобы получить все показанные шаги.

Заметим, что то, что x - a является множителем p(x), равносильно тому, что x - a в точности делит p(x).

Что такое теорема о факторах?

Идея факторизации многочлена проста: мы хотим знать, можно ли записать многочлен в виде умножения меньших многочленов. Например, если \(p(x)\) является многочленом, и мы можем написать

\[ p(x) = q(x)(x-a)\]

для некоторого многочлена \(q(x)\), то можно сказать, что \(x - a\) является фактор из \(p(x)\). Теорема о факторах гласит, что для того, чтобы \(x - a\) был фактором \(p(x)\), необходимо, чтобы \(p(a) = 0\), и наоборот, если \(p(a) = 0\), то \(x - a\) является фактором \(p(x)\).

Итак, теорема о факторах говорит нам о важной и тесной связи между корнями многочленов и факторами многочлена, о том, что \(a\) является корнем многочлена тогда и только тогда, когда \(x - a\) является фактором \(p(x)\). Следовательно, чтобы найти корни многочлена, нужно найти его коэффициенты.

Как использовать теорему о коэффициентах для определения коэффициентов многочленов

Существует довольно много различных подходов, но наиболее распространенными являются следующие:

• Шаг 1: Начните с многочлена p(x). Убедитесь, что он упрощен настолько, насколько это возможно.
• Шаг 2: Если степень p(x) равна 2 или меньше, то существуют прямые формулы для получения корней. Для степени 2, если корнями являются r1 и r2, многочлен разлагается в виде p(x) = a(x-r1)(x-r2), где a - ведущий член
• Шаг 3: Для степени 3 и выше попробуйте угадать корень, а лучше используйте сначала теорема о рациональном корне найти как можно больше рациональных корней
• Шаг 4: Если предыдущий шаг не дал никаких корней, то остановитесь. Вы ничего не можете сделать с помощью основных методов, и, скорее всего, вам нужна численная аппроксимация
• Шаг 5: Если вы нашли простые корни из предыдущих шагов, то по теореме о факторах члены x - r (где r - корень) должны быть факторами. Поэтому мы делим p(x) на все соответствующие коэффициенты. Это приведет к многочлену, степень которого уменьшилась на столько, на сколько уменьшилось количество корней, найденных на предыдущих шагах. Назовем полученный многочлен p(x)
• Шаг 6: Примените все шаги снова к новому полиному p(x), пока итерация не остановится.

На самом деле, существуют точные формулы для корней многочленов степени 3 и 4, но они не очень удобны для пользователя, поэтому их обычно не изучают в базовом курсе алгебры.

Как связать теорему о факторе и теорему о напоминании

Теорема факторов тесно связана с теоремой теорема об остатке . Это объясняется тем, что из евклидова разложения, полученного при деление многочленов \(p(x)\) и \(s(x)\), получаем, что существуют многочлены \(q(x)\) и \(r(x)\) такие, что

\[p(x) = s(x) q(x) + r(x) \]

с \(deg(r(x)) < deg(s(x))\). Тогда, в частности, при \(s(x) = x-a\), имеющем степень 1, имеем

\[p(x) = s(x) (x-a) + r(x) \]

и в этом случае \(r(x)\) должна иметь степень 0 (потому что она должна быть меньше степени s, которая равна 1), тогда \(r(x) = r\) - константа. Тогда

\[p(x) = s(x) (x-a) + r \]

и подстановка \(x = a\) в вышеприведенное уравнение приводит к:

\[p(a) = s(a) (a-a) + r \Rightarrow p(a) = r\]

Из теоремы об остатке следует, что если \(a\) является корнем, то \(p(a) = 0\) и, следовательно, остаток также \(r = 0\).

Советы для успеха

Теорема о факторах - это хороший способ найти корни многочлена, который говорит нам, что корни можно непосредственно превратить в факторы. Это, вероятно, приведет вас к оценке выражений, для которых иногда может быть удобнее использовать процесс Синтетическое замещение , в отличие от простого введения и вычислений.

Избегайте таких ошибок, как попытка придумать "формулу" для нахождения коэффициентов. Нахождение коэффициентов - это, по сути, то же самое, что и нахождение корней, что предполагает умение эффективно оценивать многочлены при заданных значениях.

Пример: теорема о факторах

Является ли \(x - 1\) фактором \(p(x) = 3x^3 - x^2 + 2x - 1\)

Отвечать: Дан следующий многочлен: \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\), и нам нужно выяснить для заданной точки \(\displaystyle x = 1\), является ли \(\displaystyle x - 1\) коэффициентом \(p(x)\).

Для этого мы будем использовать синтетическую подстановку, чтобы оценить, является ли \(\displaystyle p(1) = 0\).

Для того чтобы провести синтетическую подстановку, нам нужно выполнить синтетическое деление : \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\), и делитель \(\displaystyle s = x-1\), и найти остаток.

Обратите внимание, что степень дивиденда равна \(\displaystyle deg(p) = 3\), тогда как степень делителя равна \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

Шаг 1: Поскольку делитель имеет степень 1, мы можем использовать метод синтетического деления. Решив \(\displaystyle s(x) = x-1 = 0\), мы непосредственно узнаем, что число, которое нужно записать в поле деления, равно: \(\displaystyle 1\).

\[\begin{array}{c|ccc} 1 & 3 & -1 & 2 & -1 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Шаг 2: Теперь мы передаем непосредственно ведущий член \(3\) в строку результата:

\[\begin{array}{c|ccc} 1 & 3 & -1 & 2 & -1 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &3&&& \end{array}\]

Шаг 3: Умножая член в поле деления на результат в столбце 1, получаем: \(1 \cdot \left(3\right) = 3\) и этот результат вставляется в строку результатов, столбец 1.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline&3&&&\end{array}\]

Шаг 4: Теперь, сложив значения в столбце 2, получаем: \( -1+3 = 2\) и этот результат вставляется в строку результатов, столбец 2.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline& 3 & 2 & \end{array}\]

Шаг 5: Умножая член в поле деления на результат в столбце 2, получаем: \(1 \cdot \left(2\right) = 2\) и этот результат вставляется в строку результатов, столбец 2.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & \end{array}\]

Шаг 6: Теперь складывая значения в столбце 3, получаем: \( 2+2 = 4\) и этот результат вставляется в строку результатов, столбец 3.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4\end{array}\]

Шаг 7: Умножая член в поле деления на результат в столбце 3, получаем: \(1 \cdot \left(4\right) = 4\) и этот результат вставляется в строку результатов, столбец 3.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2 & 4\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4\end{array}\]

Шаг 8: Теперь складывая значения в столбце 4, получаем: \( -1+4 = 3\) и этот результат вставляется в строку результатов, столбец 4.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2 & 4\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4 & 3\end{array}\]

который завершает это вычисление, так как мы пришли к результату в последнем столбце, который содержит остаток.

Заключение: Поэтому мы заключаем, что для данного дивиденда \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\) и делителя \(\displaystyle s(x) = x-1\) мы получаем, что остаток равен \(\displaystyle r(x) = 3\), поэтому тогда мы заключаем, что \(\displaystyle p\left(1\right) = 3 \ne 0\).

Поэтому мы заключаем, что \(\displaystyle x - 1\) НЕ является фактором \(p(x)\).

Пример: другие примеры теоремы фактора

Для полинома : \(p(x) = 3x^3 + x^3 - 15x + 4\), что такое \(p(1/3)\), что означает в терминах x - 1/3 быть коэффициентом p(x)?

Отвечать: В этом случае имеем: \(\displaystyle p(x) = 3x^3+x^3-15x+4\), а заданной точкой является \(\displaystyle x = \frac{1}{3}\) . Нам нужно выяснить, является ли \(\displaystyle x - \frac{1}{3}\) фактором \(p(x)\) или нет.

Как и в предыдущем примере, синтетическое замещение будет использоваться для оценки того, является ли\(\displaystyle p(\frac{1}{3}) = 0\).

Начальный Этап: В этом случае нам сначала нужно упростить дивиденд \(\displaystyle P(x) = 3x^3+x^3-15x+4\), и для этого мы проводим следующие шаги упрощения:

Теперь выполним синтетическое деление на : \(\displaystyle p(x) = 4x^3-15x+4\), с делителем \(\displaystyle s = x-\frac{1}{3}\), и нам нужно найти остаток.

Шаг 1: Поскольку делитель имеет степень 1, мы можем использовать метод синтетического деления. Решив \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3} = 0\), мы непосредственно узнаем, что число, которое нужно записать в поле деления, равно: \(\displaystyle \frac{1}{3}\).

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Шаг 2: Теперь мы передаем непосредственно ведущий член \(4\) в строку результата:

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &4&&& \end{array}\]

Шаг 3: Умножая член в поле деления на результат в столбце 1, находим: \(\frac{1}{3} \cdot \left(4\right) = \frac{4}{3}\) и этот результат вставляется в строку результатов, столбец 1.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \\[0.6em]\hline&4&&&\end{array}\]

Шаг 4: Теперь складывая значения в столбце 2, находим: \( 0+\frac{4}{3} = \frac{4}{3}\) и этот результат вставляем в строку результатов, столбец 2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & \end{array}\]

Шаг 5: Умножая член в поле деления на результат в столбце 2, находим: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{9}\) и этот результат вставляем в строку результатов, столбец 2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & \end{array}\]

Шаг 6: Теперь складывая значения в столбце 3, находим: \( -15+\frac{4}{9} = -\frac{131}{9}\) и этот результат вставляем в строку результатов, столбец 3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9}\end{array}\]

Шаг 7: Умножая член в поле деления на результат в столбце 3, находим: \(\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{131}{9}\right) = -\frac{131}{27}\) и этот результат вставляем в строку результатов, столбец 3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9} & -\frac{131}{27}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9}\end{array}\]

Шаг 8: Теперь складывая значения в столбце 4, находим: \( 4-\frac{131}{27} = -\frac{23}{27}\) и этот результат вставляем в строку результатов, столбец 4.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9} & -\frac{131}{27}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9} & -\frac{23}{27}\end{array}\]

который завершает это вычисление, так как мы пришли к результату в последнем столбце, который содержит остаток.

Заключение: Поэтому после упрощения находим, что при делении \(\displaystyle p(x) = 4x^3-15x+4\) и делителя \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3}\) получается, что остаток равен \(\displaystyle r(x) = -\frac{23}{27}\), поэтому делаем вывод, что \(\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{23}{27} \ne 0\).

Поэтому мы заключаем, что \(\displaystyle x - \frac{1}{3}\) НЕ является фактором \(p(x)\).

Пример: подробнее о теореме о факторах

Является ли \(x - 2\) фактором \(p(x) = 2x^4 - x^3 + x - 2\)

Отвечать: Для данного примера мы имеем: \(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\), поэтому нам нужно найти, является ли \(\displaystyle x = 2\) корнем многочлена или нет, чтобы оценить, является ли \(\displaystyle x - 2\) коэффициентом \(p(x)\) или нет.

Для этого мы будем использовать синтетическую подстановку, чтобы оценить, является ли \(\displaystyle p(2) = 0\).

Синтетическое деление of будет выполнено для : \(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\), и \(\displaystyle s = x-2\), и нам нужно найти остаток от деления.

Шаг 1: Поскольку делитель имеет степень 1, мы можем использовать метод синтетического деления. Решив \(\displaystyle s(x) = x-2 = 0\), мы непосредственно узнаем, что число, которое нужно записать в поле деления, равно: \(\displaystyle 2\).

\[\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

Шаг 2: Теперь мы передаем непосредственно ведущий член \(2\) в строку результата:

\[\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &2&&&& \end{array}\]

Шаг 3: Умножая член в поле деления на результат в столбце 1, находим: \(2 \cdot \left(2\right) = 4\) и этот результат вставляется в строку результатов, столбец 1.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & & \\[0.6em]\hline&2&&&&\end{array}\]

Шаг 4: Теперь складывая значения в столбце 2, находим: \( -1+4 = 3\) и этот результат вставляем в строку результатов, столбец 2.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & & \end{array}\]

Шаг 5: Умножая член в поле деления на результат в столбце 2, находим: \(2 \cdot \left(3\right) = 6\) и этот результат вставляем в строку результатов, столбец 2.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & & \end{array}\]

Шаг 6: Теперь складывая значения в столбце 3, находим: \( 0+6 = 6\) и этот результат вставляем в строку результатов, столбец 3.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & \end{array}\]

Шаг 7: Умножая член в поле деления на результат в столбце 3, находим: \(2 \cdot \left(6\right) = 12\) и этот результат вставляем в строку результатов, столбец 3.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & \end{array}\]

Шаг 8: Теперь складывая значения в столбце 4, находим: \( 1+12 = 13\) и этот результат вставляем в строку результатов, столбец 4.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13\end{array}\]

Шаг 9: Умножая член в поле деления на результат в столбце 4, находим: \(2 \cdot \left(13\right) = 26\) и этот результат вставляем в строку результатов, столбец 4.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12 & 26\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13\end{array}\]

Шаг 10: Теперь складывая значения в столбце 5, находим: \( -2+26 = 24\) и этот результат вставляем в строку результатов, столбец 5.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12 & 26\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13 & 24\end{array}\]

и прекращаем деление, так как остаток имеет степень 0.

Заключение: Поэтому мы заключаем, что для данного дивиденда \(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\) и делителя \(\displaystyle s(x) = x-2\) мы получаем, что остаток равен \(\displaystyle r(x) = 24\), поэтому тогда мы заключаем, что \(\displaystyle p\left(2\right) = 24 \ne 0\).

Поэтому мы заключаем, что \(\displaystyle x - 2\) НЕ является фактором \(p(x)\).

Больше калькуляторов полиномов

Значение многочленов невозможно переоценить, так как они являются одним из самых важных объектов в алгебре. вычисления полиномов действительно важны в математике и во многих приложениях, выходящих за рамки математики.

Полиномы поднимают основную проблему решения полиномиальных уравнений, которые являются одними из самых важных в алгебре, хотя они не обязательно легко решаются, и, более того, не существует формулы для получения этих решений для высших степеней.

Нахождение корней включает в себя использование Теорема о рациональном нуле находить простые решения, используя Полиномиальное деление свести уравнение к уравнению более низкой степени, используя Длинный дивизион или же Синтетическое подразделение и повторять до тех пор, пока не будут найдены все корни. Хотя это не всегда возможно, учитывая, что могут существовать корни, которые не являются рациональными, а также комплексные корни.