О квадратичных функциях и этом калькуляторе

Этот калькулятор позволит вам упростить и построить график любой квадратичной функции. Все, что вам нужно, это предоставить действительную квадратичную функцию в x.

Это может быть что-то уже упрощенное, например, f(x) = 2x^2 + 3x +1, или это может быть что-то не полностью упрощенное, например, , при условии, что это действительный квадратичная функция

После ввода правильной квадратичной функции нажмите "Calculate", чтобы увидеть результаты.

Квадратичные функции очень важны в математике, и они действительно являются одними из наиболее часто используемых функций в базовой алгебре. Их свойства действительно интуитивно понятны с геометрической точки зрения.

Что такое квадратичная функция?

Одномерная квадратичная функция - это функция, в которой переменная появляется с мощностью 2, возможно, умноженная на коэффициент, плюс, возможно, члены более низкого порядка. Квадратичная формула имеет вид:

\[f(x) = a x^2 + b x + c \]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - константы, а \(x\) - переменная функции.

Графически все квадратичные функции представляют собой параболы, которые раскрываются вверх при a > 0 и вниз при a < 0. Парабола, описываемая функцией \(f(x) = a x^2 + b x + c \), будет симметрична вокруг вертикальной линии \(x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a}\), которая носит название Ось симметрии .

Шаги для решения квадратичной функции

• Шаг 1: Определите квадратичную функцию, с которой вы хотите работать, и при необходимости упростите ее, пока не получите ее в виде \(f(x) = a x^2 + b x + c \)
• Шаг 2 Квадратное уравнение связанной с данной квадратичной функцией, является \(f(x) = a x^2 + b x + c = 0\)
• Шаг 3: Это уравнение в общем случае имеет 2 корня. Это могут быть вещественные или сопряженные комплексные корни. Существует особый случай с одним вещественным корнем, в этом случае мы говорим, что корни следующие повторный
• Шаг 4: Вы можете попытаться найти корни путем догадок, проверяя потенциальных рациональных кандидатов
• Шаг 5: Если корни не могут быть легко найдены путем угадывания, вы всегда можете воспользоваться общим способом квадратичная формула : \(x = \displaystyle \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

Типы корней, которые вы получите, в значительной степени зависят от расчет дискриминанта , что является \(\Delta = b^2 - 4ac\).

Действительно, для положительного дискриминанта \(\Delta = b^2 - 4ac > 0\) существует два вещественных корня. Графически это означает, что парабола пересекает ось x в двух разных точках

Когда дискриминант равен нулю, \(\Delta = b^2 - 4ac = 0\), будет один действительный корень. Графически это означает, что парабола касается оси x только в одной точке

Для отрицательного дискриминанта \(\Delta = b^2 - 4ac < 0\) будет два комплексных корня. Графически это показывает, что парабола не пересекает ось x

Квадратичная функция в стандартном виде

Хотя общая квадратичная форма - \(f(x) = a x^2 + b x + c \), и ее обычно достаточно для того, чтобы знать все, что нам нужно о свойствах квадратичной функции, существуют и другие формы, которые часто встречаются.

У нас есть квадратичная функция в стандартной форме, также известная как Вершинная форма , когда это написано как

\[f(x) = a(x-h)^2 + k \]

Это особенно полезно, поскольку точка (h, k) соответствует вершине.

Каковы шаги для получения стандартной формы квадратичной функции?

• Шаг 1: Четко определите квадратичную функцию, которая вам предоставлена
• Шаг 2: Если он еще не представлен в стандартной форме, упростите его и сначала поместите в общую форму \(f(x) = a x^2 + b x + c \)
• Шаг 3: После того, как вы получите его в общем виде, вам просто нужно заполнить квадрат для получения стандартной формы квадратичной функции

Процесс заполнения квадратов может быть трудоемким, но он систематически приведет вас к стандартной форме квадратичного выражения.

Почему квадратичные функции так важны?

Квадратичные функции действительно очень важны, поскольку они играют сверхважную роль в огромном количестве прикладных задач, включая максимизацию и минимизацию.

Центр всего алгебраического калькулятора начинается с мощности основных чисел дробей.

Пример: квадратичная стандартная форма

Найдите стандартную форму для следующей квадратичной функции: \(f(x) = 2x^2 + 2x - 1\)

Решение:

чем завершается расчет.

Пример: ось симметрии

Найдите ось симметрии для: \(f(x) = \frac{1}{3} x^2 + \frac{5}{4}x - \frac{5}{6}\)

Решение:

чем завершается расчет.

Пример: квадратичная форма и вершина

Найдите вершину квадратичной функции \( f(x) = \left(\frac{2}{3}(x - 2)^2 + \frac{2}{5} \).

Решение:

чем завершается расчет.

Больше квадратичных калькуляторов

С квадратичными функциями можно сделать очень многое. Вы можете найти корни квадратного уравнения вы можете найти вершину и найдите ось симметрии. Одной из причин привлекательности квадратичных функций являются их интуитивно понятные геометрические свойства.

На Сайте построение графика квадратичной функции можно многое сказать о его корнях, вершине и оси симметрии.