Калькулятор экспоненциальной функции с двух точек зрения

Идея этого калькулятора состоит в том, чтобы оценить параметры \(A_0\) и \(k\) для функции \(f(t)\), определенной как:

\[f(t) = A_0 e^{kt}\]

так что эта функция проходит через заданные точки \((t_1, y_1)\) и \((t_2, y_2)\).

Но как найти экспоненциальную функцию из точек?

Технически, чтобы найти параметры, нужно решить следующую систему уравнений:

\[y_1 = A_0 e^{k t_1}\] \[y_2 = A_0 e^{k t_2}\]

Решение этой системы для \(A_0\) и \(k\) приведет к уникальному решению при условии, что \(t_1 = \not t_2\).

Действительно, разделив обе части уравнений:

\[\displaystyle \frac{y_1}{y_2} = \frac{e^{k t_1}}{e^{k t_2}}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \frac{y_1}{y_2} = e^{k (t_1-t_2)}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right) = k (t_1-t_2)\] \[\displaystyle \Rightarrow \, k = \frac{1}{t_1-t_2} \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right)\]

Чтобы решить для \(A_0\), мы замечаем из первого уравнения, что:

\[A_0 = y_1 e^{-k t_1} = y_1 \frac{y_2}{y_1 e^{k t_2}} =\frac{y_2}{e^{k t_2}} \]

Как рассчитать экспоненциальный рост?

Это не всегда рост. Действительно, если параметр \(k\) положительный, то у нас есть экспоненциальный рост, но если параметр \(k\) отрицательный, то у нас есть экспоненциальный спад.

Параметр \(k\) будет равен нулю, только если \(y_1 = y_2\) (две точки имеют одинаковую высоту).

Для получения информации об экспоненциальном поведении вы можете проверить наш калькулятор экспоненциального роста и калькулятор экспоненциального распада , которые используют определенные параметры для такого экспоненциального поведения.