Математические трещины - крутой подход к интеграции по частям

Вступление

Идея интеграции по частям звучит довольно пугающе для многих студентов, изучающих математику, и я думаю, что для этого есть веская причина. Прежде всего, интеграция по частям - это метод, который включает в себя два (или более) шага вместо одного шага, как хотелось бы большинству студентов. Студенты захотят ПРИМЕНИТЬ какую-нибудь формулу и сразу же получить ответ, но в Calculus часто ответы приходят после последовательности (иногда длинной) шагов.

Помимо метод замещения , метод интегрирования по частям является наиболее важным методом решения неэлементарных интегралов.

Во-первых, одна из причин, по которой интегральное исчисление обычно затруднительно для студентов, - это довольно неудачная система обозначений, используемая для интеграции. Фактически, при вычислении неопределенного интеграла функции \(f\left( x \right)\) мы сталкиваемся со следующими обозначениями

\[\int{f\left( x \right)dx}\] What many students do not understand is what is really meant by the "\(dx\)" in the expression above. Clearly, there are historical reasons why the "\(dx\)" appears in the notation stated above. But, actually there is no reason to include \(dx\) or even to add \(f\left( x \right)\). When we want to compute the indefinite integral of a function \(f\), we should be able to simply write \[\int{f}\] and that way we are stating the indefinite integral of the function \(f\).

Это такие же?

\[\int{f\left( x \right)dx}=\int{f\left( u \right)du}\]

Абсолютно! Вот почему вы иногда видите переменную интеграции (x или u соответственно), которую называют "фиктивной" переменной, потому что она на самом деле не играет никакой роли в процессе интеграции.

Интеграция по частям как правило обратного произведения

После краткого введения мы переходим к делу. Типичная формула интегрирования по частям, показанная в учебниках, выглядит так:

\[\int{udv}=uv-\int{vdu} \,\,\,\,\,(1)\]

Затем вы говорите: "А? Что это?" Очевидно, что, не придавая значения приведенным выше \(u\) и \(dv\), трудно понять, что это такое. У вас может возникнуть один вопрос: почему формула интеграции по частям включает в себя dv и du, если они даже не играют роли в процессе интеграции, как показано во введении?

Ответ прост: в контексте приведенной выше формулы интегрирования по частям \(du\) и \(dv\) не являются "фиктивными переменными", а вместо этого являются функцией. Мнемонически это хорошо для решения задачи интеграции по частям, но бесполезно понимать, почему это действительно так или почему это работает.

Введите правило продукта:

Правило продукта гласит:

\[\frac{d}{dx}\left( fg \right)=\frac{df}{dx}g+f\frac{dg}{dx} \,\,\,\,\,(2)\]

Для краткости я предпочитаю писать

\[\left( fg \right)'=f'g+fg' \,\,\,\,\,(3)\]

Но ждать! Разве мы не интегрируемся в этой статье? Почему я использую правило дифференциации ?? Хм, разве не было бы здорово иметь правило произведения для интегралов? Было бы здорово, если бы \(\int{f'g'}=f\,g + C\) ?? К сожалению, это не так, НО все еще существует правило произведения интегралов, только оно немного сложнее.

Перепишем уравнение (3), получим:

\[fg'=\left( fg \right)'-f'g \,\,\,\,\,(4)\]

Итак, если мы проинтегрируем обе части равенства выше, мы получим

\[\int{fg'}=\int{\left( \left( fg \right)'-f'g \right)}\]

что по линейности интегрирования приводит к

\[\int{f\,g'}=f\,g-\int{f'g} \,\,\,\,\,(5)\]

И здесь, друзья мои, у вас есть интеграция по частям. Интеграцию по частям следует рассматривать как отличный инструмент интеграции, который позволяет мне интегрировать продукт двух функций. Но это немного более ограничительно, потому что это произведение двух функций, НО одна из функций должна быть производной НЕКОТОРОЙ функции.

Итак, чтобы успешно применить правило интеграции по частям, мне нужно, чтобы произошло три вещи:

Я пытаюсь интегрировать продукт ДВУХ функций.
Одна из этих функций является производной от чего-то (поэтому она имеет форму \(g'\)).
Мне нужно знать, как это что-то вычислить (мне нужно знать, кто такой \(g\))

Если эти три условия выполняются, я могу использовать правило интегрирования по частям

ПОМНИТЕ: при использовании интеграции по частям вам необходимо получить произведение двух функций, и одна из этих двух функций должна быть производной от чего-то, что вы знаете.

Например, давайте посмотрим, когда вы не можете применить интеграцию по частям: рассмотрим следующий интеграл

\[\int{\sin \left( {{x}^{2}} \right){{e}^{{{x}^{2}}}}}\]

В этом случае мы пытаемся объединить продукт двух функций: \(\sin \left( {{x}^{2}} \right)\) и \({{e}^{{{x}^{2}}}}\), но знаете ли вы, что является первообразной любой из этих двух функций? Или, другими словами, знаете ли вы, какие функции после дифференцирования приводят к какому-либо из \(\sin \left( {{x}^{2}} \right)\) или \({{e}^{{{x}^{2}}}}\)? Хорошо. Нет. Эти две функции не имеют элементарных первообразных, поэтому интегрирование по частям в этом случае не поможет.

Теперь пример, в котором МОЖНО использовать интеграцию по частям:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\]

В этом случае мы пытаемся объединить продукт двух функций: \({{x}^{2}}\) и \({{e}^{{{x}^{2}}}}\), и я знаю, что является первообразной \({{x}^{2}}\). Так что я могу использовать правило. У нас есть следующие обозначения:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}=\int{\underbrace{{{e}^{{{x}^{2}}}}}_{f\left( x \right)}\underbrace{{{x}^{2}}dx}_{g'\left( x \right)}}\]

Итак, у нас есть

\[\begin{aligned} & f\left( x \right)={{e}^{{{x}^{2}}}} \\ & g'\left( x \right)={{x}^{2}} \\ \end{aligned}\]

Различая \(f\) и интегрируя \(g'\), получаем:

\[\begin{aligned} & f\left( x \right)=2x{{e}^{{{x}^{2}}}} \\ & g\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3} \\ \end{aligned}\]

(Обратите внимание, что \(g\left( x \right)\), указанное выше, является одним из возможных первообразных, но по правилу я могу выбрать ЛЮБУЮ первообразную, поэтому я выбираю самый простой). Интеграция по частям

\[\int{f\,g'}=f\,g-\int{f'g}\]

Итак, подключив имеющуюся у нас информацию, мы получим следующее:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}={{e}^{{{x}^{2}}}}\frac{{{x}^{3}}}{3}-\int{2x{{e}^{{{x}^{2}}}}\frac{{{x}^{3}}}{3}dx}\] \[\Rightarrow \,\,\,\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}=\frac{{{e}^{{{x}^{2}}}}{{x}^{3}}}{3}-\frac{2}{3}\int{{{x}^{4}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\]

Итак, я использовал вышеупомянутое правило интеграции по частям, но на самом деле я попал в более сложный интеграл для решения. Это значит, что для решения \(\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}\) нам нужно сначала знать, как вычислить \(\int{{{x}^{4}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\), что на самом деле сложнее.

Мораль этой истории заключается в том, что интеграция по частям - это своего рода правило произведения для интегралов, и вы ищете конкретную структуру: это интеграл произведения двух функций, и одну из этих функций вам нужно знать, как вычислить его первообразную. Если это так, значит, вы занимаетесь бизнесом и можете применить правило интеграции по частям.

НО, как видно из предыдущего примера, тот факт, что вы МОЖЕТЕ использовать интеграцию по частям, НЕ означает, что она будет полезна каждый раз.