Подробнее об этом калькуляторе вероятности нормального распределения для инструмента распределения выборки

Когда последовательность нормально распределенных переменных \(X_1, X_2, ...., X_n\) усредняется, мы получаем выборочное среднее

\[\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\]

Поскольку любая линейная комбинация нормальных переменных также является нормальной, выборочное среднее \(\bar X\) также имеет нормальное распределение (при условии, что каждый \(X_i\) имеет нормальное распределение). Распространение \(\bar X\) обычно называют Выборочное распределение выборочных средних .

Другое название, о котором вы встретите нормальное распределение, — это распределение Гаусса или колоколообразное распределение.

Как рассчитать выборочное распределение?

Если предположить, что \(X_i \sim N(\mu, \sigma^2)\) для всех \(i = 1, 2, 3, ...n\), то \(\bar X\) обычно распределяется с одним и тем же общим средним \(\mu\), но с дисперсией \(\displaystyle\frac{\sigma^2}{n}\).

Это говорит нам о том, что \(\bar X\) также находится в центре \(\mu \), но его дисперсия меньше, чем у каждого отдельного \( X_i \). Действительно, чем больше размер выборки, тем меньше дисперсия \(\bar X\).

Формула нормального распределения

Формула нормального распределения относительно сложна, и вам не придется работать с ней вручную. Формула:

\[ f(x)=\frac{1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}} e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\]

Формула нормального распределения выборки

Ключевым моментом при работе с выборочными распределениями является использование того факта, что если \(\mu\) — это среднее значение совокупности, а \(\sigma\) — стандартное отклонение совокупности, то

\[ \displaystyle \frac{\bar X - \mu}{\sigma}\]

имеет стандартное нормальное распределение. Это очень важно, потому что мы можем использовать это, чтобы свести все выборочные распределения к стандартные расчеты нормальной вероятности .

Проще говоря, то, что вы делаете, это сводите вычисление любой вероятности нормального распределения к расчет z-показателей .

Сводя все расчеты нормального распределения к работе с z-показателями, все, что вам нужно, это одна стандартная таблица нормалей, где можно найти z-значения, или такой инструмент, как этот калькулятор или Excel.

Что означает выборочное распределение

Среднее значение выборочных распределений \(\mu(\bar X)\) совпадает с базовым средним значением распределения \(\mu\).

Стандартное отклонение выборочного распределения

В отличие от среднего значения, стандартное отклонение среднего значения выборки можно рассчитать по формуле:

\[s(\bar X) = \displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt n}\]

Калькуляторы, относящиеся к нормальному распределению

Если вы хотите вычислить нормальные вероятности для одного наблюдения \(X\), вы можете использовать этот калькулятор с \(n=1\), или вы можете использовать наш обычный Калькулятор нормального распределения .

Часто вас интересует обратный процесс: при заданной вероятности вы хотите найти оценку, например, вероятность справа от этой оценки является той заданной вероятностью, для которой вы можете использовать калькулятор инвнорм

Кроме того, если вам нужна графическая визуализация, вы можете попробовать непосредственно наш создатель графика нормального распределения .

Кроме того, чтобы оценить, исходит ли выборка из фактического нормального распределения, вы можете использовать график нормальной вероятности , и посмотрите на полученный узор. Если он выглядит довольно линейным, это указывает на то, что выборка, вероятно, была получена из нормально распределенной популяции.

Пример:

Вопрос : Рассмотрим нормальное распределение, где среднее значение совокупности равно 12, а стандартное отклонение совокупности равно 3,4. Предположим, вы берете выборки размером n = 16. Какова вероятность того, что выборка означает попадание в интервал (11,3, 12,4)?

Решение:

Ниже приведены среднее значение генеральной совокупности \((\mu)\), стандартное отклонение генеральной совокупности \((\sigma)\) и размер выборки \((n)\):

Population Mean \((\mu)\) =	\(12\)
Population Standard Deviation \((\sigma)\) =	\(3.4\)
Sample Size \((n)\) =	\(16\)
Event to compute its probability =	\(11.3 \leq \bar X \leq 12.4\)

Нам нужно вычислить \(\Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4)\). Соответствующие z-значения, которые необходимо вычислить:

\[Z_{lower} = \frac{X_1 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{ 11.3 - 12}{ 3.4/\sqrt{16}} = -0.82 \] \[Z_{upper} = \frac{X_2 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4/\sqrt{16}}= 0.47 \]

Используя свойства нормального распределения, если \(X ~ N(\mu, \sigma)\), то переменные \(Z_{lower} = \displaystyle \frac{X_1 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \) и \(Z_{upper} = \displaystyle \frac{X_2 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \) имеют стандартное нормальное распределение. Следовательно, вероятность рассчитывается как:

\[ \begin{array}{ccl} \Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4) & = & \Pr\left(\displaystyle \frac{ 11.3 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq \frac{ \bar X - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}}\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle\Pr\left(\frac{ 11.3 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq Z \leq \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}}\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \Pr\left(-0.82 \leq Z \leq 0.47\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \Pr\left(Z \leq 0.47\right) - \Pr\left(Z \leq -0.82\right) \\\\ \\\\ & = & 0.681 - 0.2051 \\\\ \\\\ & = & 0.4759 \end{array}\]

Таким образом, на основании предоставленной информации делается вывод о том, что \( \Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4) = 0.4759\).