Калькулятор логарифмической функции по двум точкам

Основная цель этого калькулятора - оценить параметры \(A_0\) и \(k\) для логарифмической функции \(f(t)\), которая определяется как:

\[f(t) = A_0 \ln(k t)\]

Параметры должны быть такими, чтобы логарифмическая функция проходила через две заданные точки \((t_1, y_1)\) и \((t_2, y_2)\).

Как оценить логарифмическую функцию по двум точкам?

Алгебраически говоря, вам нужно решить следующую систему уравнений, чтобы найти параметры \(A_0\) и \(k\):

\[y_1 = A_0 \ln(k t_1)\] \[y_2 = A_0 \ln(k t_2)\]

Решая эту систему для неизвестных \(A_0\) и \(k\), мы можем найти уникальные решения, пока \(t_1 \ne t_2\).

Действительно, вычитая обе части уравнений:

\[\displaystyle y_1 - y_2 = A_0 \left( \ln(k t_1) - \ln(k t_2) \right)\] \[\displaystyle \Rightarrow \, y_1 - y_2 = A_0 \ln \left(\displaystyle\frac{k t_1}{k t_2}\right) \] \[\displaystyle \Rightarrow \, y_1 - y_2 = A_0 \ln \left(\displaystyle\frac{t_1}{t_2}\right) \] \[ \Rightarrow \, A_0 = \displaystyle \frac{y_1 - y_2}{\ln(t_1) - \ln(t_2)} \]

который решает уравнения для \(A_0\). Теперь, чтобы найти \(k\), мы используем первое уравнение и применяем экспоненту к обеим частям:

\[y_1 = A_0 \ln(k t_1)\] \[ \Rightarrow \, \displaystyle e^{\frac{y_1}{A_0}} = k t_1 \] \[ \Rightarrow \, k = \displaystyle \frac{e^{\frac{y_1}{A_0}}}{t_1} \]

и там мы нашли \(k\) как функцию \(A_0\), которая уже определена и известна.

Как вычислить экспоненциальную функцию?

Если вместо логарифмической функции вас интересует экспоненциальное поведение, то вам, вероятно, следует использовать эту Калькулятор экспоненциальной функции , который следует той же логике оценки параметров, чтобы заставить функцию проходить через две заданные точки.