Квадратичная формула: как решить квадратное уравнение?

Квадратичное уравнение - это уравнение вида:

\[a x^2 + b x + c = 0\]

с \( a \neq 0\). Это основная формула, определяющая Квадратное уравнение .

Хорошей новостью является то, что приведенное выше уравнение не так уж сложно решить, и это здорово, учитывая, что квадратное уравнение встречается буквально везде в алгебре, исчислении и почти везде.

Решение квадратичной формулы

Теперь вопрос в том, как решить эту квадратичную формулу. К счастью, ответ прост и хорошо известен: у него есть решения вида

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Они известны как корни квадратного уравнения (также известные как решения уравнения). Для того чтобы проанализировать характер решения, дискриминант определяется как:

\[D = b^2 - 4ac\]

Типы решений квадратной формулы

По значению дискриминанта определяется характер решений. На самом деле, когда \(D > 0\), то есть два разных реальных решения, когда \(D = 0\), есть одно повторяющееся реальное решение, а когда \(D < 0\), есть два разных мнимых решения. Этот Решатель квадратных уравнений поможет вам сделать эти расчеты автоматически.

Одна из особенностей этого решателя квадратных уравнений заключается в том, что он показывает шаги для вычисления y-пересечения, координаты вершины и строит график квадратичной функции

.

Шаги квадратичной формулы

Чтобы успешно решить квадратное уравнение, необходимо выполнить несколько шагов:

Шаг 1: Определите коэффициенты. Изучите данное уравнение вида \(ax^2+bx+c\) и определите коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\). Коэффициент \(a\) — это коэффициент, который появляется при умножении квадратного члена \(x^2\). Коэффициент \(b\) – это коэффициент, возникающий при умножении линейного члена \(x\), а коэффициент \(c\) – константа.

Пример: Предположим, у вас есть следующее выражение: \(x^2+3x+1\). Какие коэффициенты? В данном случае \(a = 1\) (коэффициент при квадратичном члене \(x^2\)), \(b = 3\) (коэффициент при линейном члене \(x\)) и \(c = 1\) (константа).

Пример: Как насчет Предположим, что у вас есть следующее выражение: \(\frac{5}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{1}{2} x^2\). Какие сейчас коэффициенты? В данном случае \(a = \frac{1}{2}\) (коэффициент при квадратичном члене \(x^2\)), \(b = \frac{3}{4}\) (коэффициент при линейном члене \(x\)) и \(c = \frac{5}{4}\) (константа).

Пример: что происходит со следующим выражением: \(-3 + \frac{1}{2} x\). В данном случае у нас есть \(a = 0\), потому что выражение не содержит квадратичного члена \(x^2\), так что в данном случае это не квадратичное выражение.

Шаг 2: Подставьте найденные коэффициенты в формулу. Квадратичная формула - это

\[x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

значит нужно заменить значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).

Пример: если у вас есть уравнение: \(-3x^2 + 2x-1 = 0\), вы обнаружите, что \(a = -3\), \(b = 2\) и \(c = -1\). Итак, подставив эти значения в формулу, мы получим:

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-3)(-1)}}{2(-3)}\]

Шаг 3: Упростите значения в уравнении после того, как вы подставили значения \(a\), \(b\) и \(c\) . В предыдущем примере мы имеем

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}\]

Шаг 4: Загляните внутрь квадратного корня. Если значение положительное, то Квадратное уравнение имеет два вещественных корня. Если значение равно 0, то существует один вещественный корень, а если значение внутри квадратного корня отрицательное, то существует два комплексных корня. В предыдущем примере у нас есть -8 внутри квадратного корня, поэтому у нас есть два комплексных решения, как показано ниже:

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}= \frac{-2 \pm i \sqrt{8}}{-6}\]

Для чего используется квадратичная формула

квадратичная формула является одной из самых распространенных формул в математике. Она появляется при решении всевозможных геометрических задач, например, при максимизации площади при заданном периметре, или в многочисленных словесных задачах.

Многие люди задаются вопросом, есть ли какая-либо связь между этой формулой квадратного уравнения и методом Завершение квадрата . Ответ прост: вы получаете квадратичную формулу через решение квадратного уравнения через возведение в квадрат. Это точно такая же идея, которая приводит к известной всем нам квадратичной формуле.

Обратите внимание, что решения квадратного уравнения обладают очень интересным геометрическим свойством: когда вы вычисляете среднее значение найденных решений, вы получаете координату x вершины параболы, которая помогает вам найти Вершинная форма параболы, также известной как стандартная форма, используемая во многих приложениях, например, форма с коническими сечениями.

Примеры квадратичной формулы

Вычислить корни следующего квадратного уравнения: \(3x^2 - 2x + 4 = 0\)

Решение:

Необходимо решить следующее уравнение:

\[ 3 x^2 -2 x + 4 = 0\]

Это соответствует квадратному уравнению. Для нахождения решений используется следующая формула:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Используя приведенную выше формулу, получаем, что:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{ (-2)^2 - 4(3)(4)}}{2(3)}\]\[= \frac{ 2 \pm \sqrt{ -44}}{ 6}\]

Следовательно, решения таковы:

\[x_1 = 0.333 - 1.106 i \] \[x_2 = 0.333 + 1.106 i \]

Следовательно, есть два воображаемых решения \(x_1 = 0.333 - 1.106 i \) и \(x_2 = 0.333 + 1.106 i \).

Кроме того, точка пересечения с осью y находится в точке \(y = 4\), что означает, что координаты точки пересечения с осью y равны \((0, 4)\).

Наконец, координатами вершины являются:

\[x_V = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2\cdot 3} = 0.3333\] \[y_V = f(x_V) = 3 (0.3333)^2 -2 (0.3333) + 4 = 3.6667\]